Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Bạn đang xem phần 1 / 3 của series Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Với các bạn học sinh trung bình thì “Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác” ở đầu năm lớp 11 cũng là không dễ dàng. Nguyên nhân phổ biến là do các bạn không nắm vững kiến thức cơ bản và kĩ năng tư duy giải dạng toán này. Qua việc phân tích cách giải một bài tập đơn giản có trong SGK, bài viết cố gắng làm lộ ra những kiến thức và cách thức tư duy cơ bản thường dùng để giải các bài tập cùng loại.

1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Chúng ta lấy “Bài 8, SGK Đại số và Giải tích 11, trang 18” làm ví dụ. Đề bài như sau:

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) y=2\sqrt{\cos x} + 1

b) y=3-2\sin x

Một bài toán quá dễ phải không? Tuy nhiên, như mình đã nói ở trên, cái mình quan tâm không phải là nó dễ hay khó, mà là “Đường lối suy nghĩ” và những kiến thức cơ bản cần dùng để giải nó. Chúng rất đáng được quan tâm vì chúng là tối thiểu và còn được dùng nhiều sau này.

Chúng ta bắt đầu với câu a.

a) Thêm càng nhiều, tổng càng lớn 🙂

    \[y=2\sqrt{\cos x} + 1\]

Phân tích

* Bài toán không chỉ rõ tìm GTLN của hàm số trên tập nào nên ta sẽ tìm trên tập xác định của hàm số. Điều kiện xác định là \cos x \ge 0

* Nhận xét, biểu thức 2\sqrt{\cos x} + 1 của hàm số là tổng của một số không đổi với 2\sqrt{\cos x} nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào \cos x và nếu \cos x càng lớn thì tổng này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, tổng này sẽ lớn nhất khi \cos x lớn nhất. Giờ chúng ta chỉ cần tìm GTLN của \cos x là xong.

* Mà \cos x \le 1,\forall x\cos x = 1 khi x=k.2\pi, k\in \mathbb{Z} nên \cos x lớn nhất là bằng 1. Đối chiếu với điều kiện thì giá trị \cos x = 1 thỏa mãn.

* Từ đó suy ra hàm số y=2\sqrt{\cos x} + 1 đạt GTLN bằng 2\sqrt{1}+1=3

Giải

* Điều kiện xác định: \cos x \ge 0

* Ta có:

    \[0\le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt{\cos x} \le 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{\cos x} \le 2 \Leftrightarrow 2\sqrt{\cos x} + 1 \le 3\]

dấu “=” xảy ra khi \cos x = 1 \Leftrightarrow x=k.2\pi, k\in \mathbb{Z} (thỏa mãn điều kiện)

* Do đó, hàm số đã cho có GTLN bằng 3 khi x=k.2\pi, k\in \mathbb{Z}

Ok, xong câu a. Bạn có thấy lời giải khá đơn giản và tự nhiên không? Bạn có nhận ra chúng ta đã sử dụng những kiến thức cơ bản nào không? Nếu vẫn chưa thấy gì thì phải tiếp tục với câu b thôi 😀

b) Bớt càng ít, hiệu càng to 🙂

    \[y=3-2\sin x\]

Phân tích

* Hàm số xác định với mọi x nên bất cứ giá trị x nào làm hàm số đạt GTLN thì đều là thỏa mãn mà không cần đối chiều điều kiện như câu a. Kiểu như khi hết duyên ấy: “Bắt được” anh nào thì “lấy luôn” anh đấy, khỏi cần “check in” :mrgreen:

* Quan sát biểu thức của hàm số một chút, biểu thức của hàm số này có khác so với câu a. Nếu câu a là tổng của 2 số hạng thì câu này là hiệu của hai số hạng.

* Nhưng do 3-2\sin x là hiệu của một số không đổi với 2\sin x nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào giá trị của \sin x và nếu \sin x càng nhỏ thì hiệu này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, hiệu này sẽ lớn nhất khi \sin x là nhỏ nhất. Kiểu như, bố mẹ chỉ cho 3$ để đi học cả tuần nên nếu tiêu càng ít thì tiền dư càng nhiều. Chả tiêu gì thì tiền dư là lớn nhất 😀 Giờ ta chỉ cần tìm GTNN của \sin x là xong!

* Mà \sin x \ge -1,\forall x\sin x = -1 khi x=-\frac{\pi}{2}+k.2\pi, k\in \mathbb{Z} nên \sin x nhỏ nhất là bằng -1.

* Từ đó suy ra hàm số y=3-2\sin x đạt GTLN bằng 3-2(-1)=5

Giải

* Tập xác định: D=\mathbb{R}

* Với mọi x, ta luôn có

    \[\sin x \ge -1 \Leftrightarrow -2\sin x \le 2 \Leftrightarrow 3 - 2\sin x \le 5\]

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \sin x =-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2} + k.2\pi, k\in \mathbb{Z}

* Do đó hàm số đã cho có GTLN bằng 5 khi x=-\frac{\pi}{2} + k.2\pi, k\in \mathbb{Z}

2. Bình luận

* Thực chất đây không phải là bài toán mới, mà chỉ là một trường hợp của dạng tổng quát – các bạn đã từng gặp ở lớp dưới. Đó là,

Cho C là số không đổi thì tổng C + f(x) lớn nhất khi f(x) lớn nhất và hiệu C - f(x) lớn nhất khi f(x) nhỏ nhất.

Nếu trước đây bạn thường giải bài toán này với f(x) là một hàm bậc hai, chứa căn,… thì giờ nó là một hàm lượng giác.

