Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Làm toán
  • Thi vectơ
    • Thông tin chi tiết
      • Thể lệ cuộc thi
      • Danh sách bài dự thi
      • Tài trợ cuộc thi
      • Quảng bá cuộc thi
      • Hỏi đáp về cuộc thi
    • Công tác chấm
      • Ngày chấm đầu tiên
      • Kết quả chấm
    • Công bố giải thưởng
    • Hình ảnh buổi lễ trao giải
    • Thư cảm ơn
      • của người giành Giải Nhất
      • của Ban tổ chức
    • Các lời giải tiêu biểu
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác

Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác

Vận dụng định lý Côsin một cách thành thạo là yêu cầu bắt buộc với hầu hết các học sinh THPT. Dưới đây mình trình bày định lý này cùng hệ quả của nó và kinh nghiệm vận dụng chúng.

  1. Định lý Côsin
  2. Hệ quả
  3. Cách vận dụng
  4. Bình luận

1. Định lý Côsin

Trong tam giác ABC, với AB=c, BC=a, CA=b. Ta luôn có
283a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos A

b^2 = c^2 + a^2 - 2ca.\cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.\cos C

Định lý có một ý nghĩa rất quan trọng:

“Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xen giữa“

Bạn ghi nhớ nhận xét này nhé, nó rất có ích trong thực hành và rất hay dùng đấy.

Từ định lý trên, ta dễ dàng suy ra hệ quả sau

2. Hệ quả

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng:

“Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh.“

Như vậy, nếu định lý Côsin cho phép ta tính cạnh thì hệ quả của nó cho phép ta tính góc. Sau đây chúng ta sẽ thấy tầm quan trọng của 2 ý nghĩa trên, qua việc vận dụng chúng vào bài toán khá quen thuộc: “Xây dựng công thức đường trung tuyến trong tam giác.”

3. Vận dụng

Ví dụ. Cho tam giác ABC, có AB=c, BC=a, CA=b và M là trung điểm của BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM theo a, b và c.

Phân tích

* Bài toán yêu cầu chúng ta tính độ dài một đoạn thẳng AM, mà nguyên tắc hay dùng để tính đoạn thẳng là xem nó là một cạnh của một giác nào đó.

284

* Theo đề bài, chúng ta có 2 lựa chọn, hoặc xem AM là cạnh của tam giác ABM hoặc là cạnh của tam giác ACM. Nhận thấy, vai trò của hai tam giác này là ngang nhau nên ta chọn tam giác nào cũng được. Mình chọn tam giác ACM. Lý do là vì Google khuyên vậy, 😯 nó bảo có khoảng 38.200.000 kết quả cho từ khóa ACM trong khi chỉ có khoảng 17.800.000 kết quả cho từ khóa ABM :mrgreen:

* Xét tam giác ACM, theo nguyên tắc chung, để tính cạnh AM ta cần biết hai cạnh còn lại là AC, CM và góc xen giữa hai cạnh đó là C. Dễ thấy AC=b theo giả thiết, còn CM=\frac{a}{2} do M là trung điểm của BC, nhưng thật đáng tiếc là ta chưa biết góc C! Như vậy, nếu tính được góc C thì AM sẽ tính được nhờ định lý Côsin.

AM^2 = CA^2 + CM^2 - 2.CA.CM.\cos\widehat{ACM}=b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\cos\widehat{ACM}\ (1)

* Nhận xét rằng, muốn tính góc trong tam giác ta cần biết ba cạnh của tam giác đó. Do đó, không thể xét tam giác ACM để tính góc C được, vì tam giác này đang còn thiếu cạnh AM mà ta cần tính.

* Nhưng, dễ thấy rằng góc C của tam giác ACM cũng là góc C của tam giác ABC. Trong khi tam giác ABC đã có cả 3 cạnh, vậy áp dụng hệ quả của định lý Côsin ta sẽ tính được góc C.

\cos\widehat{ACM} = \cos\widehat{ACB} = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2.CA.CB}=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}\ (2)

* Thay (2) vào (1), rồi rút gọn ta có kết quả

AM^2 = b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}

* Về lời giải, giống như nhiều bài viết khác, câu của mình vẫn là “Bạn tự làm nhé!” 😀

4. Bình luận

* Ta đã xây dựng được công thức đường trung tuyến của tam giác theo ba cạnh, là nhờ dựa vào hai luận điểm cơ bản “Muốn tính một cạnh, thì cần biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa”, “Muốn tính một góc, thì cần biết cạnh”. Đó cũng chính là hai ý nghĩa quan trọng của định lý Côsin và hệ quả của nó.

* Hiển nhiên, một bài toán có thể giải bằng nhiều cách! Vậy bạn có cách giải nào khác mà không dùng đến định lý Côsin và hệ quả của nó thì mách mình nhé. Hộp bình luận luôn ở dưới cuối bài viết này, mời bạn!

Th8 13, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Cách phân tích
  • Cách vận dụng
  • Định lý cosin
  • Lớp 10

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Quy tắc xét dấu logarit và ứng dụng
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Phương trình lượng giác khác
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Trang 1 trên 11
Cách chứng minh bài toán hình học phẳngCách vẽ cung tròn cho góc trong phần mềm GeoGebra
Comments: 45
  1. Hoang khac quy
    9 years ago

    Cach tinh cac goc khi da biet cac canh nhu tren kho hieu qua vi danh dau cong tru nhan chia ko ro rang

    ReplyCancel
    • thapsang.vn
      9 years ago

      Mình thấy các phép cộng, trừ, nhân chia khá rõ đấy chứ. Bạn dùng trình duyệt gì khi xem bài viết này, trên di động hay máy tính bảng hay laptop hay máy tính để bàn?

      ReplyCancel
      • Linhh Chii
        5 years ago

        Tính góc cosin hợp bởi vectơ a ( -2;3) và vectơ i thì sao ạ ?

        ReplyCancel
        • Thapsang.vn
          5 years ago

          Em áp dụng công thức \[\cos{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}\]

          (Cosin góc giữa 2 vecto bằng tích vô hướng trên tích độ dài)
          [latexpage]

          ReplyCancel
  2. Hà Nguyễn
    9 years ago

    giúp e bài toán này ạ

    ReplyCancel
  3. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Em quên chưa gõ đề bài?

    ReplyCancel
  4. Hà Nguyễn
    9 years ago

    cho tam giacs abc có (a+b+c)(a+b-c)=3ab. tính góc c

    ReplyCancel
  5. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Em xem giải đáp ở link này nhé: https://www.facebook.com/www.thapsang.vn/posts/404621842970677?comment_id=2222234&offset=0&total_comments=3

    ReplyCancel
  6. Hà Nguyễn
    9 years ago

    vâng em cảm ơn thầy ạ

    ReplyCancel
  7. Jason Nguyễn
    9 years ago

    nếu a/cosB +c/cosC= a/sinBsinC thì tam vuông tại A

    ReplyCancel
  8. Jason Nguyễn
    9 years ago

    giúp em giải bài toán này nha thầy em cám ơn…

    ReplyCancel
  9. Thapsang Vn
    9 years ago

    Vế phải là a/(sinBsinC) phải không em?

    ReplyCancel
  10. vinh
    9 years ago

    Hay lam ban ah

    ReplyCancel
  11. vinh
    9 years ago

    Vay con cach van dung dinh ly sin thi sao nhi.lau wa quen het oih.co the chi giup dc hog

    ReplyCancel
    • thapsang.vn
      9 years ago

      Cảm ơn bạn! Bài viết về định lý Sin thì hẹn bạn vào một dịp khác nhé.

      ReplyCancel
  12. Tấn Tiền
    8 years ago

    tks vì bài viết của thầy

    ReplyCancel
  13. Thapsang Vn
    8 years ago

    Đề bài đúng phải là b/cosB + c/cosC = a/(sinB.sinC).

    – Khi đó bạn biến đối vế trái (b.cosC + c.cosB)/(cosB.cosC)
    – Chứng minh: b.cosC + c.cosB = a (Gợi ý, vẽ hình là chứng minh được ngay)
    – Từ đó có cosB.cosC = sinB.sinC và suy ra đpcm

    Bình luận: Cách giải trên sử dụng gì đến định lý Cosin và có vẻ như không áp dụng được định lý này để giải.

    ReplyCancel
  14. Con Nít Ranh
    7 years ago

    hay! nhờ z mà em giải quyết đc bài toán của mình 1 cách suôn sẻ. cảm ơn thầy

    ReplyCancel
  15. Tô Hải Nhật
    7 years ago

    Bai viet rat co gia tri!

    ReplyCancel
  16. Thắng Nguyễn
    7 years ago

    giúp em bài này vs
    Cho tam giác ABC biết AC=13 AB=14 BC=15.giải tam giác ABC

    ReplyCancel
  17. Nguyễn Thế Phúc
    7 years ago

    Bài toán rất cơ bản, em cố gắng tự giải lấy nhé.
    Gợi ý:
    – Đề bài cho độ dài 3 cạnh của tam giác và cần tìm số đo 3 góc của tam giác.
    – Sử dụng hệ quả định lý cosin để tính các góc của tam giác.

    ReplyCancel
  18. Ngắn'ssĐược's Òi'ss
    7 years ago

    giúp em pài này vs ?????????????????
    >>>>> . Cầm giải gấp"".''<<<<<<<<<<<<<<<<<
    cho tam giác ABC có A= 80*. Các tia phân giác của góc b và
    góc c cắt nhau tại I. tính BIC

    ReplyCancel
  19. khoa
    7 years ago

    Minh thay ben vat ly ap dung a2 + b2 + 2ab*cos(ACB) vay khi nao + va khi nao –

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Với tam giác ABC thì chỉ có 1 công thức Toán học duy nhất là $$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(ACB)$$ thôi bạn à. Chắc có sự nhầm lẫn gì đó ở đây?

      ReplyCancel
      • trunghieu
        6 years ago

        sách e ghi là c2=a2+b2 + 2abcos

        ReplyCancel
        • Thapsang.vn
          6 years ago

          Nếu được, nhờ bạn hãy chụp trang sách đó và bìa sách, gửi vào email cho tôi: nguyenthephuc@gmail.com. Xin cảm ơn!

          ReplyCancel
    • Quỳnh
      7 years ago

      – khi ACB là góc nhọn, + khi ACB là góc tù

      ReplyCancel
  20. Tuấn's Phương's
    7 years ago

    Bạn nào cho mh xin mấy đề bài để làm mới ạ

    ReplyCancel
  21. Phạm's Đoàn'x
    7 years ago

    Có đề bài mới không AD ơi

    ReplyCancel
  22. Mask Bic
    7 years ago

    BIC = 50° . Bạn

    ReplyCancel
  23. Nguyễn Ái Thy
    6 years ago

    Cho e hỏi [cfrac?] là j vậy ạ ? Bấm vào máy tính như thế nào vậy thầy

    ReplyCancel
  24. Nguyễn Thế Phúc
    6 years ago

    Đó là cú pháp gõ phân số. Không hiểu sao nó không hoạt động, cảm ơn em đã phản hồi.

    ReplyCancel
  25. Tran van vu
    6 years ago

    1 Tam giác cho 2 cạnh thi tinh góc nhu the nao ban

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      – Nếu là tam giác vuông thì bạn có thể áp dụng các tỉ số lượng giác để tính góc.

      – Nếu là tam giác bất kì thì cần thêm 1 đại lượng thứ 3 nữa mới có thể xác định các góc.

      Chúc bạn thành công!

      ReplyCancel
  26. Liên
    6 years ago

    Cách giải bài toán khi biết dố đo hai cạnh và số đo một góc .Tính cạnh còn lại và diện tích tam giác đó.Ta áp dụng công thức nào ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      Bạn áp dụng Định lí Cosin để tính cạnh còn lại và áp dụng công thức diện tích $$S=\frac{1}{2}a.b.\sin{C}$$ để tính diện tích tam giác.

      Chúc bạn thành công!

      ReplyCancel
  27. Quốc Trần Anh
    5 years ago

    Anh ơi em vẫn chưa hiểu chỗ ta tính ra được AM thì làm sao để tính tiếp các góc thế ?

    ReplyCancel
  28. Quốc Trần Anh
    5 years ago

    Sao ko tìm ra cá góc luôn đi thầy

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      5 years ago

      Hãy tự tính xem. Chúc em thành công! 🙂

      ReplyCancel
  29. Nam
    4 years ago

    bạn có cách nào tính cạnh biết 3 góc và chu vi không?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      4 years ago

      Bạn áp dụng định lý Sin là ra bạn nhé.

      ReplyCancel
      • Vũ
        4 years ago

        định lý cos không áp dụng được cho tam giác vuông phải không thầy

        ReplyCancel
        • Thapsang.vn
          4 years ago

          Được chứ em, định lý áp dụng cho tam giác bất kỳ.

          ReplyCancel
  30. Ko bít tên :3
    1 year ago

    Thầy ơi dùng cos C có tính đc góc C ko ạ ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      1 year ago

      Tính được nếu biết 3 cạnh em nhé.

      ReplyCancel

Trả lời Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

9 years ago 45 Comments Dạy và học toánCách phân tích, Cách vận dụng, Định lý cosin, Lớp 10136,572
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Cắt file mp3 thành nhiều file trên Ubuntu 25/02/2023
  • Cách cập nhật ảnh đại diện cho tài khoản ChatGPT 12/02/2023
  • Bảo vệ: Quy trình tạo dàn đèn nhấp nháy hình con giáp 29/01/2023
Bình luận gần đây
  • Thapsang.vn trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Linh Le trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Finn trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
  • Lynh trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
Chuyên mục
  • Công nghệ (26)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (12)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
  • Tool for Teaching Logbook (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordCách phân tíchThi THPT Quốc Gia 2019MS Word 2010Khẩu quyếtSai lầm thường gặpTình huống có vấn đềLớp 11LogaritChromePhổ điểm thiGoogle classroomChuyển đổi sốSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánKhối AGgAdmin1windowsTại saoThi THPT Quốc Gia 2018SMASGTNNQuy tắc tính logaritGTLNLũy thừaSGDBLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũShutdown TimerCách gõ công thức toánGmailDẫn nhậpMicrosoft ExcelCách vào bàiDesignCách tính nhẩmOffice 365Top điểm 10Hẹn giờ tắt máyCách nhớ các công thức toán họcKỹ thuật mở bàiThi vào 10Gợi động cơ
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
207 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
45 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
185,219 views
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
177,628 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
136,572 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
134,522 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
114,424 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Nếu là một nhà giáo thì ta hãy nên cố gắng nhiều hơn, không phải vì trọng trách của mình chỉ đơn giản là truyền đạt sự hiểu biết, mà hãy đánh thức trong tâm hồn trẻ nhỏ những phẩm tính căn bản của con người, chẳng hạn sự tốt bụng, lòng từ bi, khả năng tha thứ hay sự hòa thuận.

— Đức Đạt-Lai Lạt-Ma
2012 © Thapsang.vn