Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Làm toán
  • Thi vectơ
    • Thông tin chi tiết
      • Thể lệ cuộc thi
      • Danh sách bài dự thi
      • Tài trợ cuộc thi
      • Quảng bá cuộc thi
      • Hỏi đáp về cuộc thi
    • Công tác chấm
      • Ngày chấm đầu tiên
      • Kết quả chấm
    • Công bố giải thưởng
    • Hình ảnh buổi lễ trao giải
    • Thư cảm ơn
      • của người giành Giải Nhất
      • của Ban tổ chức
    • Các lời giải tiêu biểu
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Bạn đang xem phần 1 / 3 của series Cách tính logarit.

“Tính một logarit theo các logarit đã cho” là bài toán thường gặp với giáo viên và các bạn học sinh lớp 12, khi dạy và học về Logarit. Thực tế cho thấy, với bài dễ thì học sinh giải không khó khăn gì, nhưng với một bài toán khó hơn chút xíu thì nhiều bạn lại khá lúng túng. Sở dĩ có tình trạng như vậy là vì các bạn chưa nhìn ra bản chất của bài toán từ đó có một đường-lối chung để giải quyết các bài cùng loại. Bài viết này mình chia sẻ một đường-lối chung để giải quyết các bài toán loại này.

  1. Ví dụ 1: Tính logarit theo 1 logarit đã cho
  2. Ví dụ 2: Vẫn tính logarit theo 1 logarit đã cho 😀
  3. Bài toán tổng quát
  4. Ví dụ 3: Tính logarit theo 2 logarit đã cho
  5. Lưu ý dạy và học

Để tìm hiểu đường-lối đó ra sao, chúng ta bắt đầu với một ví dụ sau có trong SGK Giải tích 12.

1. Tính một logarit theo 1 logarit đã cho

Ví dụ 1. Cho \alpha = \log_2{20}. Hãy tính \log_{20}{5} theo \alpha.1

Phân tích

* Vì hai logarit không cùng cơ số nên ta sẽ đổi cơ số của logarit cần tính về cơ số của logarit đã cho

\log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\log_2{5}}{\alpha}

* Do đó, bài toán trở thành

Tính \log_2{5} theo \alpha = \log_2{20}

* Nhận xét, vì hai logarit có cùng cơ số nên để tính logarit thứ nhất theo logarit thứ hai thì ta cần biểu diễn 5 theo 20. Thật đơn giản, ta có 5=\frac{20}{4}, do đó:

\log_2{5}=\log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}=\alpha - \log_2{(2^2)}=\alpha - 2

* Để tập trung vào nội dung chính là tìm đường-lối chung, mình không trình bày lời giải của ví dụ này và các ví dụ dưới đây. Bạn tự trình bày nhé.

Bình luận

Bạn có thấy cách phân tích như thế dễ hiểu và tự nhiên không? Chỉ cần biểu diễn 5 theo 20 là chúng ta đã giải được bài toán một cách thật dễ dàng. Hãy sử dụng kinh nghiệm đó để giải tiếp một toán tương tự sau đây, xem sao:

2. Vẫn tính một logarit theo 1 logarit đã cho 😀

Ví dụ 2. Cho a=\log_{15}{3}. Tính \log_{15}{25} theo a.

Phân tích

* Với kinh nghiệm giải ví dụ 1 trên, nhận xét rằng hai logarit này cùng có cơ số là 15 nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc biểu diễn 25 theo 3

* Ồ, bạn thấy ngay! Làm sao có thể biểu diễn 25 theo 3 được? Chúng là hai số nguyên-tố-cùng-nhau mà2. Vậy, nếu không biểu diễn được 25 theo 3 thì làm sao tính được \log_{15}{25} theo \log_{15}{3} đây?

* Nhưng rõ ràng, ở ví dụ 1 chỉ cần biểu diễn 5 theo 20 là ta có thể giải quyết bài toán thật “ngon lành” mà. Không nhẽ vì ta đã giải ví dụ 1 một cách dễ dàng quá nên chưa hiểu hết bản chất của cách giải chăng? Thử nghiên cứu lại cách giải ở ví dụ 1 xem sao? Ta đã làm gì:

– Vì cần biểu diễn 5 theo 20 nên ta viết 5=\frac{20}{4}

– Sau đó áp dụng phép toán logarit của một thương, ta có: \log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}

– Tiếp theo, vì 4=2^2 nên áp dụng phép toán logarit của một lũy thừa có cùng cơ số, ta có:

\log_2{4}=\log_2{(2^2)}=2

* Ồ, phải rồi. Sở dĩ việc biểu diễn 5 theo 20 giúp tính được \log_2{5} theo \log_2{20} là vì ta tính được \log_2{4}. Việc tính được \log_2{4} là vì 4 là lũy thừa có cơ số bằng với cơ số của logarit (cơ số 2). Như vậy, bản chất của cách giải trên không chỉ có mỗi việc biểu diễn 5 theo 20 mà phải hiểu là đầy đủ là: “Biểu diễn 5 theo tích hoặc thương các lũy thừa của 20 và của 2 – cơ số của logarit.”3

* Hãy vận dụng hiểu biết mới này cho ví dụ trên. Để tính \log_{15}{25} theo \log_{15}{3}, ta cần biểu diễn 25 theo tích hoặc thương của các lũy thừa nào? Đó là lũy thừa của cơ số và đối của logarit đã cho: 15 và 3. Ta có:

25=5.5=\frac{15}{3}.\frac{15}{3}=\left (\frac{15}{3}\right )^2

* Do đó, bài toán được giải quyết:

\log_{15}{25}=\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )^2}=2\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )}=2(\log_{15}{15}-\log_{15}{3})=2-2a

Kết luận

Muốn tính một logarit theo một logarit đã cho cùng cơ số ta biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích hoặc thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho. Đó chính là nội dung của bài toán tổng quát dưới đây.

3. Bài toán tổng quát

Bài toán: Cho \alpha = \log_a{x} với 0 < a,x,y và a\ne 1. Tính \log_a{y} theo \alpha.

Giải

* Giả sử tồn tại hai số m,n\in \mathbb{R} sao cho y=a^m.x^n

* Khi đó ta có:

\log_a{y}=\log_a{(a^m.x^n)}=\log_a{a^m}+\log_a{x^n}=m+n.\log_a{x}=m+n.\alpha

Nhận xét:

– Nếu không tồn tại hai số m,n thỏa mãn y=a^m.x^n thì rõ ràng bài toán không có đáp số!

– Nếu tồn tại 2 số m,n\in \mathbb{R} sao cho y=\frac{a^m}{x^n} thì tính tương tự.

– Trong thực hành, mấu chốt là tìm được hai số m,n. Đòi hỏi bạn phải khéo léo biến đổi, thực hiện các phép toán số học và lũy thừa.

Cách tính một logarit theo một logarit cùng cơ số cho đã cho.

Cách tính một logarit theo một logarit cùng cơ số cho đã cho.

Vậy bạn nhớ nhé, cứ “Biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích/thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho” là bài toán được giải quyết. Giờ chúng ta sẽ vận định-hướng này cho ví dụ dưới đây.

4. Tính một logarit theo 2 logarit đã cho

Ví dụ 3. Cho \log_{14}{7}=a,\log_{14}{5}=b. Tính \log_{35}{28} theo a,b.

Phân tích

* Vì logarit cần tính không cùng cơ số với hai logarit đã cho nên trước tiên ta cần đổi về cùng cơ số 14:

\log_{35}{28}=\frac{\log_{14}{28}}{\log_{14}{35}}

* Dễ thấy rằng 35=7.5 nên \log_{14}{35}=\log_{14}{7}+\log_{14}{5}=a+b

* Giờ ta tiếp tính \log_{14}{28} theo các logarit \log_{14}{7} và \log_{14}{5}. Muốn vậy, ta chỉ cần biểu diễn 28 thành tích/thương các lũy thừa của 14;7 và 5 là xong. Ta có:

28=14.2=14.\frac{14}{7}=\frac{14^2}{7}

Suy ra \log_{14}{28}=\log_{14}{\frac{14^2}{7}}=\log_{14}{14^2}-\log_{14}{7}=2-a

* Vậy \log_{35}{28}=\frac{2-a}{a+b}

5. Lưu ý dạy và học

* SGK đã trình bày lời giải ví dụ 1 ở trên, như sau:

Ta có

\alpha=\log_2{20} = \log_2{(2^2.5)}=2\log_2{2} + \log_2{5} = 2 + \log_2{5}

suy ra \log_2{5}=\alpha -2

Vậy \log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\alpha - 2}{\alpha}

Bạn có thấy cách trình bày dễ hiểu và tự nhiên không? Mình nghĩ cách trình bày như vậy rất không tự nhiên, khó hiểu với những bạn mới bắt đầu học về logarit và do đó nó không giúp ích gì nhiều cho các bạn tự học.

* Hãy dùng bí-quyết trên để giải quyết các bài toán tương tự mà bạn gặp. Nếu bạn gặp một bài toán loại này mà bí-quyết trên không giúp bạn giải được nó thì hãy gõ nó hộp bình luận dưới đây và chúng ta cùng “xử-lý” nó. 😀

Xem tiếp phần 2: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)

Th11 16, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Cách phân tích
  • Logarit
  • Lớp 12
  • Quy tắc tính logarit
  • Tình huống có vấn đề

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpCách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2) →

Có thể bạn muốn xem

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Số tổ hợp và tính chất
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức (Phần 2)
  1. SGK Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008, trang 66, ví dụ 7 [↩]
  2. Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có Ước chung lớn nhất là 3 [↩]
  3. Bạn có thể thắc mắc, tại sao lại là tích hoặc thương? Là tổng hay hiệu thì sao? Nếu bạn tự đặt được câu hỏi đó thì chúc mừng bạn nhé, bạn có tư duy phê phán rất tốt. Và thách thức của bạn là “Sao bạn không tự tìm câu trả lời nhỉ?” Nếu bí quá thì cứ gõ đề nghị giải thích vào hộp bình luận ở phía dưới [↩]
Trang 1 trên 11
Cách nhập file sql lớn từ cửa sổ dòng lệnh trên WindowsCách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Comments: 45
  1. Minhnd Ngocminh
    9 years ago

    Hì hì, anh có một ý khá hay. Giải quyết một lớp vấn đề thú vị và không dễ. Nhưng em lại làm khác!

    ReplyCancel
  2. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Ồ, anh rất tò mò cách làm của em?

    ReplyCancel
  3. Minhnd Ngocminh
    9 years ago

    Theo anh. logarit có liên quan gì đến hình học không ạ?

    ReplyCancel
  4. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Minhnd Ngocminh Logarit và Hình học? Anh ngạc nhiên đấy! Anh háo hức muốn nghe ý tưởng của em lắm rồi đấy!

    ReplyCancel
  5. Catus Smile
    9 years ago

    Em cũng thế. Em cũng tò mò ý tưởng của anh Minhnd Ngocminh 🙂

    ReplyCancel
  6. Minhnd Ngocminh
    9 years ago

    Catus Smile: Em tìm hiểu trước đi đã nhé!

    ReplyCancel
  7. Catus Smile
    9 years ago

    Dạo này ko luyện thi nên lười anh ạ:(

    ReplyCancel
  8. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Mình có nên viết thêm bài kết giải quyết triệt để bài toán không? Hay tiếp tục chờ đợi sự phát hiện của các bạn? Đã hai ngày trôi qua, sau khi bài viết online.

    ReplyCancel
  9. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Luonghaihau Bui: Tôi đã cập nhật phần hai, mời thầy cùng trao đổi: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

    ReplyCancel
  10. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Minhnd Ngocminh: Đã có phần 2 của bài viết: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

    ReplyCancel
  11. tiên học toán
    9 years ago

    bạn giúp mình bài này với
    cho a= log5(18); b= log5(60). Hãy biểu diễn log3(2) theo a và b
    bài này mình đã thử dùng theo cách của bạn nhưng không ra, hic, giúp mình với
    mình cảm ơn nhiều nhé 🙂

    ReplyCancel
    • thapsang.vn
      9 years ago

      Bạn chưa đọc phần 2 của bài viết phải không? Bạn đọc phần 2 và xử lý nó nhé: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

      Chúc may mắn!

      P/s: Mình giải ra rồi

      ReplyCancel
    • thapsang.vn
      9 years ago

      Sau 2 ngày tôi trả lời, không thấy bạn phản hồi?

      Tôi đã trả lời câu hỏi của bạn tại đây: https://thapsang.vn/hoi-dap-cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho#q1

      ReplyCancel
  12. khanhnguyen
    8 years ago

    log2(3)=a va log3(5)=b ,tinh log7(2) theo a va b

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      8 years ago

      Bạn chưa đọc phần 2 của bài viết phải không? Bạn đọc phần 2 và xử lý nó nhé: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

      Mách nhỏ: Bài toán của bạn không có đáp số.

      ReplyCancel
      • khanhnguyen
        8 years ago

        da e cam on thay.e giai cung ko ra ^^ hok co dap so vay la de bi sai 😀

        ReplyCancel
  13. Nhựt Khánh Lê
    8 years ago

    làm sao để tải về

    ReplyCancel
  14. Nguyễn Thế Phúc
    8 years ago

    Bạn đọc, hiểu, vận dụng là được rồi. Tải về làm chi?

    ReplyCancel
  15. Như Uyên
    8 years ago

    cách diễn giải rất tự nhên & dễ hiểu.. mong tác giả trang này sẽ có thêm nhiu bai viet hay hon nua….
    điều thú vị của việc học các môn tự nhiên k fải nằm ở việc biết cách làm.. mà là hiểu bản chất of vấn đề

    ReplyCancel
  16. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân
    8 years ago

    Lg10=a lg cơ số 20 của 50 bằng b tính lg cơ số 9 của 40 theo a,b

    ReplyCancel
  17. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân
    8 years ago

    Sorry lg15 =a, lg cơ số 20 của 50 bằng b tính …..

    ReplyCancel
  18. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân
    8 years ago

    Nếu ko tách dc về dạng tích và thương thì seo ad

    ReplyCancel
  19. Nguyễn Thế Phúc
    8 years ago

    Câu trả lời ở phần hai, bạn đọc và tự trả lời nhé: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

    ReplyCancel
  20. Nguyễn Thế Phúc
    8 years ago

    Nguyễn Huỳnh Thành Nhân Gợi ý: Bạn đổi các logarit cần tính và logarit đã cho về cơ số 10. Chú ý thêm rằng: log 2 = 1 – log 5.

    ReplyCancel
  21. Văn Sáu Bùi
    8 years ago

    Xin chỉ cho cách tính hoặc tính giúp luôn:Cho: lnX = 78.0351, tính X?

    ReplyCancel
  22. Nguyễn Thế Phúc
    8 years ago

    lnX = 78.0351 <=> X = e^{78.0351}

    ReplyCancel
  23. Phạm Hiền
    8 years ago

    thầy hướng dẫn giúp e với ạ a^ {căn bậc hai của loga cơ số a của b} – b^{loga cơ số b của a} = 0

    ReplyCancel
  24. Lê Hoàng Nhật
    7 years ago

    cám ơn về bài viết, nội dung rất hữu ích.

    ReplyCancel
  25. Lê Hoàng Nhật
    7 years ago

    cám ơn về bài viết, nội dung rất hữu ích.

    ReplyCancel
  26. Hddh
    6 years ago

    Giúp mk với ạ: cho log3(5)=a. Tính log√45(75) theo a

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      Bạn chỉ cần biểu diễn logarit cần tính theo logarit cơ số 3 là được.

      Đáp số:
      \[\log_{\sqrt{45}}{75}=2\frac{1+2a}{2+a}\]

      ReplyCancel
  27. phạm thị cẩm nhung
    6 years ago

    Cho log(2)5=a.tinh log(20)900 theo a

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      Với đề bài như thế, thì kết quả chỉ có thể như sau:

      \[\log_{20}{900}=\frac{2\log_{2}{3}+2+2a}{2+a}\]

      Em có chắc chắn đã gõ đúng đề bài?

      ReplyCancel
  28. đạt
    6 years ago

    giúp mình với : biết log2(5)=a, log2(3)=b. tính A=c^log căn c(a * căn b * căn bậc 3 của c).

    ReplyCancel
  29. Le Quoc Nhat
    6 years ago

    ln(N/N0)=-kt tính log(n/N0)

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      Có phải đề bài của bạn như sau: $$\ln{\frac{N}{N_0}}=-kt$$. Tính $$\log{\frac{N}{N_0}}$$.

      Trong đó $$kt$$ là gì vậy?

      ReplyCancel
  30. long
    6 years ago

    cho c =15^3 tính log25 cuar15 theo c

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      Câu hỏi của bạn thật sự không liên quan lắm đến chủ đề của bài viết. Bạn hoàn toàn có thể giải được, gợi ý là lấy logarit cơ số 25 hai vế của $$c=15^3$$ là bạn sẽ có đáp số.

      Chúc may mắn!

      ReplyCancel
  31. trang
    5 years ago

    log14 (28)=a. tính log14 (44) theo a tính thế nào, thưa thầy?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      5 years ago

      Thầy không tính $$\log_{14}{44}$$ theo $$\log_{14}{28}$$ được em ạ. Nếu em biết ai đó tính được thì chia sẻ với thầy nhé!

      ReplyCancel
      • Vi thị hà
        5 years ago

        Giúp e bài này với ạ.cho log(a)b=2;log(a)c=3.tính p=log(a)b^2*c^3

        ReplyCancel
        • Thapsang.vn
          5 years ago

          Em tham khảo:

          \[\log_{a}{(b^2*c^3)}=\log_{a}{b^2}+\log_{a}{c^3}\]
          \[=2\log_{a}{b}+3\log_{a}{c}\]

          [latexpage]

          ReplyCancel
  32. Yue
    3 years ago

    Giải giúp e với :
    Log7(12)=a, log12(24)=b
    Tính log54(168)=??

    ReplyCancel
  33. Linh Le
    1 month ago

    Thích những blog học toán với lối dẫn dắt như này hơn là những trang toán/kênh toán lắp đầy lý thuyết nhưng khô khan, “toán không chán, là bạn chán”, dù là đọc chữ nhưng cảm nhận được kiến thức rất tự nhiên như dạo nhạc vào đầu.

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      1 month ago

      Chúc mừng năm mới! Chúc bạn một năm với nhiều thành tựu trong học tập!

      ReplyCancel

Trả lời Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

9 years ago 45 Comments Dạy và học toánCách phân tích, Logarit, Lớp 12, Quy tắc tính logarit, Tình huống có vấn đề104,592
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Cắt file mp3 thành nhiều file trên Ubuntu 25/02/2023
  • Cách cập nhật ảnh đại diện cho tài khoản ChatGPT 12/02/2023
  • Bảo vệ: Quy trình tạo dàn đèn nhấp nháy hình con giáp 29/01/2023
Bình luận gần đây
  • Thapsang.vn trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Linh Le trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Finn trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
  • Lynh trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
Chuyên mục
  • Công nghệ (26)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (12)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
  • Tool for Teaching Logbook (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordCách phân tíchThi THPT Quốc Gia 2019MS Word 2010Khẩu quyếtSai lầm thường gặpTình huống có vấn đềLớp 11LogaritChromePhổ điểm thiGoogle classroomChuyển đổi sốSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánKhối AGgAdmin1windowsTại saoThi THPT Quốc Gia 2018SMASGTNNQuy tắc tính logaritGTLNLũy thừaSGDBLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũShutdown TimerCách gõ công thức toánGmailDẫn nhậpMicrosoft ExcelCách vào bàiDesignCách tính nhẩmOffice 365Top điểm 10Hẹn giờ tắt máyCách nhớ các công thức toán họcKỹ thuật mở bàiThi vào 10Gợi động cơ
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
207 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
45 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
185,219 views
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
177,624 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
136,572 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
134,520 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
114,424 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Nếu là một nhà giáo thì ta hãy nên cố gắng nhiều hơn, không phải vì trọng trách của mình chỉ đơn giản là truyền đạt sự hiểu biết, mà hãy đánh thức trong tâm hồn trẻ nhỏ những phẩm tính căn bản của con người, chẳng hạn sự tốt bụng, lòng từ bi, khả năng tha thứ hay sự hòa thuận.

— Đức Đạt-Lai Lạt-Ma
2012 © Thapsang.vn