Cách phân tích bài toán rút gọn biểu thức

Bài toán rút gọn biểu thức (thường có chứa căn bậc hai và thương) là một bài toán rất hay gặp ở môn Đại số lớp 9. Hầu hết các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh trên toàn quốc đều có bài toán này, thường nó là câu số 1 trong các đề thi. Điều gì khiến cho bài toán này được quan tâm đến vậy, theo mình là vì Bài toán cho phép kiểm tra rất nhiều kiến thức, kĩ năng và tư duy của học sinh.

Để có thể giải được bài toán này, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các Hằng đẳng thức đáng nhớ, vận dụng chúng một cách thành thạo, kĩ năng thực hiện các biến đổi và tính toán tốt và có tư duy phân tích nhất định. Mình sẽ minh họa các yêu cầu này qua việc phân tích một ví dụ sau đây.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức

    \[P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-1}\]

với x\ge 0, x\ne 1

(Trích: Đề thi tuyển sinh vào 10 Nam Định năm 2011)

Phân tích

* Điều kiện xác định: x\ge 0, x\ne 1

* Biểu thức đã cho là tổng của hai thương, do đó ta có hai hướng để rút gọn. Một là rút gọn từng thương rồi quy đồng mẫu số nếu cần. Hai là quy đồng mẫu số để thu được một thương rồi rút gọn.

* Theo hướng thứ nhất, ta biết rằng một thương có thể rút gọn được khi tử số và mẫu số phải có thừa số chung. Do đó, ta cần phân tích tử số và mẫu số thành tích.

* Với thương thứ nhất, tử số có \sqrt{x} là thừa số chung nên có thể viết lại tử số như sau:

    \[x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x.\sqrt{x}-1)\]

* Lại để ý rằng, x.\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 do đó có thể viết tiếp thành

    \[x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x.\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}[ (\sqrt{x})^3-1]\]

 * Lúc này, áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương” ta có

    \[ (\sqrt{x})^3-1 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\]

* Vậy, thương thứ nhất có tử số là một tích và mẫu số là một thừa số của nó. Do đó:

    \[\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} = ... = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\]

* Với thương thứ hai, thấy ngay tử số có \sqrt{x} thừa số chung nên:

    \[\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}-1}=-\sqrt{x}\]

* Do đó, biểu thức đã cho được rút gọn thành

    \[P=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) - \sqrt{x} = x - 2\sqrt{x}\]

Còn hướng thứ hai, bạn tự khám phá nhé!


Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!
  1. Thien Than Bong Dem says:

    cam on anh
    anh co them bai nao hay hon nua ko

  2. Bạn muốn hỏi có thêm bài viết nào về Toán rút gọn? Mình ít viết về toán THCS, còn một bài viết về hình học THCS thôi: https://thapsang.vn/cach-phan-tich-bai-toan-hinh-hoc-phang

  3. Su Kem says:

    mấy bài toán cô giảng hk hỉu j hết ngồi ngấm ngía 1 hùi cũn hỉu dc sơ sơ…^^

  4. Kiến thức trên lớp là cơ bản, trên lớp em cần học thật tốt thì đọc (học) thêm mới hiệu quả.

  5. Cậu Út Họ Nguyễn says:

    anh ơi ,cho em hỏi muốn đánh dấu căn bậc 2 thì làm ntn ạ

  6. Em muốn gõ dấu căn bậc 2 ở đâu: Trong MS Word hay trong hộp bình luận trên web?

  7. Cậu Út Họ Nguyễn says:

    em có mấy bài toán muốn đăng lên mạng mà ko bt viết dấu căn,anh chỉ em vs,viết để đăng lên mạng ý anh

  8. Việc đó giải thích khá dài dòng, nó đòi hỏi em phải có một chút kiến thức nhất định về LaTeX cộng với sự hỗ trợ của các website nơi em muốn viết công thức.

    Trong trường của em, tôi nghĩ em nên viết bài toán ra giấy rồi chụp thành ảnh và gửi lên mạng thì hợp lý hơn.

  9. Cậu Út Họ Nguyễn says:

    em hôm nay cũng có tìm trên mạng,hình như latex là cái j j mà………/sqrt{bieu thuc},/frao{}………là mấy cái đấy à anh

  10. Ừ, những cái em viết: sqrt{} hay frac{}{},… được gọi là mã lệnh tạo ra các công thức toán học căn bậc hai, phân số,…

  11. Ánh says:

    Cách giải khó hiểu wá :*

  12. Trương Nguyễn Công Trung says:

    (căn 2)^3 +căn(5) -căn(10)
    em rút gọn tới đây rồi thì có nên rút gạn tiếp ko
    nếu có thì hướng giải như thế nào vậy
    mong anh giúp đỡ

  13. Vân says:

    Vậy phương pháp để làm tốt là ntn ạ?

  14. chung says:

    Admin ơi. Ad có thể cho e hik rõ hướng để giải 1 bài rút gọn được không. E co the lam nhưng bai nay nhưng rất lâu. E không bik hương giải. Mong admin tl qua email: yukithienbinh@gmail.com

    • Không có một hướng dẫn chung đâu em, tuy nhiên có một nguyên tắc chung: Cố gắng biến đổi các số hạng thành tích để có nhân tử chung và rút gọn.

  15. giai giup bai nay vs rut gon bt B= 1+a^3/1+a-a

  16. Em nghĩ hướng thứ hai là quy đồng hai mẫu, ta có MC : ( căn x -1 )( x + căn x + 1 ) = x căn x -1

  17. Ngq says:

    Giải giup e bài này nha. A= 1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+1/(x+3)(x+4)

    • Do mỗi số hạng là nghịch đảo của một tích hai số liên tiếp nên nó có thể tách hành hiệu của hai nghịch đảo. Cụ thể

      \[\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\]\[\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\]

      Tương tự vậy cho các số hạng còn lại, từ đó em tìm ra được kết quả.
      Chúc em thành công!

  18. uoc gi tren doi nay khong co toan va van

  19. 😀
    Ước gì trên đời này không có số và chữ. 😀

  20. trong rút gọn biểu thưc làm sao để biến đổi mẫu 1 – √x thành √x -1 vậy ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *