Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Giai thừa lớn chứa giai thừa bé và ứng dụng

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé và ứng dụng

Giai thừa – một khái niệm mới mẻ, được “đề cập” lần đầu khi chúng ta làm quen với khái niệm Hoán vị trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Khái niệm này có vai trò rất quan trọng, các công thức về số Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp đều được xây dựng trên nó. Vì thế, hầu hết các bài toán liên quan đến Đại số Tổ hợp đều quy về bài toán biến đổi, rút gọn, tính các biểu thức liên quan đến Giai thừa.

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Tuy nhiên, trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11, khái niệm Giai thừa chỉ xuất hiện ở dạng “đề cập” mà không được giới thiệu một cách đầy đủ và hầu như không có bài tập củng cố khái niệm này. Bài viết này mình chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm dạy và học, đặc biệt là “khẩu quyết” khi vận dụng nó trong quá trình giải toán. Hy vọng bài viết có ích cho bạn.

1. Định nghĩa
2. Tính chất – Khẩu quyết
3. Ví dụ

  • Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức với giai thừa hằng số
  • Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức với giai thừa chứa biến
  • Ví dụ 3: Giải phương trình có ẩn trong giai thừa

Trước tiên, chúng ta cần hiểu “Giai thừa” là gì?

1. Định nghĩa

Cho n là số tự nhiên dương. Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n được gọi là n – giai thừa. Kí hiệu là n!

Như vậy, kí hiệu n! là một số nguyên dương được tính bởi công thức

    \[\begin{matrix}n!=\underbrace{1\cdot 2 \cdots (n-1)\cdot n } \\ n \end{matrix}\]

hoặc

    \[\begin{matrix}n!=\underbrace{n\cdot (n-1) \cdots 2\cdot 1 } \\ n \end{matrix}\]

Ví dụ

  • 1!=1Tích của 1 số từ 1 đến 1
  • 2!=1.2=2Tích của 2 số liên tiếp, từ 1 đến 2
  • 3!=1.2.3=6Tích của 3 số liên tiếp, từ 1 đến 3
  • 4!=1.2.3.4=24Tích của 4 số liên tiếp, từ 1 đến 4
  • 5!=1.2.3.4.5=120Tích của 5 số liên tiếp, từ 1 đến 5
Theo định nghĩa trên, khái niệm n! chỉ được định nghĩa với n là một số tự nhiên lớn hơn không. Về sau để tiện sử dụng và phù hợp với một số công thức tính toán, người ta “mở rộng” khái niệm Giai thừa cho trường hợp n bằng 0 và định nghĩa – hay qui ước: 0! = 1. Bạn có thể Google hoặc xem trên Wikipedia để tìm hiểu thêm về quy ước này!

Quy ước: 0!=1

Điều kiện xác định

Với quy ước trên, từ giờ trở đi chúng ta cần nhớ

Kí hiệu n! chỉ có nghĩa khi n\in \mathbb{N} hay 0\le n, n\in \mathbb{Z}

Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu xem Giai thừa có tính chất gì đặc biệt.

2. Tính chất giai thừa

Hãy quay lại ví dụ ở trên, quan sát các giai thừa khi viết chúng ở dạng tích các số tự nhiên liên tiếp và cố gắng tìm ra một mối liên hệ nào đó giữa các giai thừa lớn so với các giai thừa bé hơn. Chẳng hạn, giữa 5! và 4! hay giữa 4! và 3!?

  • 3!=1.2.3
  • 4!=1.2.3.4
  • 5!=1.2.3.4.5

Bạn có thấy mối quan hệ gì không?