* Ở câu a, ngoài cách giải trên bạn còn có thể giải theo cách sau y-1=2\sqrt{\cos x}\le 2 từ đó suy ra y \le 3,… Tương tự, bạn cũng có thể giải câu b theo cách này.

* Suy nghĩ thêm về yêu cầu của bài toán, bài toán chỉ yêu cầu tìm GTLN của các hàm số. Vậy nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của các hàm số thì bạn có thể giải tương tự không? Nếu giải xong rồi thì nhớ làm thêm một số bài tương tự có trong sách bài tập nhé!

* Biểu thức của các hàm số trên đều chỉ chứa hoặc \sin x hoặc \cos x, vậy nếu biểu thức của hàm số mà chứa đồng thời cả \sin x lẫn \cos x thì chúng ta sẽ làm như thế nào? Chẳng hạn như, tìm GTLN của hàm số y=1+\sin x\cos x hay y=\sqrt{3}\sin x - \cos x,…


Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpỨng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số →

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Đức says:

    Bài viết hay

  2. Trần Ngọc Minh says:

    Cảm ơn anh đã chia sẻ!

  3. Mr Tee says:

    Bài viết hay. Tiếp tục thầy nhé

  4. van says:

    bai viet rat tot

  5. Que Nguyen says:

    còn có dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm thuần nhất đv sin và cos nữa ạ.

  6. Đúng rồi em ạ, thầy viết ba chấm mà 🙂

  7. Lê Đức Toàn says:

    cám ơn người viết rất nhiều

  8. Nga Đoàn Thúy says:

    Cảm ơn về bài viết của thầy rất nhiều ^_^

  9. damdung_sptt says:

    thay có thể hướng dẫn cách giải bài này giúp em đc k?
    Tìm GTLN, GTNN của y= căn bậc hai của cosx + căn bậc hai của sinx
    Mong sớm được thầy giúp đỡ

  10. Bài toán không dành cho học sinh lớp 11 và cũng không dễ với học sinh lớp 12. Với một hàm lượng giác mà việc đánh giá nó không dễ dàng thì phương án đầu tiên mà bạn nên thử là sử dụng đạo hàm.

    Bạn chỉ cần xét hàm số tương ứng trên đoạn [0; pi/2]. Kết quả: Min y = 1, Max y = 2^{3/4}

    Chúc bạn may mắn

  11. Thuy ha says:

    Bài viết rất hay!

  12. Vu Hanh says:

    bài viết bổ ích quá .cám ơn thầy nhiều lắm!!!

  13. Luu Kim says:

    bài viết của thấy rất là hay very good <3 <3

  14. Nguyễn Khánh Huỳnh says:

    Cảm ơn thầy. Bài viết rất hay và dễ hiểu. Mong thầy tiếp tục cập nhật những phương pháp giải mới.

  15. Nguyễn Thế Phúc em k ngờ lại gặp thầy trên này, :v

  16. Nguyễn Thế Phúc em k ngờ lại gặp thầy trên này, :v

  17. Duy says:

    Thầy trang bị thêm biểu tượng chỗ in bài viết, hoặc là chỗ down bài viết xuống được không? Em tìm chỗ in bài viết mà không được! Cám ơn bài viết của Thầy.

  18. My Cao says:

    bai nay hay wa

  19. Học sinh lớp 11 đã học đạo hàm đâ

  20. Cảm ơn thầy nhiều

  21. thay co the giai giup e bai toan nay dc hk thay
    Tim GTLN,GTNN cua ham so y=(can3)cosx – sinx + 1

  22. Nguyễn Thạch says:

    bài này giải lam sao a.y=sin2x.sinx-5.tìm gtln gtnn ạ

  23. tìm gtln gtnn y=sin2x.sinx-5.thầy giúp e vs ạ

  24. Em có thể làm theo cách sau:
    * Biến đổi biểu thức của hàm số theo cos x.
    * Đặt biến phụ t = cos x với điều kiện t từ -1 đến 1
    * Tìm GTLN, GTNN của hàm số mới theo biến t trên đoạn [-1;1]

    Chúc em thành công!

  25. Nếu em đang học lớp 11 thì hãy áp dụng luôn điều kiện có nghiệm của phương trình asinx + bcosx = c. Cụ thể có thể làm như sau:

    * (can3)cosx – sinx = y – 1
    * PT trên có nghiệm khi và chỉ khi [can(3)]^2 + (-1)^2 >= (y-1)^2
    * Giải bất phương trình ẩn y trên, tìm được GTLN, GTNN của y

    Chúc em thành công!

  26. sau khi đặt t thì nó ra thế này y=-2t^3+2t-5.thầy giúp e tiếp đc ko ạ

  27. Nguyễn Quang Thạch Em đang học lớp 11 hay 12? Để thầy có hướng dẫn phù hợp.

  28. Bee Tiny says:

    thầy ơi tính giúp e GTLN GTNN của hàm số f(x)= x^2-ln(1-2x)
    giúp e gấp thầy ơi

  29. Bee Tiny says:

    thầy ơi tính giúp e GTLN GTNN của hàm số f(x)= x^2-ln(1-2x)
    giúp e gấp thầy ơi

  30. Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên thôi em!

  31. Bee Tiny says:

    Nguyễn Thế Phúc
    ĐỀ ở trên của e gửi thầy còn thiếu D=[-2;0]
    dạ thưa thầy e làm vậy có đúng không ạ?
    Đặt y =f(x) = 2x^2 -ln(1-2x)
    Xét hàng sô đã cho lên tục trên D=[-2;0]
    y'= -4x^2+2x-2 / (1-2x) < 0 với mọi x thuộc D
    y(-2)=2,4
    y(0)=-2
    Kết luật Maxytrên D……
    Miny trên D……….

