Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Quy tắc so sánh hai lũy thừa và logarit cùng cơ số

Quy tắc so sánh hai lũy thừa và logarit cùng cơ số

Nắm vững các quy tắc so sánh hai lũy thừa, hai logarit cùng cơ số không chỉ giúp bạn giải quyết các bài toán về so sánh lũy thừa, logarit mà còn là công cụ hữu hiệu và nhanh chóng để giải các bất phương trình mũ hay logarit dạng đơn giản.

Qua việc phân tích, tổng hợp các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số, bài viết rút ra quy tắc so sánh dùng chung cho cả hai và phát biểu nó dưới dạng khẩu-quyết giúp cho việc ghi nhớ và vận dụng quy tắc được dễ dàng và hiệu quả.

  1. Quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số
  2. Quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số
  3. Lưu ý học và dạy

1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Ở các lớp THCS, học sinh đã được học quy tắc về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số và quy tắc này được hoàn thiện thành định lí tường minh trong SGK Giải tích lớp 12.1

Định lí

Trong hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

x > y \Leftrightarrow a^x > a^y

Trong hai lũy thừa cùng cơ số nhỏ hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

x > y \Leftrightarrow a^x < a^y

Quan sát và so sánh chiều của số mũ với chiều của lũy thừa trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều2

Hãy xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

\left (\sin 3 \right )^\sqrt{3} và \left (\sin 3\right )^\sqrt{2}

Nhận xét: Hai lũy thừa cùng cơ số (\sin 3) < 1 nên (ngược chiều) lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì nhỏ hơn

Lời giải

* Vì 0 < 3 < \pi nên 0 < \sin 3 < 1.

* Ta có 0 < \sin 3 < 1 mà \sqrt{3} > \sqrt{2} nên \left (\sin 3 \right )^\sqrt{3} < \left (\sin 3\right )^\sqrt{2}

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

2^{x^2+3x-4}>4^{x-1}

Phân tích

* Việc giải bất phương trình trên có thể xem như là bài toán so sánh hai lũy thừa.

* Tuy nhiên, chúng ta chỉ có quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, trong khi lũy thừa ở mỗi vế chưa cùng cơ số nên đầu tiên ta cần biến đổi hai lũy thừa về cùng một cơ số, sau đó áp dụng quy tắc hay khẩu quyết so sánh trên.

* Dễ thấy rằng, 4^{x-1}=2^{2(x-1)} do đó bất phương trình đã cho tương đương với

2^{x^2+3x-4}>2^{2(x-1)}

* Lúc này, chúng ta có hai lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1 nên (cùng chiều) lũy thừa nào lớn hơn thì số mũ lớn hơn. Suy ra

x^2+3x-4>2(x-1)

* Bất phương trình đã cho quy về một bất phương trình bậc hai quen thuộc và bài toán được giải.

Lời giải

2^{x^2+3x-4}>4^{x-1} \Leftrightarrow 2^{x^2+3x-4}>2^{2(x-1)}

\Leftrightarrow x^2+3x-4>2(x-1)\Leftrightarrow x^2 + x - 2 > 0

x < -2 \vee x > 1

Bình luận

– Trong lời giải ví dụ 2, chúng ta đã đưa hai lũy thừa về cùng cơ số 2, bạn có thể đưa về một cùng cơ số khác 2 được không? Chẳng hạn như 4 hay 8 hay \sqrt{2},…

– Trong khi ví dụ thứ nhất đã cho biết chiều số mũ và cần tìm chiều lũy thừa thì ví dụ hai hỏi ngược lại, cho biết chiều lũy thừa và cần tìm chiều số mũ. Tuy nhiên, dù bài toán có cho “kiểu gì đi chăng nữa”: cho biết chiều số mũ cần tìm chiều lũy thừa hay ngược lại, thì chúng ta cứ nắm vững khẩu quyết “Lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều” là đều có thể giải được hết!

Tiếp theo chúng ta cùng tìm hiểu quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số và cách vận dụng nó.

2. So sánh hai logarit cùng cơ số

Trước tiên, chúng ta cần phân biệt cơ-số và đối-số trong kí hiệu logarit:

\log_a b

Trong kí hiệu trên, a được gọi là cơ số còn b được gọi là đối số của logarit và điều kiện của chúng là 0<a\ne 1, b>0.

Sau đây là nội dung định lí so sánh hai logarit cùng cơ số, được giới thiệu trong SGK Giải tích 12 Nâng cao3 trang 84.

Định lí

Trong hai logarit cùng cơ số lớn hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

x > y \Leftrightarrow \log_a x > \log_a y

Trong hai logarit cùng cơ số nhỏ hơn 1, logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn và ngược lại

x > y \Leftrightarrow \log_a x < \log_a y

Quan sát và so sánh chiều của đối số với chiều của logarit trong từng trường hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số nhỏ hơn 1. Chúng ta thấy rằng, khi cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Có thể thấy, định lí này “giống hệt” định lí về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Do đó, ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là

Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều4

Xét một vài ví dụ để hiểu hơn về khẩu quyết này, “cứ lớn hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ hơn 1 thì ngược chiều”.