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Đó là, có thể viết 5!=(4!).5, 4!=(3!).4 và 5!=(3!).4.5, tương tự bạn có thể suy ra 2013! = (2012!).2013=(2011!).2012.2013,… và tổng quát ta có:

n!=(n-1)!n hay (n-1)!n=n! với 1\le n \in \mathbb{N}

Đây chính là tính chất đặc trưng của Giai thừa: Một giai thừa lớn luôn có thể biểu diễn qua một giai thừa bé hơn. Chúng ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng “khẩu quyết” cho dễ nhớ là: “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Bây giờ hãy xem khẩu quyết này lợi hại thế nào 😀

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức sau:

    \[A=\frac{7!4!}{10!}\cdot\left (\frac{8!}{3!5!}-\frac{9!}{2!7!}\right )\]

Phân tích

* Nhận xét, biểu thức đã cho gồm các tỉ số mà tử và mẫu đều là các giai thừa, do đó ta có thể áp dụng định nghĩa để viết từng giai thừa thành tích các thừa số rồi rút gọn. Nhưng rõ ràng, làm như thế sẽ khiến biểu thức của ta rất cồng kềnh vì có rất nhiều thừa số.

* Để ý rằng, ở mỗi tỉ số đều chứa những giai thừa lớn và giai thừa nhỏ. Như vậy, ta có thể biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa nhỏ hơn rồi rút gọn. Chẳng hạn 10!=7!8.9.10, do đó

    \[\frac{7!4!}{10!}=\frac{7!4!}{7!8.9.10}=\frac{4!}{8.9.10}\]

* Tương tự như vậy, cho các giai thừa còn lại: 8!=5!6.7.8 và 9!=7!8.9. Từ đó, ta sẽ rút gọn được biểu thức một cách dễ dàng hơn.

Lời giải

Ta có

    \[\frac{7!4!}{10!}=\frac{7!4!}{7!8.9.10}=\frac{4!}{8.9.10}=\frac{4.3.2.1}{8.9.10}=\frac{1}{3.10}=\frac{1}{30}\]

    \[\frac{8!}{3!5!}=\frac{5!6.7.8}{3!5!}=\frac{6.7.8}{3!}=\frac{6.7.8}{3.2.1}=56\]

    \[\frac{7!8.9}{2!7!}=\frac{8.9}{2!}=\frac{8.9}{2.1}=36\]

Do đó:

    \[A=\frac{1}{30}\cdot (56 - 36)=\frac{2}{3}\]

Bình luận: Qua ví dụ này ta rút được kinh nghiệm sau, khi rút gọn một tỉ sổ mà tử và mẫu đều chứa các giai thừa thì ta có thể làm như sau:

– Cách thứ nhất là: Áp dụng định nghĩa Giai thừa, viết các giai thừa dưới dạng tích số từ 1 đến n rồi rút gọn các thừa số chung.

– Cách thứ hai là: Quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi giữ nguyên giai thừa bé và biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa bé để rút gọn.

Theo bạn thì chúng ta nên dùng cách nào? Trong ví dụ trên ta sử dụng kết hợp cả 2 cách, đầu tiên chúng ta dùng cách thứ hai để triệt tiêu các “giai thừa chung”, sau đó dùng cách thứ nhất để rút gọn các thừa số chung. Qua đó, ta thấy rằng, sử dụng cách thứ hai để triệt tiêu các “giai thừa chung” là rất nhanh chóng và hiệu quả! Vậy nhớ nhé, hãy luôn quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi biểu diễn nó theo giai thừa bé hơn. Đó chính là “khẩu quyết” mà chúng ta đang tìm hiểu.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức sau:

    \[B=\frac{6!(n+1)}{(n-2)!}\cdot \frac{(n-1)!}{4!(n-1)(n^2+n)},\ n\in \mathbb{N},n\ge 2\]

Phân tích

* Nhận xét, không giống như ví dụ trước, ở ví dụ này xuất hiện giai thừa có chứa biến n. Tuy nhiên, điều đó không quan trọng! Điều quan trọng là phải nhìn ra giai thừa nào là giai thừa lớn và giai thừa nào là giai thừa bé hơn.

* Dễ thấy, n-1 lớn hơn n-2 một đơn vị, do đó (n-1)!=(n-2)!(n-1) và 6!=4!5.6

Lời giải

    \[B=\frac{6!(n+1)}{(n-2)!}\cdot \frac{(n-1)!}{4!(n-1)(n^2+n)}\]

    \[=\frac{6!(n-1)!}{4!(n-2)!}\cdot \frac{(n+1)}{(n-1)(n^2+n)}\]

    \[=\frac{4!5.6(n-2)!(n-1)}{4!(n-2)!}\cdot \frac{(n+1)}{(n-1)n(n+1)}\]

    \[=\frac{5.6(n-1)}{1}\cdot \frac{1}{(n-1)n}=\frac{30}{n}\]

Bình luận:

– Nếu dùng Cách thứ nhất, tức là áp dụng định nghĩa giai thừa để viết các giai thừa chứa biến kia thành tích các thừa số từ 1 đến n-2, n-1 thì lời giải của bạn sẽ như thế nào? Cứ thử đi, thử rồi bạn sẽ càng thấy “khẩu quyết” của chúng ta thật lợi hại 😀

– Nhớ nhé, điều quan trọng là phải nhìn ra “Giai thừa nào lớn hơn giai thừa nào” sau đó thì cứ khẩu quyết “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé” mà áp dụng, dù cho giai thừa có chứa biến gì đi chăng nữa.

Ví dụ 3: Giải phương trình chứa ẩn trong giai thừa

Giải phương trình

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{1}{6},\ x\in \mathbb{N}\]

Phân tích

* Chà, một phương trình lạ mắt, một phương trình ẩn x mà x lại nằm trong giai thừa! Lạ quá, từ xưa đến giờ chúng ta chỉ giải các phương trình mà ẩn nằm trong đa thức, căn thức và gần đây nhất là trong đối số của hàm lượng giác thôi. Giờ ẩn lại nằm trong giai thừa! Vậy làm thế nào để tìm x đây?1

* Bình tĩnh một chút, hãy nhớ lại xem các “sư phụ” 😀 thường bảo chúng ta làm gì khi gặp những “phương trình mới mẻ”, những phương trình mà chúng ta chưa biết giải? À, “khẩu quyết”2 hay dùng khi đó là “đưa nó về phương trình đã biết giải” hay “quy lạ về quen”. Vậy hãy thực hiện vài phép rút gọn vế trái xem phương trình có thể trở thành như thế nào?

* Dễ thấy rằng x-1 là bé nhất nên ta sẽ biểu diễn các giai thừa còn lại theo (x-1)!, khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{(x-1)!x-(x-1)!}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{(x-1)!(x-1)}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)}\]

Tốt rồi, giai thừa đã bị “biến mất”, vế trái trở thành 1 biểu thức quen thuộc với tử là bậc nhất còn mẫu là bậc hai với ẩn x, trong khi vế phải là hằng số. Do đó, nhân chéo, chuyển vế và rút gọn thì phương trình đã cho trở thành một phương trình bậc hai quen thuộc.

* Trước khi thực hiện lời giải, chú ý rằng chúng ta đang giải phương trình có chứa ẩn trong giai thừa nên phải có điều kiện cho ẩn. Dễ thấy, điều kiện ở đây là 1\le x, x\in \mathbb{N}.

Lời giải

* Điều kiện: 1\le x, x\in \mathbb{N}

* Ta có:

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{(x-1)!x-(x-1)!}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{(x-1)!(x-1)}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)}\]

* Do đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình

    \[\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{6}\]

\Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0

\Leftrightarrow x=2 ™, x=3 ™

* Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x=2, x=3

Bình luận:

– Ở ví dụ này, một lần nữa chúng ta được chứng kiến sự “lợi hại” của khẩu quyết “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Nó giúp chúng ta giải quyết bài toán thật “ngon lành” 😀

– Chúng ta cũng được dịp ôn lại một khẩu quyết rất hay dùng khi giải các bài toán về phương trình: “Đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết giải” hay tư tưởng “Quy lạ về quen”

– Cuối cùng, hãy ghi nhớ khẩu quyết này nhé và hãy dùng nó để “chiến đấu” với bất cứ “đối thủ” nào có chứa giai thừa mà bạn gặp. Nếu bạn muốn có thêm “đối thủ” để luyện tập hay gặp phải đối thủ mà “khẩu quyết” trên không thể “hạ gục được nó” thì hãy gõ yêu cầu của bạn vào hộp bình luận phía dưới đây. Chúc bạn luôn chiến thắng! 🙂



Th10 16, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Lớp 11
  • Đại số tổ hợp
  • Cách nhớ các công thức toán học
  • Cách vận dụng
  • Tình huống có vấn đề
  • Giai thừa
  • Khẩu quyết

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Giới hạn - cái biến điều không thể thành có thể

Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)

  1. GV: Theo lý luận phương pháp dạy học giải quyết vấn đề thì đây là một tình huống có vấn đề [↩]
  2. Xem thêm bài Khẩu quyết trong toán học [↩]
Trang 1 trên 11
Khẩu quyết trong toán họcQuy tắc so sánh hai lũy thừa và logarit cùng cơ số
Comments: 35
  1. Nam
    11 years ago

    Chính xác! SGK không hề nói gì về Giai thừa.

    ReplyCancel
    • thapsang.vn
      11 years ago

      Kinh nghiệm của tôi khi dạy bài Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp, chia làm 3 tiết:

      • Tiết 1: Giai thừa và Hoán vị (Mạnh dạn đưa Giai thừa vào, vì tầm quạn trọng của nó như đã nói trong bài viết)
      • Tiết 2: Chỉnh hợp và Phân biệt Chỉnh hợp với Hoán vị
      • Tiết 3: Tổ hợp và Phân biệt Tổ hợp với Chỉnh hợp
      ReplyCancel
      • Hồng Vân
        9 years ago

        Quan trọng nhất khi dạy phần này phải cho hs phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp. Ta phải chỉ ra cho hs thấy bài toán nào yêu cầu sx có thứ tự, bài nào không yêu cầu.

        ReplyCancel
  2. Thaiyuong Nguyen
    11 years ago

    quá hay! 🙂 Cảm ơn anh nhiều ạ

    ReplyCancel
  3. Thaiyuong
    11 years ago

    Quá hay! Em cảm ơn anh nhiều ạ 🙂

    ReplyCancel
  4. Silver Diamond
    11 years ago

    Cám ơn anh nhiều! ; A ;

    Cái này không có nhắc đến trong SGK, em lại không đi học thêm nhà cô, vậy nên trong thời gian chẳng biết phải làm sao với dạng này ; A ;

    ReplyCancel
  5. Nguyễn Thế Phúc
    11 years ago

    Có chi đâu,

    Em hãy chia sẻ kiến thức này cho bạn bè của mình nữa nhé. Chúng ta cùng tiến.

    Win-Win

    ReplyCancel
  6. hiếugunny
    11 years ago

    hay

    ReplyCancel
  7. Lại Văn Thanh
    11 years ago

    rat hay

    ReplyCancel
  8. Quyền Anh
    11 years ago

    tks

    ReplyCancel
  9. Duc Nguyen
    11 years ago

    hay và dễ hiểu

    ReplyCancel
  10. Hong Phung Thi Xuan
    11 years ago

    M=2!/3! + 2!/4! + 2!/5!+…..+2!/2012! ai giai ho cai

    ReplyCancel
  11. Nguyễn Quân
    10 years ago

    bài này đề yêu cầu tính tổng theo n mà mình sài “khẩu quyết” không ra
    1.1!+ 2.2!+…….+ n.n!

    ReplyCancel
  12. Lê Anh Thái
    10 years ago

    hay ưa.lai con de hieu nua

    ReplyCancel
  13. Duong Bui
    10 years ago

    Ai có thể giải giùm. cám ơn nhiều!!!!!!
    có 3 người (A,B,C) cùng gấp hạt. Người A gấp xong thì người B còn 13 con hạt, người C còn 23 con hạt. Tiếp tục người B gấp xong thì người C còn 9 con hạt.
    Hỏi. Với cùng thời gian cho bằng nhau thì mỗi người gấp dc bao nhiêu con?? ( Mổi người có năng xuất gấp hạt là khác nhau).

    ReplyCancel
  14. Huệ Trần
    9 years ago

    nếu là như thế này thì làm thế nào ạ : (n+1)!/(2n+2)!

    ReplyCancel
  15. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Kết quả: 1/(n+2)(n+3)…(2n+2)

    ReplyCancel
  16. hường
    9 years ago

    hiểu đấy . thanks very much

    ReplyCancel
  17. thùy dung
    9 years ago

    thêm đoạn video thì hay biết mấy , cũng cụ thể hơn .Nhưng cũng cảm ơn bạn đã đang lên

    ReplyCancel
  18. Hue Nguyen
    9 years ago

    chứng minh 1!+2!+….+2015! là hợp số

    ReplyCancel
  19. Hồng Vân
    9 years ago

    Cảm ơn bạn. Quả thực trang này rất bổ ích.Tuy tôi đã nghỉ không còn dạy toán nữa, tuổi cũng cao nên khi cháu nội hỏi những bài toán giải pt tổ hợp tôi rất ngại suy nghĩ. Tôi sẽ hướng dẫn cháu tôi theo dõi trang này của bạn để tìm tòi thêm kiến thức toán học cho chúa.

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      9 years ago

      Cảm ơn cô!

      ReplyCancel
  20. Thanh Thanh
    9 years ago

    pt này có chỉnh hợp và hoán vị ạ: nA3 + 3*nA2 = 1/2 P(n+1)

    ReplyCancel
  21. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    * Đk: 3 <= n, n thuộc tập số tự nhiên
    * PT <=> n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) = 1/2 (n+1)n(n-1)(n-2)!
    <=> (n-2) + 3 = 1/2 (n+1)(n-2)!
    <=> n + 1 = 1/2 (n+1)(n-2)!
    <=> 2 = (n-2)!
    * Nhận xét n = 3 không thỏa mãn và n = 4 là một nghiệm mà (n-2)! > 2 với mọi n > 4 nên phương trình có nghiệm duy nhất n = 4.

    ReplyCancel
  22. Thanh Thanh
    9 years ago

    Nguyễn Thế Phúc cam on ban nhieu nha

    ReplyCancel
  23. mr3
    8 years ago

    giúp em với: tính đúng kết quả của 20!(dc sử dụng máy tính)

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      8 years ago

      Tải phần mềm Microsoft Mathematics về, nhập vào là ra ngay em ạ. 😀

      $$20! =2432902008176640000$$

      ReplyCancel
  24. Dũng Vũ Việt
    8 years ago

    dạ có thể giải thích giùm em tại sao (x-1)!x – (x-1)! lại ra (x-1)!(x-1) được không ag!

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      8 years ago

      Vì $$(x-1)!$$ là nhân tử chung nên đặt nó ra ngoài thì ta thu được kết quả như vậy. Bạn có thể làm như sau sẽ rõ ràng hơn: Đặt $$t=(x-1)!$$ thì biểu thức $$(x-1)!x – (x-1)!$$ sẽ thành $$tx-t=t(x-1)=(x-1)!(x-1)$$. Chúc bạn vui vẻ!

      ReplyCancel
  25. phuong
    7 years ago

    tại sao x!-(x-1)! lại ra (x-1)!x-(x-1)!

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Vì $$x!=(x-1)!x$$. Ví dụ: $$5! = 4!5$$

      ReplyCancel
  26. Tuan
    7 years ago

    Thường những bài viết như vầy khó hiểu vì không có lời giảng trực tiếp, nhưng bài này lại rất dễ hiểu. Cảm ơn thầy ạ

    ReplyCancel
  27. Quỳnh Trần
    6 years ago

    có ích lắm ạ, dễ hiễu,. giờ em hiểu rút gọn giai thừa rồi, cảm ơn anh

    ReplyCancel
  28. Trung Nguyễn
    5 years ago

    Cho mình hỏi nếu là như này thì sao ạ: Rút gọn n! / (n-2)! Giúp mình vs

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      5 years ago

      Gợi ý bạn: n!=n(n-1)(n-2)!

      ReplyCancel

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

11 years ago 35 Comments Dạy và học toánLớp 11, Đại số tổ hợp, Cách nhớ các công thức toán học, Cách vận dụng, Tình huống có vấn đề, Giai thừa, Khẩu quyết52,334
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,202 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,456 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
185,740 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,661 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,559 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

It is the supreme art of the teacher to awaken joy in creative expression and knowledge (Nghệ thuật tối thượng của người thầy là đánh thức niềm vui trong sự diễn đạt và tri thức sáng tạo)

— Albert Einstein
2012 © Thapsang.vn