  32. Bee Tiny Nếu là trên đoạn thì phương pháp giải của em là đúng. Nhưng lời giải thì có mắc lỗi, em kiểm tra lại đạo hàm nhé.

  33. Bee Tiny says:

    Nguyễn Thế Phúc DẠ e cảm ơn thầy
    e đạo hàm sai dấu ở -2 kết quả đúng là +2

  34. không hiểu gì hết thầy ơi :'(

  35. THÀY OI! GIA GIUPW E BÀI NÀY VỚI
    Y=CĂN(X^2+3)-X.LnX TRÊN [1,2]

  36. THÀY OI! GIA GIUPW E BÀI NÀY VỚI
    Y=CĂN(X^2+3)-X.LnX TRÊN [1,2]

  37. Cảm ơn em đã phản hồi! 🙂

  38. Đây là một câu trong đề thi tốt nghiệp năm 2013. Em tham khảo đáp án tại đây nhé: http://tin.tuyensinh247.com/dap-an-de-thi-tot-nghiep-thpt-mon-toan-nam-2014-c28a9047.html

  39. nho thay giup e bai nay voi a: tim GTLN cua ham so y= sin^2(x). cos^6(x) voi a. Cảm ơn thầy trước .

  40. * Biểu diễn hàm số theo cos^2(x)
    * Rồi đặt biến phụ t = cos^2(x) với 0<=t<=1
    * Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số g(t)=t^3 – t^4 trên đoạn [-1;1]
    Chúc em thành công!

  41. Hoang Tien says:

    tìm gips tập giá trị hs y= 2sin3x + cos3x + 6 nha thầy , thanks

  42. Có nhiều cách giải. Em có thể làm thế này:
    * Biến đổi phương trình về dạng: 2sin 3x + cos 3x = y – 6
    * Áp dụng điều kiện có nghiệm của pt dạng a.sin x + b.cos x = c
    Từ đó tìm ra GTLN, GTNN của hàm số.
    Chúc em thành công!

  43. Kim Junior says:

    "nếu biểu thức của hàm số mà chứa đồng thời cả sinx lẫn cosx thì chúng ta sẽ làm như thế nào? Chẳng hạn như, tìm GTLN của hàm số y=1+sinxcosx hay y=3√sinx−cosx,…"
    có link giải không ạ, em muốn xem tiếp

  44. Hoang Tien says:

    gieo 2 con xúc sắc , tính sác cuất ít nhất 1 lần ra mặt 6 , phải giải như thế này ko ạ?
    1- ( 5/6.5/6)= 0.33 , thanks thầy

  45. Thầy rất vui vì em muốn xem tiếp, nhưng thầy chưa kịp viết tiếp. Đừng nản chí nhé, hãy tiếp tục khám phá, tìm hiểu các vấn đề mà em muốn.

    Trên mạng có rất nhiều tài liệu về chủ đề này, hãy dùng Google nhé. Chúc em may mắn! 🙂

  46. Kim Junior says:

    Nguyễn Thế Phúc Vâng, em cảm ơn ạ!

  47. Kim Junior says:

    t nghĩ là 11/36 🙂

  48. nguyen thi ha says:

    thầy ơi ví dụ như pt y=cos2x+sinx tìm GTLN và GTNN k cho xđ trên đoạn nào thì lm tnao ạ có đkien tnao ạ

    • Em áp dụng công thức nhân đôi cho $$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$$ thì hàm số được biểu diễn theo $$\sin x$$. Mà $$-1\le \sin x \le 1$$ nên nếu đặt $$t=\sin x$$ thì có điều kiện $$-1\le t \le 1$$.

  49. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |sinx + căn bậc hai của (3 ) cosx + 6 | + 10
    giúp e vs mn

  50. doanh says:

    tìm giá trị lớn nhất của biểu thức |sinx + căn bậc hai của (3 ) cosx + 6 | + 10
    làm sao v thay

    • Em biến đổi biểu thức sin x + căn(3) cos x thành 1 hàm lượng giác. Từ đó đánh giá GTLN, GTNN của hàm này, rồi suy ra GTLN, GTNN của biểu thức chứa GTTĐ.

      Chúc em thành công!

  51. Nhận xét: Biểu thức đã cho lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức sin x + căn(3) cos x đạt giá trị lớn nhất.

    Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình sin x + căn(3)cos x = y, em sẽ tìm được GTLN của y.

  52. Nguyễn Thế Phúc cảm ơn thầy

  53. đáp số là j v thầy

  54. thầy ơi đọc tiếp bài giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên ở đâu ạ

  55. Hàm số chỉ chứa sin hoặc cos thì lam thế nào ạ. Ví dụ sinx + sin 2x=y

  56. Thầy chưa viết phần tiếp theo em ạ! 🙂

  57. Hàm y = sin 2x + sin x là chứa cả sin và cos đấy chứ?

  58. Nguyễn Thế Phúc à dạ vâng ạ. Vậy còn hàm chỉ chứa các hàm sin thì làm thế nào ạ

  59. Hoàng Nhung Cách làm phụ thuộc vào góc và bậc của chúng và cũng phụ thuộc vào kiến thức của em mà có cách giải quyết phù hợp.