Ví dụ 3. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

\log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.2\right )} và \log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.3\right )}

Phân tích

– Hai logarit cùng cơ số \pi > 1 nên (cùng chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lớn hơn. Do đó ta cần so sánh tiếp hai đối số của chúng.

– Hai logarit \log_{0.1} 0.2 và \log_{0.1} 0.3 cùng cơ số 0.1 < 1 nên (ngược chiều) logarit nào có đối số lớn hơn thì lại nhỏ hơn. Suy ra \log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3

Lời giải

* Vì cơ số 0.1 < 1 và 0.2 < 0.3 nên \log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3

* Vì cơ số \pi > 1 và \log_{0.1} 0.2 > \log_{0.1} 0.3 nên \log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.2\right )}>\log_{\pi}{\left (\log_{0.1} 0.3\right )}

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

\log_{0.5}(x^2+6x+8)<\log_{0.5}(4x+11)

Phân tích

* Hai logarit cùng cơ số 0.5 < 1 nên (ngược chiều) logarit nào lớn hơn thì đối số lại nhỏ hơn. Suy ra: x^2 + 6x + 8 > 4x + 11

* Kết hợp với điều kiện: 4x + 11 > 0, x^2 + 6x + 8>0, bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

\begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases}

* Giải hệ bất phương trình bậc hai trên ta tìm được nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giải

\log_{0.5}(x^2+6x+8)<\log_{0.5}(4x+11) \Leftrightarrow \begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}4x + 11 > 0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > -\frac{11}{4} \\ x^2 + 2x -3 > 0\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases}x > -\frac{11}{4} \\ x < -3 \vee x > 1\end{cases} \Leftrightarrow x > 1

Bình luận

– Khi gặp các biểu thức chứa logarit, bạn luôn nhớ đặt điều kiện có nghĩa cho cả cơ số và đối số.

– Có thể thấy quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số hoàn toàn giống quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số. Chỉ có một điểm khác nho nhỏ: đối số của logarit tương ứng với số mũ của lũy thừa.

3. Lưu ý học và dạy

– Khi gặp các bài toán liên quan đến so sánh hai lũy thừa, hai logarit chưa cùng cơ số thì có thể biến đổi về cùng một cơ số rồi áp dụng quy tắc so sánh trên.

– Các quy tắc so sánh hai lũy thừa và hai logarit cùng cơ số đều có thể phát biểu thành 1 quy tắc chung:

“Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều, cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều”

– Học xong các quy tắc so sánh trên là học sinh có thể giải được phần lớn các bài tập về phương trình, bất phương trình mũ và logarit, nên giáo viên có thể khuyến khích, hướng dẫn học sinh tự đọc và làm các bài tập về phần này. Điều đó không chỉ tạo điều kiện phát huy tính tích cực, tự học cho học sinh mà còn là cách củng cố các quy tắc so sánh trên cũng như các kiến thức về lũy thừa và logarit một cách hiệu quả.

– Vì SGK Giải tích 12 chương trình Chuẩn không giới thiệu định lí so sánh hai logarit cùng cơ số, trong khi đó là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nên khi giảng dạy Bài 3. Logarit giáo viên cần lưu ý điều này và giới thiệu định lí trên cho học sinh.

P/s: Mời bạn đón đọc bài viết tiếp theo, về “Khẩu quyết xét dấu logarit“.



Th10 25, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Khẩu quyết
  • Lớp 12
  • Quy tắc so sánh
  • Lũy thừa
  • Logarit

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài tập hàm số lớp 10

Tìm nguyên hàm bằng cách phân tích nghịch đảo của một tích thành tổng các nghịch đảo

Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p5)

  1. Bao gồm cả SGK chương trình Chuẩn và Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 [↩]
  2. Đây chính là tính chất đơn điệu của hàm số mũ, cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến còn cơ số nhỏ hơn 1 thì nghịch biến [↩]
  3. Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008 [↩]
  4. Đây chính là tính chất đơn điệu của hàm số logarit, cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến còn cơ số nhỏ hơn 1 thì nghịch biến [↩]
Trang 1 trên 11
Giai thừa lớn chứa giai thừa bé và ứng dụngQuy tắc xét dấu logarit và ứng dụng
Comments: 3
  1. Ki Ke
    11 years ago

    :))))))))))))

    ReplyCancel
  2. Nguyễn Thế Phúc
    11 years ago

    :))

    ReplyCancel
  3. phat
    5 years ago

    bai nay hay qua, dung cai em dang tim

    ReplyCancel

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

11 years ago 3 Comments Dạy và học toánKhẩu quyết, Lớp 12, Quy tắc so sánh, Lũy thừa, Logarit45,327
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,202 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,456 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
185,740 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,661 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,559 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

It is the supreme art of the teacher to awaken joy in creative expression and knowledge (Nghệ thuật tối thượng của người thầy là đánh thức niềm vui trong sự diễn đạt và tri thức sáng tạo)

— Albert Einstein
2012 © Thapsang.vn