Quy tắc so sánh hai lũy thừa và logarit cùng cơ số

Nắm vững các quy tắc so sánh hai lũy thừa, hai logarit cùng cơ số không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán về so sánh lũy thừa, logarit mà còn là công cụ hữu hiệu và nhanh chóng để giải các bất phương trình mũ hay logarit dạng đơn giản.

quy-tac-xet-dau-mu-va-logarit

Qua việc phân tích, tổng hợp các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số, bài viết rút ra quy tắc so sánh dùng chung cho cả hai và phát biểu nó dưới dạng khẩu-quyết giúp cho việc ghi nhớ và vận dụng quy tắc được dễ dàng và hiệu quả.

  1. Quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số
  2. Quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số
  3. Lưu ý học và dạy

1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Ở các lớp THCS, học sinh đã được học quy tắc về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số và quy tắc này được hoàn thiện thành định lí tường minh trong SGK Giải tích lớp 12. [1]

Định lí

Trong hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

 x > y \Leftrightarrow a^x > a^y

Trong hai lũy thừa cùng cơ số nhỏ hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

x > y \Leftrightarrow a^x < a^y

Quan sát và so sánh chiều của số mũ với chiều của lũy thừa trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều [2]

Hãy xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

\left (\sin 3 \right )^\sqrt{3}\left (\sin 3\right )^\sqrt{2}

Nhận xét: Hai lũy thừa cùng cơ số (\sin 3) < 1 nên (ngược chiều) lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì nhỏ hơn

Lời giải

* Vì 0 < 3 < \pi nên 0 < \sin 3 < 1.

* Ta có 0 < \sin 3 < 1\sqrt{3} > \sqrt{2} nên \left (\sin 3 \right )^\sqrt{3} < \left (\sin 3\right )^\sqrt{2}

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

2^{x^2+3x-4}>4^{x-1}

Phân tích

* Việc giải bất phương trình trên có thể xem như là bài toán so sánh hai lũy thừa.

* Tuy nhiên, chúng ta chỉ có quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, trong khi lũy thừa ở mỗi vế chưa cùng cơ số nên đầu tiên ta cần biến đổi hai lũy thừa về cùng một cơ số, sau đó áp dụng quy tắc hay khẩu quyết so sánh trên.

* Dễ thấy rằng, 4^{x-1}=2^{2(x-1)} do đó bất phương trình đã cho tương đương với

2^{x^2+3x-4}>2^{2(x-1)}

* Lúc này, chúng ta có hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1 nên (cùng chiều) lũy thừa nào lớn hơn thì số mũ lớn hơn. Suy ra

x^2+3x-4>2(x-1)

* Bất phương trình đã cho quy về một bất phương trình bậc hai quen thuộc và bài toán được giải.

Lời giải

2^{x^2+3x-4}>4^{x-1} \Leftrightarrow 2^{x^2+3x-4}>2^{2(x-1)}

\Leftrightarrow x^2+3x-4>2(x-1)\Leftrightarrow x^2 + x - 2 > 0

x < -2 \vee x > 1

Bình luận

- Trong lời giải ví dụ 2, chúng ta đã đưa hai lũy thừa về cùng cơ số 2, bạn có thể đưa về một cùng cơ số khác 2 được không? Chẳng hạn như 4 hay 8 hay \sqrt{2},...

- Trong khi ví dụ thứ nhất đã cho biết chiều số mũ và cần tìm chiều lũy thừa thì ví dụ hai hỏi ngược lại, cho biết chiều lũy thừa và cần tìm chiều số mũ. Tuy nhiên, dù bài toán có cho "kiểu gì đi chăng nữa": cho biết chiều số mũ cần tìm chiều lũy thừa hay ngược lại, thì chúng ta cứ nắm vững khẩu quyết "Lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều" là đều có thể giải được hết!

Tiếp theo chúng ta cùng tìm hiểu quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số và cách vận dụng nó.

2. So sánh hai logarit cùng cơ số

Trước tiên, chúng ta cần phân biệt cơ-số và đối-số trong kí hiệu logarit:

\log_a b

Trong kí hiệu trên, a được gọi là cơ số còn b được gọi là đối số của logarit và điều kiện của chúng là 0<a\ne 1, b>0.

Sau đây là nội dung định lí so sánh hai logarit cùng cơ số, được giới thiệu trong SGK Giải tích 12 Nâng cao [3] trang 84.

Định lí

Trong hai logarit cùng cơ số lớn hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

 x > y \Leftrightarrow \log_a x > \log_a y

Trong hai logarit cùng cơ số nhỏ hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

 x > y \Leftrightarrow \log_a x < \log_a y

Quan sát và so sánh chiều của đối số với chiều của logarit trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Có thể thấy, định lí này "giống hệt" định lí về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều [4]

Xét một vài ví dụ để hiểu hơn về khẩu quyết này, "cứ lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều".

Ví dụ 3. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

\log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.2\right )}\log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.3\right )}

Phân tích

- Hai logarit cùng cơ số \pi > 1 nên (cùng chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn. Do đó ta cần so sánh tiếp hai đối số của chúng.

- Hai logarit \log_{0.1} 0.2\log_{0.1} 0.3 cùng cơ số 0.1 < 1 nên (ngược chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn. Suy ra \log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3

Lời giải

* Vì cơ số 0.1 < 10.2 < 0.3 nên \log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3

* Vì cơ số \pi > 1\log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3 nên \log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.2\right )}>\log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.3\right )}

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

\log_{0.5}(x^2+6x+8)<\log_{0.5}(4x+11)

Phân tích

* Hai logarit cùng cơ số 0.5 < 1 nên (ngược chiều) logarit nào lớn hơn thì đối số lại nhỏ hơn. Suy ra: x^2 + 6x + 8 > 4x + 11

* Kết hợp với điều kiện: 4x + 11 > 0, x^2 + 6x + 8>0, bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

\begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases}

* Giải hệ bất phương trình bậc hai trên ta tìm được nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giải

\log_{0.5}(x^2+6x+8)<\log_{0.5}(4x+11) \Leftrightarrow \begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > -\cfrac{11}{4} \\ x^2 + 2x -3 > 0\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}x > -\cfrac{11}{4} \\ x < -3 \vee x > 1\end{cases} \Leftrightarrow x > 1

Bình luận

- Khi gặp các biểu thức chứa logarit, bạn luôn nhớ đặt điều kiện có nghĩa cho cả cơ số và đối số.

- Có thể thấy quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số hoàn toàn giống quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Chỉ có một điểm khác nho nhỏ: đối số của logarit tương ứng với số mũ của lũy thừa.

3. Lưu ý học và dạy

- Khi gặp các bài toán liên quan đến so sánh hai lũy thừa, hai logarit chưa cùng cơ số thì có thể biến đổi về cùng một cơ số rồi áp dụng quy tắc so sánh trên.

- Các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số đều có thể phát biểu thành 1 quy tắc chung:

"Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều, cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều"

- Học xong các quy tắc so sánh trên là học sinh có thể giải được phần lớn các bài tập về phương trình, bất phương trình mũ và logarit, nên giáo viên có thể khuyến khích, hướng dẫn học sinh tự đọc và làm các bài tập về phần này. Điều đó không chỉ tạo điều kiện phát huy tính tích cực, tự học cho học sinh mà còn là cách củng cố các quy tắc so sánh trên cũng như các kiến thức về lũy thừa và logarit một cách hiệu quả.

- Vì SGK Giải tích 12 chương trình Chuẩn không giới thiệu định lí so sánh hai logarit cùng cơ số, trong khi đó là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nên khi giảng dạy Bài 3. Logarit giáo viên cần lưu ý điều này và giới thiệu định lí trên cho học sinh.

P/s: Mời bạn đón đọc bài viết tiếp theo, về "Khẩu quyết xét dấu logarit".

Nhà tài trợ
http://www.interconex.edu.vn
http://www.duhockhoinghiep.com
http://www.taiduc.edu.vn
Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Có thể bạn muốn xem

Chú thích

  1. Bao gồm cả SGK chương trình Chuẩn và Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 []
  2. Đây chính là tính chất đơn điệu của hàm số mũ, cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến còn cơ số nhỏ hơn 1 thì nghịch biến []
  3. Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 []
  4. Đây chính là tính chất đơn điệu của hàm số logarit, cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến còn cơ số nhỏ hơn 1 thì nghịch biến []

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>