  60. Giải hộ bài này vs m.n y=3cosx + 2

  61. giá trị lớn nhất của hàm y=2-3cos^2 (x-1) bằng bnhieu vậy ạ

  62. Bằng 2 em ạ. Hãy đọc kỹ lại bài viết nhé!

  63. Bằng 2 em ạ. Hãy đọc kỹ lại bài viết nhé!

  64. Bài này rất cơ bản. Hãy đọc kỹ lại bài viết và cố gắng giải bằng được em nhé!

  65. Bài này rất cơ bản. Hãy đọc kỹ lại bài viết và cố gắng giải bằng được em nhé!

  66. làm hộ em bài này với sin^n + c0s^n. tìm gtln gtnn với n lẻ

  67. Trang says:

    Tìm gtln , gtnn của hàm số f(x) = sinx.coss2x trên đoạn [0; pi ]

    • Nếu em đang học lớp 12 thì có thể giải theo hướng sau:

      * Áp dụng công thức nhân đôi cho $$\cos 2x = 1 – \sin^2 x$$, lúc này hàm số được biểu thị theo sin x

      * Đặt $$t = \sin x (0 \le t le 1)$$, có được hàm số mới $$g(t)$$

      * GTNL, GTNN của hàm $$g(t)$$ trên đoạn $$[0;1]$$ là các giá trị cần tìm.

      Chúc em thành công!

  68. Chào thầy cho em hỏi bài này với ạ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
    y=(sinx-cosx)^2+2cosx+3sinxcosx

  69. longdo says:

    Tim gtln,gtln cua y=(cosx-sinx+1)/(sinx+2cosx-4) ntn a!!!

    • * Do mẫu số luôn khác không, nhân cả hai vế với mẫu số, chuyển vế rút gọn ta thu được phương trình dạng: $$a.\sin{x} + b.\cos{x} = c$$

      * Do điều kiện có nghiệm của phương trình là $$a^2 + b^2 \ge c^2$$ từ đó ta thu được GTLN, GTNN của hàm số đã cho

      Chúc em thành công!

  70. Lý Hồ says:

    Tìm GTLN ,GTNN giúp em bài này với thầy:
    y = (sinx – cosx)^2 + 2cos2x + 3sinxcosx
    Em năn ni 11 nha thầy

  71. Nguyên says:

    tìm GTNN, GTLN của hàm số sin4x – 2cos2x + 1 thì làm ntn ạ

  72. Em biến đổi:

    1. Khai triển bình phương;

    2. Sau đó áp dụng các công thức nhân đôi đưa biểu thức của hàm số về dạng bậc nhất hai hàm số sin và cos của cùng một cung: y= a.sin(2x) + b.cos(2x)

    3. Đến đây có 2 hướng giải.

    a. Có thể biến đổi vế phải về 1 hàm lượng giác nhờ công thức cộng, bằng cách chia cả hai vế cho căn bậc hai của a^2 + b^2. Rồi áp dụng công thức cộng góc.

    b. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình a.sin(x) + b.cos(x) = c

    Chúc em thành công!

  73. Lý Hồ says:

    Nguyễn Thế Phúc em phân tích ra là đc : y= 1 + 2cos2x +1/2sin2x . Xong chia cả 2 vế cho căn(a^2+b^2) là đc : (2ycăn17)/17 = căn17/17sin2x + 4căn17/17cos2x + 2căn17/17. Ngang đây hệ số của cos2x và sin2x khác nhau thì sao áp công thức cộng z thầy. Nhờ thầy chỉ giúp em vs. Em cảm ơn!

  74. Lý Hồ says:

    Nguyễn Thị Uyển Nhi ^.^

  75. khanh says:

    tìm gtnn,gtln của trị tuyệt đối |sin x|+2

    • * Vì $$1\ge \sin{x} \ge -1,\ \forall x$$ nên $$1\ge |\sin{x}| \ge 0,\ \forall x$$

      * Từ đó em suy ra được GTNN, GTLN của $$|\sin{x}|+2$$ là 2 và 3

      Chúc em thành công!

      • Cho em hỏi tại sao khi thêm dấu giá trị tuyệt đối thì lại 0<|sinx|<1

        • Đó là tính chất của giá trị tuyệt đối. Em hiểu được tính chất này thì sẽ tự trả lời được câu hỏi của em.

          Thầy thử diễn tả như sau em xem có hiểu không:

          Cho a là một số và nếu vẽ điểm a trên trục số thì |a| chính là khoảng cách từ a đến gốc O.

          Giờ lấy giấy, bút và vẽ em sẽ thấy |a| >= 0. Bằng không khi nào, em trả lời được chứ?

          Tiếp tục, trên trục số vẽ cho thầy 3 điểm: -1 ; 1 và điểm a nằm giữa hai điểm -1 và 1. Tức ta có -1 < a < 1. Khi đó em nhận xét gì về khoảng cách từ a đến 0 từ đó suy ra kết luận gì về gttđ của a khi đó?

          Trả lời được 2 câu hỏi trên thì em sẽ hiểu được tính chất của gttđ.

          Chúc em thành công, thầy chờ câu trả lời của em.

  76. Lý Hồ Em mở SGK ra, đọc bài giải phương trình a.sin x + b.cos x = c sẽ biết cách áp dụng công thức cộng.

  77. Lý Hồ says:

    Nguyễn Thế Phúc Vâng. Em hiểu rồi ạ. Em cảm ơn thầy nhiều nha!!!

  78. Lý Hồ ra bao nhiêu ~~~~

  79. Pé Pyy's says:

    Tìm GTLN, GTNN của: y= (2+cosx)/(sinx+cosx-2) làm sao thầy

  80. Trần Thảo says:

    Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 – 2|sin4x| thì làm sao ạ?

    • Bài của em tương tự như bài của bạn Khanh ở bình luận phía trên.

      Em chú ý mấu chốt ở hệ số trừ 2 đứng trước là được.

      * Vì 0\le |\sin{4x}| \le 1,\ \forall x nên 0 \ge -2|\sin{4x}|\ge -2,\ \forall x
      * Từ đó em suy ra GTLN, GTNN của hàm số

  81. Ngọc says:

    tìm GTNN, GTLN của hàm số y=3sinx/(2+cosx) thì làm ntn ạ?

  82. thầy ơi câu này làm kiểu gì ạ tim GTLL GTNN của
    y=(sinxcosx+cos^2(x))/(sin^2(x)+1))

  83. Thầy giải cho em với. Tìm GTLN, GTNN của:
    y = 3 – 4sin^2x.Cos^2x

  84. * Áp dụng công thức nhân đôi và hạ bậc để đưa các hàm lượng giác về bậc nhất của cùng một cung. Cụ thể:

    sinx.cosx = 1/2 sin(2x) ; cos^2(x) = 1/2 (1 + cos(2x)) ; sin^2(x) = 1/2 (1 – cos(2x))

    * Khi đó bài toán trở về dạng tổng quát:

    "Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = (a.sin x + b.cos x)/(c.sin x + d.cos x + e)"

    * Cách giải bài toán tổng quát, giống như bài này: https://thapsang.vn/cach-phan-tich-bai-toan-tim-gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so-luong-giac#comment-1787

    Chúc em thành công!

  85. Y = 3 – Sin^2 2x
    Tco: 0<=Sin^2 2x<=1, ¥x ( note: <= nhỏ hơn bằng nhé chị )
    <=> 0.-1 >= -Sin^2 2x >= 1.-1
    <=> 0+3 >= 3-Sin^2 2x >= -1+3
    <=> 3 >= Y >= 2 ( note: >= lớn hơn bằng nhé chị )
    ———> MinY=2 <=> Sin^2 2x=1 <=> Sin2x=+_1<=> 2x=pi/2 + kpi <=> x=pi/4+kPi/2
    MãY=3 <=> Sin^2 2x=0 <=> Sin2x=0 <=> 2x=kPi <=> x=kPi/2

  86. * Áp dụng công thức nhân đôi để quy về một hàm lượng giác. Cụ thể:

    4sin^2(x).cos^2(x) = [2.sin(x).cos(x)]^2 = sin^2(2x)

    * Đến đây em có hai hướng giải:

    – Hướng 1: Đánh giá luôn sin^2(2x) (lớn hơn bằng 0 và nhỏ hơn bằng 1). Từ đó tìm được GTLN, GTNN của hàm số đã cho.

    – Hướng 2: Áp dụng công thức hạ bậc, đưa sin^2(2x) về hàm bậc nhất. Đánh giá hàm lượng giác bậc nhất rồi suy ra GTLN, GTNN của hàm số đã cho.

    Chúc em thành công!

  87. Phương Mon 4sin^2x.Cos^2x = Sin^2 2x ( Công thức nhân đôi đó à)

  88. Nguyễn Thế Phúc vâng e hiểu rồi cảm ơn thầy ạ

  89. Nguyễn Thế Phúc Em cảm ơn thầy nhiều ạ

  90. hoang says:

    tìm gtnn , gtln của hàm số
    y=sin x . sin (x+pi/6)+1 làm ntn ?

    • * Áp dụng công thức cộng, ta có

          \[\sin{(x+\frac{\pi}{6})}=\sin{x}.\cos{\frac{\pi}{6}}+\cos{x}.\sin{\frac{\pi}{6}}\]

          \[=\sin{x}.\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos{x}.\frac{1}{2}\]

      * Do đó

          \[y=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sin^2{x} + \frac{1}{2}.\sin{x}\cos{x}\]

      * Đến đây, em áp dụng công thức hạ bậc và nhân đôi, hàm số lúc này được biểu thị theo 1 hàm lượng giác bậc nhất hai hàm \sin{2x}\cos{2x}

      * Từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số đã cho.

      Chúc em thành công!

      PS: Bước 1, em có thể áp dụng công thức tích thành tổng cũng thu được kết quả tương tự.

  91. thầy ơi còn câu này nữa
    y=2cos^8((2015pi/2)-x))+cos^4(2016pi-2x)

  92. y= Cos^2(x) – 5sinx +8 làm như thế nào thầy

  93. Ly'ss Soo says:

    Giúp em với ạ:y= sinx+ cosx – sin2x +3

  94. * Áp dụng công thức cos^2(x) = 1 – sin^2(x) –> hàm số biểu thị theo sin(x)
    * Đặt t = sin(x), (-1 <= t <= 1), thu được hàm số f(t) trên đoạn [-1;1]
    * Lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của f(t) trên đoạn [-1;1]
    * Từ đó kết luận GTLN, GTNN của hàm số đã cho

    Chúc em thành công!

  95. * Đặt t = sin(x) + cos(x), (đk: -sqrt(2) <= t <= sqrt(2))
    * Biểu diễn sin(2x) theo t, thu được hàm số f(t) trên đoạn – căn 2 đến căn 2
    * Lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên đoạn – căn 2 đến căn 2
    * Từ đó kết luận GTLN, GTNN của hàm số đã cho

    Chúc em thành công!

  96. Em học lớp 11 hay lớp 12? Nếu là 12 thì hãy giải.

  97. Nguyễn Thế Phúc em cảm ơn

  98. Huân Móm says:

    giúp e vs ạ: y = y = cos^3 (x) -6cos^2 (x) +9cos (x) +5

  99. Bi Bee says:

    giúp em câu này vs ạ (2sinx-cosx)/(2sinx+2cosx+4) tìm gtln,gtnn trên [0; r/2]

  100. * Đặt t=cos x (-1 <= t <= 1)
    * Tìm gtln, gtnn của hàm f(t) trên đoạn [-1;1]
    * Kết luận

  101. Huân Móm says:

    Nguyễn Thế Phúc e cảm ơn ạ

  102. Thảo vy says:

    Thầy ơi giải giúp e bài này
    Tìm GTNNvaf GTLN…
    Sin^20x+cos^20x ạ

    • Em đổi biến rồi dùng phương pháp hàm số là được. Vài gợi ý:

      * y=(\sin^2{x})^{10} + (1-\sin^2{x})^{10}
      * Đặt t=\sin^2{x},\ 0\le t\le 1
      * Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) = t^{10} + (1-t)^{10} trên đoạn [0;1]

      Chúc em thành công!

  103. cái này chịu rồi em ạ

  104. Trần Thị Hồng Nhung chịu thật cô hạnh cho đén thầy còn k giải đk

  105. Giúp em câu này vs sin2x-x tìm gtln,gtnn trên [-pi/2;pi/2]

  106. Em dùng phương pháp hàm số để tìm nhé: Tính đạo hàm lập bảng biến thiên,…

  107. Hương Giang Miran Thầy nghĩ bài toán không làm khó thầy, nhưng nếu em thật sự muốn giải thì em đã giải được.

  108. Thầy biết một cách nhưng phải dùng đến kiến thức không có trong SGK. Còn nếu chỉ dùng kiến thức SGK thì lời giải quá phức tạp.

    Kết luận: Hãy dành thời gian giải bài này cho việc khác hữu ích hơn.

  109. Nguyễn Thế Phúc e k có ý đó ý e là e học lớp 11 mà cô e cho để 12 khó quá

  110. Nguyễn Thế Phúc e không có ý đó ý e là cô giáo thử thách chúng e quá lớn
    mơi học lớp 11 mà cô cho đè 12

  111. Hương Giang Miran mình học 11 mà cũng có mấy bài giống bạn v, chẳng biết giải

  112. Bi Bee says:

    Nguyễn Thế Phúc e cảm ơn ạ e học 12 rồi ạ

  113. giúp em câu này với tìm max,min của 5[sinx+cosx]+[7cosx+sinx] (p/s [ ] là kí hiệu giá trị tuyệt đối chả em ko biết ghi kí hiệu giá trị tuyệt đối lên trên này ntn ạ)

  114. Anh ơi giup em bai nay
    4cos^2+4cos+3
    2cos-sin

  115. ad oi e tim gtr max va min cua fx =1+sin2x/2 như thế này được không ạ
    -1<= 1+sin2x/2 <= 1 roi biên đôi thanh -4 <= sin2x <= 0
    kl:gtln=0 gtnn = -4
    đúng k ạk

  116. bài này em làm sai rồi, vì ngay từ đầu biểu thức này đã sai -1<= 1+sin2x/2 <= 1, vì em chưa biết nguyên biếu thức đó có lớn hơn -1 và nhỏ hơn 1 hay không, em phải xét từ trong ra, dùng cách suy luận ở phía trên. ham số đó lớn nhất khi sin2x lớn nhất tức là bằng 2 và nhỏ nhất khi sin2x nhỏ nhất tức là bằng -1. rồi từ đó em giải ra nhé

  117. mình gợi ý chút nhé, ở bài trên 4cos^2+4cos+3 bạn có thể đặt u=cos sau đó giải theo phương trình bậc 2 với điều kiện -1<u<1. hoặc bạn có thể nhóm lại thành dạng hằng đẳng thức và nó trở thành 4cos^2+4cos+3=(1+2cosx)^2+2. từ đây giá trị lớn nhất khi cái số trong ngoặc lớn nhất và nhỏ nhất khi cụm trong ngoặc bằng 0. ĐS: GTLN:11 GTNN: 2

    Câu 2: 2cos-sin, ở bài này bạn đưa nó về một dạng là sin hoặc cos thôi, chia hai vế cho căn (2^2+1^2) sau đó dùng công thức cộng đưa về một hàm sin(x+a) rồi bạn giải tiếp nhé

  118. các bạn có thể tham khảo trên google với từ khóa "(2sinx-cosx)/(2sinx+2cosx+4)"

  119. giúp e với
    tìm min 3/4sin4x+cos4x

  120. Leng Keng says:

    Giúp em bài này với ạ: P=3tanx+ 1/cos^2 (x)

  121. Phong Phạm says:

    ý=(2ksinx+k)/cosx+sinx+2 tìm k để gtln=gtnn. Giải hộ em với thầy ơi. Cảm ơn thầy ạ!

  122. Thế says:

    thầy ơi giải giúp em bài này với
    tìm GTLN GTNN
    y= căn3 Sin2x – Cos3x +5

  123. Dương says:

    thầy ơi giúp em bài này ạ: tìm gtln, gtnn của hàm số y=(1-cosx)/(cosx+sinx+2)

  124. Thu says:

    Thầy giúp em bài này ạ y= sinx + 1/2sin2x trên [0;pi/2]

  125. Tường says:

    thầy giúp em bài này vs
    tìm max min của f(x) = 2/(sin2x+2) với x thuộc [-5pi/8 ; pi/8]

  126. Long says:

    Thầy chỉ em cái này đi thầy. Tìm GTLN GtNN của y= 1+2sinxcosx+2cos bình x

    • Ý tưởng chính: Áp dụng công thức nhân đôi và hạ bậc để quy về hàm bậc nhất hai hàm sin và cos của cùng một góc

      Em tham khảo:

      * y = 1 + \sin{2x} + 2\frac{1+\cos{2x}}{2} \Leftrightarrow y = \sin{2x} + \cos{2x} + 2

      * Đến đây em có 2 hướng đi cơ bản: Áp dụng bài toán tổng quát hoặc áp dụng công thức lượng giác để biểu diễn hàm đã cho theo 1 hàm lượng giác.

