Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Bạn đang xem phần 1 / 3 của series Cách tính logarit.

“Tính một logarit theo các logarit đã cho” là bài toán thường gặp với giáo viên và các bạn học sinh lớp 12, khi dạy và học về Logarit. Thực tế cho thấy, với bài dễ thì học sinh giải không khó khăn gì, nhưng với một bài toán khó hơn chút xíu thì nhiều bạn lại khá lúng túng. Sở dĩ có tình trạng như vậy là vì các bạn chưa nhìn ra bản chất của bài toán từ đó có một đường-lối chung để giải quyết các bài cùng loại. Bài viết này mình chia sẻ một đường-lối chung để giải quyết các bài toán loại này.

Ví dụ 1: Tính logarit theo 1 logarit đã cho
Ví dụ 2: Vẫn tính logarit theo 1 logarit đã cho 😀
Bài toán tổng quát
Ví dụ 3: Tính logarit theo 2 logarit đã cho
Lưu ý dạy và học

Để tìm hiểu đường-lối đó ra sao, chúng ta bắt đầu với một ví dụ sau có trong SGK Giải tích 12.

1. Tính một logarit theo 1 logarit đã cho

Ví dụ 1. Cho $\alpha = \log_2{20}$ . Hãy tính $\log_{20}{5}$ theo $\alpha$ .1

Phân tích

* Vì hai logarit không cùng cơ số nên ta sẽ đổi cơ số của logarit cần tính về cơ số của logarit đã cho

$\log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\log_2{5}}{\alpha}$

* Do đó, bài toán trở thành

Tính $\log_2{5}$ theo $\alpha = \log_2{20}$

* Nhận xét, vì hai logarit có cùng cơ số nên để tính logarit thứ nhất theo logarit thứ hai thì ta cần biểu diễn $5$ theo $20$ . Thật đơn giản, ta có $5=\frac{20}{4}$ , do đó:

$\log_2{5}=\log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}=\alpha - \log_2{(2^2)}=\alpha - 2$

* Để tập trung vào nội dung chính là tìm đường-lối chung, mình không trình bày lời giải của ví dụ này và các ví dụ dưới đây. Bạn tự trình bày nhé.

Bình luận

Bạn có thấy cách phân tích như thế dễ hiểu và tự nhiên không? Chỉ cần biểu diễn $5$ theo $20$ là chúng ta đã giải được bài toán một cách thật dễ dàng. Hãy sử dụng kinh nghiệm đó để giải tiếp một toán tương tự sau đây, xem sao:

2. Vẫn tính một logarit theo 1 logarit đã cho 😀

Ví dụ 2. Cho $a=\log_{15}{3}$ . Tính $\log_{15}{25}$ theo $a$ .

Phân tích

* Với kinh nghiệm giải ví dụ 1 trên, nhận xét rằng hai logarit này cùng có cơ số là $15$ nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc biểu diễn $25$ theo $3$

* Ồ, bạn thấy ngay! Làm sao có thể biểu diễn $25$ theo $3$ được? Chúng là hai số nguyên-tố-cùng-nhau mà2. Vậy, nếu không biểu diễn được $25$ theo $3$ thì làm sao tính được $\log_{15}{25}$ theo $\log_{15}{3}$ đây?

* Nhưng rõ ràng, ở ví dụ 1 chỉ cần biểu diễn $5$ theo $20$ là ta có thể giải quyết bài toán thật “ngon lành” mà. Không nhẽ vì ta đã giải ví dụ 1 một cách dễ dàng quá nên chưa hiểu hết bản chất của cách giải chăng? Thử nghiên cứu lại cách giải ở ví dụ 1 xem sao? Ta đã làm gì:

– Vì cần biểu diễn $5$ theo $20$ nên ta viết $5=\frac{20}{4}$

– Sau đó áp dụng phép toán logarit của một thương, ta có: $\log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}$

– Tiếp theo, vì $4=2^2$ nên áp dụng phép toán logarit của một lũy thừa có cùng cơ số, ta có:

$\log_2{4}=\log_2{(2^2)}=2$

* Ồ, phải rồi. Sở dĩ việc biểu diễn $5$ theo $20$ giúp tính được $\log_2{5}$ theo $\log_2{20}$ là vì ta tính được $\log_2{4}$ . Việc tính được $\log_2{4}$ là vì $4$ là lũy thừa có cơ số bằng với cơ số của logarit (cơ số $2$ ). Như vậy, bản chất của cách giải trên không chỉ có mỗi việc biểu diễn $5$ theo $20$ mà phải hiểu là đầy đủ là: “Biểu diễn $5$ theo tích hoặc thương các lũy thừa của $20$ và của $2$ – cơ số của logarit.”3

* Hãy vận dụng hiểu biết mới này cho ví dụ trên. Để tính $\log_{15}{25}$ theo $\log_{15}{3}$ , ta cần biểu diễn $25$ theo tích hoặc thương của các lũy thừa nào? Đó là lũy thừa của cơ số và đối của logarit đã cho: $15$ và $3$ . Ta có:

$25=5.5=\frac{15}{3}.\frac{15}{3}=\left (\frac{15}{3}\right )^2$

* Do đó, bài toán được giải quyết:

$\log_{15}{25}=\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )^2}=2\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )}=2(\log_{15}{15}-\log_{15}{3})=2-2a$

Kết luận

Muốn tính một logarit theo một logarit đã cho cùng cơ số ta biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích hoặc thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho. Đó chính là nội dung của bài toán tổng quát dưới đây.

3. Bài toán tổng quát

Bài toán: Cho $\alpha = \log_a{x}$ với $0 < a,x,y$ và $a\ne 1$ . Tính $\log_a{y}$ theo $\alpha$ .

Giải

* Giả sử tồn tại hai số $m,n\in \mathbb{R}$ sao cho $y=a^m.x^n$

* Khi đó ta có:

$\log_a{y}=\log_a{(a^m.x^n)}=\log_a{a^m}+\log_a{x^n}=m+n.\log_a{x}=m+n.\alpha$

Nhận xét:

– Nếu không tồn tại hai số $m,n$ thỏa mãn $y=a^m.x^n$ thì rõ ràng bài toán không có đáp số!

– Nếu tồn tại 2 số $m,n\in \mathbb{R}$ sao cho $y=\frac{a^m}{x^n}$ thì tính tương tự.

– Trong thực hành, mấu chốt là tìm được hai số $m,n$ . Đòi hỏi bạn phải khéo léo biến đổi, thực hiện các phép toán số học và lũy thừa.

Cách tính một logarit theo một logarit cùng cơ số cho đã cho.

Vậy bạn nhớ nhé, cứ “Biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích/thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho” là bài toán được giải quyết. Giờ chúng ta sẽ vận định-hướng này cho ví dụ dưới đây.

4. Tính một logarit theo 2 logarit đã cho

Ví dụ 3. Cho $\log_{14}{7}=a,\log_{14}{5}=b$ . Tính $\log_{35}{28}$ theo $a,b$ .

Phân tích

* Vì logarit cần tính không cùng cơ số với hai logarit đã cho nên trước tiên ta cần đổi về cùng cơ số $14$ :

$\log_{35}{28}=\frac{\log_{14}{28}}{\log_{14}{35}}$

* Dễ thấy rằng $35=7.5$ nên $\log_{14}{35}=\log_{14}{7}+\log_{14}{5}=a+b$

* Giờ ta tiếp tính $\log_{14}{28}$ theo các logarit $\log_{14}{7}$ và $\log_{14}{5}$ . Muốn vậy, ta chỉ cần biểu diễn $28$ thành tích/thương các lũy thừa của $14;7$ và $5$ là xong. Ta có:

$28=14.2=14.\frac{14}{7}=\frac{14^2}{7}$

Suy ra $\log_{14}{28}=\log_{14}{\frac{14^2}{7}}=\log_{14}{14^2}-\log_{14}{7}=2-a$

* Vậy $\log_{35}{28}=\frac{2-a}{a+b}$

5. Lưu ý dạy và học

* SGK đã trình bày lời giải ví dụ 1 ở trên, như sau:

Ta có

$\alpha=\log_2{20} = \log_2{(2^2.5)}=2\log_2{2} + \log_2{5} = 2 + \log_2{5}$

suy ra $\log_2{5}=\alpha -2$

Vậy $\log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\alpha - 2}{\alpha}$

Bạn có thấy cách trình bày dễ hiểu và tự nhiên không? Mình nghĩ cách trình bày như vậy rất không tự nhiên, khó hiểu với những bạn mới bắt đầu học về logarit và do đó nó không giúp ích gì nhiều cho các bạn tự học.

* Hãy dùng bí-quyết trên để giải quyết các bài toán tương tự mà bạn gặp. Nếu bạn gặp một bài toán loại này mà bí-quyết trên không giúp bạn giải được nó thì hãy gõ nó hộp bình luận dưới đây và chúng ta cùng “xử-lý” nó. 😀

Xem tiếp phần 2: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)

Th11 16, 2013Thapsang.vn

Viết bình luận

Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Nhánh vô cực nhưng bị cụt