Bài toán rút gọn biểu thức (thường có chứa căn bậc hai và thương) là một bài toán rất hay gặp ở môn Đại số lớp 9. Hầu hết các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh trên toàn quốc đều có bài toán này, thường nó là câu số 1 trong các đề thi. Điều gì khiến cho bài toán này được quan tâm đến vậy, theo mình là vì Bài toán cho phép kiểm tra rất nhiều kiến thức, kĩ năng và tư duy của học sinh.
Để có thể giải được bài toán này, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các Hằng đẳng thức đáng nhớ, vận dụng chúng một cách thành thạo, kĩ năng thực hiện các biến đổi và tính toán tốt và có tư duy phân tích nhất định. Mình sẽ minh họa các yêu cầu này qua việc phân tích một ví dụ sau đây.
Ví dụ. Rút gọn biểu thức
![\[P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-1}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19db58af0d7a889b3226c0b60dd41833_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
với 
(Trích: Đề thi tuyển sinh vào 10 Nam Định năm 2011)
Phân tích
* Điều kiện xác định:
* Biểu thức đã cho là tổng của hai thương, do đó ta có hai hướng để rút gọn. Một là rút gọn từng thương rồi quy đồng mẫu số nếu cần. Hai là quy đồng mẫu số để thu được một thương rồi rút gọn.
* Theo hướng thứ nhất, ta biết rằng một thương có thể rút gọn được khi tử số và mẫu số phải có thừa số chung. Do đó, ta cần phân tích tử số và mẫu số thành tích.
* Với thương thứ nhất, tử số có 
là thừa số chung nên có thể viết lại tử số như sau:
![\[x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x.\sqrt{x}-1)\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13d3c2c54c507645e8fe051b864cef50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Lại để ý rằng, 
do đó có thể viết tiếp thành
![\[x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x}(x.\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}[ (\sqrt{x})^3-1]\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25cb02f60f2a6133d25d9f9862be0f32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Lúc này, áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai lập phương” ta có
![\[ (\sqrt{x})^3-1 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4bae9ca463811b8adc9226586164af90_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Vậy, thương thứ nhất có tử số là một tích và mẫu số là một thừa số của nó. Do đó:
![\[\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} = ... = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea3cc770789f4d6689257531a2502f63_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Với thương thứ hai, thấy ngay tử số có thừa số chung nên:
![\[\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}-1}=-\sqrt{x}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3fc48f7309254ec8b2e85e236c2cdf9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Do đó, biểu thức đã cho được rút gọn thành
![\[P=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) - \sqrt{x} = x - 2\sqrt{x}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8681d24d718233a49fa2cabf1c5017f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Còn hướng thứ hai, bạn tự khám phá nhé!