      Chúc em thành công!

      • Long says:

        Em, làm đuoc rồi, cảm ơn thầy nhiều lắm. Mà thầy hướng dẫn e bài này với, cũng tìm GTLN GTNN y= 2(sin^2x + 6sinxcosx) trên
        1+ 2sinxcosx+ 2cos^2x

        • Em tham khảo:

          * Áp dụng công thức nhân đôi và hạ bậc em có:

              \[y = \frac{1-\cos{2x} + 6\sin{2x}}{\sin{2x}+\cos{2x}+2}\]

          * Vì mẫu số luôn khác 0 với mọi x nên ta có

              \[y(\sin{2x}+\cos{2x}+2)=1-\cos{2x} + 6\sin{2x}\]

              \[\Leftrightarrow (y-6)\sin{2x} + (y+1)\cos{2x}=1-2y\]

          * Đến đây em áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

              \[a.\sin{x} + b.\cos{x} = c\]

          thì sẽ tìm được GTLN, GTNN của hàm số đã cho.

          Chúc em thành công!

        • Long says:

          e kh hiểu dấu tương đương thầy ơi, giảng giúp em với

        • Khai triển vế trái, chuyển vế và rút gọn thôi em.

  127. hưng như says:

    Thầy giúp em bài này với
    Tim gtnn va gtln của y=3-2sin2x

  128. Thuong says:

    Thay oi giúp em bài này với: cos2x + cos(2x+pi/4)

    • Cách 1: Nhận xét, hàm đã cho là tổng của hai hàm cos cùng chứa 2x ở đối số nên áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích thì sẽ thu được 1 hàm số lượng giác. Từ đó dễ dàng suy ra GTLN, GTNN.

      Cụ thể, em tham khảo:

          \[y=2\cos{(2x+\frac{\pi}{8})}.\cos{(-\frac{\pi}{8})}=2\cos{(\frac{\pi}{8})}.\cos{(2x+\frac{\pi}{8})}\]

      Đến đây, đánh giá hàm \cos{2x} và suy ra kết quả.

      Cách 2: Đưa các hàm cùng về góc 2x rồi áp dụng dạng a.\sin{2x}+b.\cos{2x} là được thôi.

      Em tham khảo:

      * y=\cos{(2x)}+\cos{(2x)}\cos{(\frac{\pi}{4})}-\sin{(2x)}\sin{(\frac{\pi}{4})}

      * =\cos{2x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{2x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{2x}

      * =\frac{1}{2}(\sqrt{2}.\sin{(2x)}+(3+\sqrt{2}).\cos{(2x)})

      Chúc em thành công!

  129. Đạt says:

    Thầy ơi cái của e là 2sin^2x + căn 3 sin2x +3/2 thầy cho e kết quả với

  130. phan thị ý nhi says:

    thầy giúp em làm bài này với tìM GTNN của y=sinx + sin(x+2pi/3)

    • Em tham khảo:

      * Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, lúc này biểu thức của hàm số chỉ còn 1 hàm lượng giác

      * Đánh giá hàm số lượng giác đó là xong

      Chúc em thành công!

  131. Trần Ngọc Mai Linh says:

    Thầy giúp e giải bài này vs: -5cos3x + 1 và bài sin^2x – 6sinh + 2

    • * Bài 1: Em hãy đọc kĩ lại câu b nhé.

      * Bài 2: Đặt t=\sin{x},\ -1\le t \le 1. Bài toán trở về tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai f(t)=t^2 - 6t + 2 trên đoạn [-1;1].

      Chúc em thành công!

  132. Hong Phuong says:

    Thầy ơi! Tìm GTLN GTNN của y=sin^2x-2cos2x

  133. dotrungkien says:

    tìm GTLN,GTNN (2/sin^2x)+4

  134. Minh Khuê says:

    thầy ơi giải giúp e. tìm gtln gtnn của y=cos^2x-2cosx-1

  135. duyên says:

    thầy ơi giải giúp em: tìm gtnn,gtln y=căn cosx+ căn sinx

    • Em tham khảo:

      * Điều kiện: 0\le \sin{x},\cos{x}\le 1

      * Vì 0\le \sin{x}\le 1 nên \sqrt{\sin{x}}\ge \sin{x}\ge \sin^2{x} (1)

      Tương tự, có \sqrt{\cos{x}}\ge \cos^2{x} (2)

      Cộng hai vế của (1) và (2), ta có y\ge \sin^2{x}+\cos^2{x}=1

      Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \sin{x}=1\vee\cos{x}=1.

      Do đó GTNN của hàm số đã cho là 1.

      * Ta có \sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2(a+b)},\forall a,b\ge 0 nên

      \sqrt{\sin{x}}+\sqrt{\cos{x}}\le \sqrt{2(\sin{x}+\cos{x})}

      \sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}\le \sqrt{2}

      Đến đây em có thể làm tiếp được chứ?

      Chúc em thành công!

  136. Nhi says:

    thầy ơi cho em hỏi bài này làm thế nào ạ
    2sin^2 3x+sin6x+cos^3x=0

    • Áp dụng công thức hạ bậc cho \sin^2{3x}\cos^2{3x} rồi thu được phương trình dạng \sin{6x}+b.\cos{6x}=c. Đây là dạng đã có cách giải tường minh.

