Với các bạn học sinh trung bình thì “Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác” ở đầu năm lớp 11 cũng là không dễ dàng. Nguyên nhân phổ biến là do các bạn không nắm vững kiến thức cơ bản và kĩ năng tư duy giải dạng toán này. Qua việc phân tích cách giải một bài tập đơn giản có trong SGK, bài viết cố gắng làm lộ ra những kiến thức và cách thức tư duy cơ bản thường dùng để giải các bài tập cùng loại.
1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Chúng ta lấy “Bài 8, SGK Đại số và Giải tích 11, trang 18” làm ví dụ. Đề bài như sau:
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a)
b)
Một bài toán quá dễ phải không? Tuy nhiên, như mình đã nói ở trên, cái mình quan tâm không phải là nó dễ hay khó, mà là “Đường lối suy nghĩ” và những kiến thức cơ bản cần dùng để giải nó. Chúng rất đáng được quan tâm vì chúng là tối thiểu và còn được dùng nhiều sau này.
Chúng ta bắt đầu với câu a.
a) Thêm càng nhiều, tổng càng lớn 🙂
![\[y=2\sqrt{\cos x} + 1\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3aef320a0f8963fc5d397746d4c3a25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Phân tích
* Bài toán không chỉ rõ tìm GTLN của hàm số trên tập nào nên ta sẽ tìm trên tập xác định của hàm số. Điều kiện xác định là 
* Nhận xét, biểu thức 
của hàm số là tổng của một số không đổi với 
nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào 
và nếu càng lớn thì tổng này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, tổng này sẽ lớn nhất khi lớn nhất. Giờ chúng ta chỉ cần tìm GTLN của là xong.
* Mà 
và 
khi 
nên lớn nhất là bằng 1. Đối chiếu với điều kiện thì giá trị thỏa mãn.
* Từ đó suy ra hàm số 
đạt GTLN bằng 
Giải
* Điều kiện xác định:
* Ta có:
![\[0\le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt{\cos x} \le 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{\cos x} \le 2 \Leftrightarrow 2\sqrt{\cos x} + 1 \le 3\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0b1c93046b31b17f6a5a8cc78acd8d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dấu “=” xảy ra khi 
(thỏa mãn điều kiện)
* Do đó, hàm số đã cho có GTLN bằng 3 khi
b) Bớt càng ít, hiệu càng to 🙂
![\[y=3-2\sin x\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfa10a3ec82534064f7b3ae6e62c3156_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Phân tích
* Hàm số xác định với mọi 
nên bất cứ giá trị nào làm hàm số đạt GTLN thì đều là thỏa mãn mà không cần đối chiều điều kiện như câu a. Kiểu như khi hết duyên ấy: “Bắt được” anh nào thì “lấy luôn” anh đấy, khỏi cần “check in” 
* Quan sát biểu thức của hàm số một chút, biểu thức của hàm số này có khác so với câu a. Nếu câu a là tổng của 2 số hạng thì câu này là hiệu của hai số hạng.
* Nhưng do 
là hiệu của một số không đổi với 
nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào giá trị của 
và nếu càng nhỏ thì hiệu này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, hiệu này sẽ lớn nhất khi là nhỏ nhất. Kiểu như, bố mẹ chỉ cho 3$ để đi học cả tuần nên nếu tiêu càng ít thì tiền dư càng nhiều. Chả tiêu gì thì tiền dư là lớn nhất 😀 Giờ ta chỉ cần tìm GTNN của là xong!
* Mà 
và 
khi 
nên nhỏ nhất là bằng 
.
* Từ đó suy ra hàm số 
đạt GTLN bằng 
Giải
* Tập xác định: 
* Với mọi , ta luôn có
![\[\sin x \ge -1 \Leftrightarrow -2\sin x \le 2 \Leftrightarrow 3 - 2\sin x \le 5\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bd61f1ea1670f8bbf09db8256f29aca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
* Do đó hàm số đã cho có GTLN bằng 5 khi 
2. Bình luận
* Thực chất đây không phải là bài toán mới, mà chỉ là một trường hợp của dạng tổng quát – các bạn đã từng gặp ở lớp dưới. Đó là,
Cho 
là số không đổi thì tổng 
lớn nhất khi 
lớn nhất và hiệu 
lớn nhất khi nhỏ nhất.
là một hàm bậc hai, chứa căn,… thì giờ nó là một hàm lượng giác.* Ở câu a, ngoài cách giải trên bạn còn có thể giải theo cách sau 
từ đó suy ra 
,… Tương tự, bạn cũng có thể giải câu b theo cách này.
* Suy nghĩ thêm về yêu cầu của bài toán, bài toán chỉ yêu cầu tìm GTLN của các hàm số. Vậy nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của các hàm số thì bạn có thể giải tương tự không? Nếu giải xong rồi thì nhớ làm thêm một số bài tương tự có trong sách bài tập nhé!
* Biểu thức của các hàm số trên đều chỉ chứa hoặc hoặc , vậy nếu biểu thức của hàm số mà chứa đồng thời cả lẫn thì chúng ta sẽ làm như thế nào? Chẳng hạn như, tìm GTLN của hàm số 
hay 
,…