      Chúc em thành công!

  137. Giải hộ em bài này với ạ
    GTNN của hàm số : y=2×|cos|-3 là

  138. My says:

    Thầy giúp em với. Tìm GTLN và GTNN của: y= 4(sin√x)

  139. thầy ơi giúp e với ạ : tìm GTLN GTNN của hàm số 2sinx*cos3X +sin2X đc k ạ =))

  140. Như Hảo says:

    Thầy giúp em câu này với: tìm GTLN,GTNN của hám số y=sin mũ5 x + căn 3 có x trên đoạn 0 đến pi

  141. Thúy Quyên says:

    thầy ơi giải giúp em bài này vs ạ : tìm GTLN GTNN của hàm số:
    y= (-3sin^2x +4sinx.cosx + 9cos^2x) trên cho
    (7sin^2x – 2sinx.cosx + 4cos^2x)

    • Em áp dụng công thức nhân đôi 2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x} và hạ bậc \sin^2{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2},\ \cos^2{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2} để đưa hàm số về dạng

          \[y=\frac{a.\sin{u}+b.\cos{u}+c}{d.\sin{u}+e.\cos{u}+f}\]

      Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số dạng này đã có phương pháp giải.

      Chúc em thành công!

  142. Tôn Nguyên says:

    Xin lỗi nhưng, mình chẳng hiểu gì cả ..

    • Cảm ơn bạn đã phản hồi, mong bạn có thể nói rõ hơn những chỗ bạn không hiểu để mình có thể viết tốt hơn cho các bài khác.

      Trân trọng,

  143. Mai Quỳnh says:

    thầy ơi, câu này làm thế nào ạ: tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=1/sin2x+ 1/cos2x. Em cảm ơn!

  144. thơm phan says:

    Thầy ơi tính gtnn của 1/ (cosx-cos^3x) ntn ạ ?

  145. anh tu says:

    thầy cho em hỏi ; tìm gtln gtnn cos2x -2sinx-5

    • Em có thể làm được:

      B1. Em biểu diễn cos2x qua sinx (nhờ công thức nhân đôi)

      B2. Đặt t = sinx, điều kiện cho t (em phải tự mình tìm ra điều kiện)

      B3. Bài toán trờ thành tìm GTLN, GTNN của hàm số mới theo t. Một hàm bậc hai theo t nên em có thể dùng bảng biến thiên để tìm được GTLN, GTNN của nó. Lưu ý là chỉ tìm trong phạm vi điều kiện của t.

      Chúc em thành công!

  146. Lê Mai Trang says:

    Thầy cho em hỏi
    tìm GTLN, NN của hàm : y = 3 -2cos2x trên đoạn [o, 90]

    • Bài toán này cùng loại với ví dụ 2 trong bài. Em đọc và hoàn thiện tiếp nhé:

      * Vì 0^\circ \le x \le 90^\circ nên 0^\circ \le 2x \le 180^\circ

      * Vì 0^\circ \le 2x \le 180^\circ nên -1 \le \cos 2x \le 1

      * Từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số đã cho.

      Chúc em thành công!

  147. Lou says:

    Thầy cho em hỏi
    1) Cho x,y tm 4*x^2+y^2=1. Tìm max, min của :
    (8X^3 + 3Y^3 + 2X*Y^2 +12X^2 * Y)/(2X+Y+2)
    2)Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm min x^2 + Y^2 + 1/x^2 + 1/y^2
    ( có thể biến đổi ra sin cos thì càng tốt ạ! em cảm ơn)

    • Em có thể tham khảo:

      1) Đặt z = 2x thì bài toán trở thành:

      Cho z, y thỏa mãn z^2 + y^2 = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

          \[\frac{z^3 + 3y^3 + z*y^2 + 3z^2 * y}{z + y +2}\]

      z^2 + y^2 = 1 nên -1 \le z, y \le 1 nên em có thể đặt z = \sin t, y = \cos t với t\in [0;2\pi]. Và biến đổi biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo \sin t, \cos t để giải.

      2) Tương tự như câu 1, vì x,y>0, x+ y = 1 nên 0< x, y < 1 do đó em có thể đặt x=\sin t, y = \cos t với t\in (0;\frac{\pi}{2}) và biến đổi biểu thức đã cho theo \sin t, \cos t để giải.

      Chú ý:

      * Đây là 2 câu hỏi thuộc loại khó, dành cho học sinh thật sự Khá/Giỏi, nếu em muốn giải thì cần nỗ lực rất nhiều.

      * Nếu em là học sinh lớp 12 thì nên tìm hiểu thêm các kỹ thuật khác để giải. Thử google từ khóa “Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 biến”.

      Chúc em thành công!

  148. Nông Huế says:

    thầy ơi giải hộ em bài này với ạ
    tìm GTLN,GTNN của y= cos pi x trong [1/4;3/2]

  149. Nông Huyên says:

    thầy giải hộ em với lập bảng biến thiên của hàm số
    1) y= cos x -1 trên đoạn [-pi;pi]
    2) y= -2cos(2x+pi/3) trên đoạn [-2pi/3;pi/3]

    • Thầy nghĩ đó đó là 2 bài không khó mà giáo viên đã giao cho em và các bạn, đó là bài tập em cần hoàn thành. Thầy giải cho là tước đi cơ hội để em học tốt hơn và có thể khiến em lười suy nghĩ đi, dần dần chỉ học yếu đi mà thôi. Thêm nữa, chúng không liên quan đến chủ đề của bài viết.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *