Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Làm toán
  • Thi vectơ
    • Thông tin chi tiết
      • Thể lệ cuộc thi
      • Danh sách bài dự thi
      • Tài trợ cuộc thi
      • Quảng bá cuộc thi
      • Hỏi đáp về cuộc thi
    • Công tác chấm
      • Ngày chấm đầu tiên
      • Kết quả chấm
    • Công bố giải thưởng
    • Hình ảnh buổi lễ trao giải
    • Thư cảm ơn
      • của người giành Giải Nhất
      • của Ban tổ chức
    • Các lời giải tiêu biểu
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Quy tắc xét dấu logarit và ứng dụng

Quy tắc xét dấu logarit và ứng dụng

Cho cơ số và đối số, làm thế nào để biết ngay là logarit đó âm hay dương? Cho logarit âm hoặc dương, làm thế nào biết ngay là đối số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1? Câu trả lời cần tìm có trong quy tắc và khẩu quyết về dấu logarit mà bài viết này muốn giới thiệu.

  1. Định lí về dấu của logarit
  2. Quy tắc về dấu của logarit
  3. Ví dụ
  4. Lưu ý giảng dạy

Quy tắc xét dấu logarit được rút ra từ định lí sau đây1

1. Định lí về dấu của logarit

Cho số a dương khác 1 và các số dương b, c

1) Khi a>1 thì \log_a b > 0 \Leftrightarrow b > 1

2) Khi 0<a<1 thì \log_a b > 0 \Leftrightarrow b < 1

3) \log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c

Bạn có thể chứng minh định lí trên bằng cách so sánh hai logarit cùng cơ số: \log_a b và \log_a 1. Từ định lí trên, ta có bảng sau về dấu của logarit

dau-logarit

Quan sát bảng trên, ta thấy rằng \log_a b > 0 khi và chỉ khi a và b cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1 và \log_a b < 0 khi và chỉ khi a và b không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1. Từ đó ta có quy tắc sau về dấu của logarit.

2. Quy tắc xét dấu logarit

* Logarit dương khi và chỉ khi cơ số và đối số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1.

* Logarit âm khi và chỉ khi cơ số và đối số không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1.

Có thể phát biểu quy tắc này dưới dạng khẩu-quyết ngắn gọn, cho dễ nhớ là

Cơ số và đối số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1 thì logarit dương và ngược lại

Chú ý: Bạn có thể mở rộng quy tắc trên cho trường hợp logarit không âm và logarit không dương.

Sau đây chúng ta cùng xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.

3. Ví dụ

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau đây2

\log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} và \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}

Phân tích

* Do hai logarit không cùng cơ số nên ta không áp dụng ngay được quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số.

* Nhưng để ý rằng, cơ số và đối số của logarit thứ nhất cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ nhất dương, trong khi đối số và cơ số của logarit thứ hai không cùng lớn hơn và không cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ hai âm. Từ đó suy ra kết quả so sánh.

Lời giải

* Vì \frac{3}{5}<1 và \frac{2}{3}<1 nên \log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > 0
* Vì \frac{3}{2}>1 và \frac{3}{5}<1 nên \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}<0
* Do đó \log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}

Bình luận

Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số, bằng cách như sau:3

    \[\log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > \log_\frac{3}{5} 1 = 0 = \log_\frac{3}{2} 1 > \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}\]

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số

y=\sqrt{\log_{0.2}(x-1)}

Phân tích

* Điều kiện xác định của hàm số là \log_{0.2} (x-1) \ge 0

* Muốn logarit không âm thì cơ số và đối số phải cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn bằng 1, mà cơ số 0.2<1 nên đối số x-1\le 1

* Kết hợp với điều kiện đối số của logarit phải dương: x-1> 0, ta có hệ bất phương trình. Giải hệ bất phương trình ta thu được tập xác định.

Lời giải

    \[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x-1>0 \\ x-1 \le 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > 1 \\ x \le 2\end{cases} \Leftrightarrow 1< x \le 2\]

Bình luận

Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số để giải bất phương trình trên như sau:

    \[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \log_{0.2}(x-1) \ge \log_{0.2}1\]

4. Lưu ý giảng dạy

– Khi dạy “Bài 3. Logarit” giáo viên phải giới thiệu định lí trên cho học sinh, đặc biệt là với các học sinh học theo SGK Giải tích 12 (Chương trình Chuẩn). Vì đây là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nhưng SGK Giải tích 12 lại không giới thiệu.

– Nếu không được học định lí về dấu logarit thì học sinh sẽ không hiểu tại sao đạo hàm của hàm số y=a^x và y=\log_a x lại âm khi 0 < a <1, như trong SGK đã dẫn tại trang 73 và 75. Thậm chí, sẽ thiệt thòi cho các em nếu nội dung này xuất hiện trong các đề thi. Chẳng hạn, trong đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2012-2013 vừa qua, có câu hỏi:4

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=\sqrt{x^2+3}-x.\ln x trên đoạn [1;2]

Để giải được câu này, thí sinh phải biết xét dấu logarit vì đạo hàm của hàm số có chứa logarit:

    \[y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}-\ln x - 1\]

P/s: Nếu bạn biết một khẩu-quyết hay hơn để nói về dấu của logarit thì chia sẻ cho mình nhé. Xin hãy gõ nó vào hộp bình luận ở phía dưới đây.

Th10 26, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Dấu logarit
  • Khẩu quyết
  • Lớp 12
  • Quy tắc xét dấu

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Cách kết luận cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Giai thừa lớn chứa giai thừa bé và ứng dụng
Giới hạn - cái biến điều không thể thành có thể
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
  1. Định lí này được giới thiệu ở mục Hệ quả trong SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 [↩]
  2. Trích Ví dụ 3. SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 [↩]
  3. Đây là cách được trình bày trong SGK đã dẫn ở trên [↩]
  4. Mình có bình luận về sự kiện này trên facebook [↩]
Trang 1 trên 11
Quy tắc so sánh hai lũy thừa và logarit cùng cơ sốPhát wifi từ Laptop Windows 7
Comments: 13
  1. Phongvan Dang
    9 years ago

    cung hay nhung may cai nay o thi dai hoc ko ?

    ReplyCancel
  2. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Đề thi Đại học không hỏi giống như mấy ví dụ đó. Nếu các câu hỏi trong đề thi Đại học là tòa nhà thì các ví dụ trên là các viên gạch xây lên tòa nhà đó.

    ReplyCancel
  3. Chuyên Lê
    9 years ago

    Nguyễn Thế Phúc Rất chuẩn

    ReplyCancel
  4. Ma Dinh Tren
    9 years ago

    Mình thì thường bảo HS là: loga(b) dương khi a và b cùng phía với 1; âm khi khác phía 😀

    ReplyCancel
  5. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Cảm ơn bạn, từ "phía" ngắn gọn hơn và vẫn đúng ý. Vậy có thể phát biểu thành một câu hoàn chỉnh là:

    Cơ số và đối số cùng phía với 1 thì logarit dương và ngược lại. 🙂

    ReplyCancel
  6. La Vie En Rose
    9 years ago

    thầy ơi, thầy đang nói về môn nào thía ạ?! 🙁

    ReplyCancel
  7. Thi Thánh Thiện
    9 years ago

    e không hiểu log cho lắm mà giờ đang là cuối hk1 e phải làm sao đây các thầy, cô, bạn! chỉ e giúp với. :((

    ReplyCancel
  8. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    Hãy hỏi ngay bạn bè mình, khó hiểu chỗ nào hỏi bạn chỗ đó, khó làm bài nào hỏi bạn bài đó. Khẩn trường lên! Chúc em sớm hiểu về logarit và học tốt!

    ReplyCancel
  9. Thi Thánh Thiện
    9 years ago

    Nguyễn Thế Phúc dạ, em hiểu rồi thầy ạ. Em sẽ cố gắng trau dồi.

    ReplyCancel
  10. Thanh Thảo
    6 years ago

    Cho mình hỏi a phần b lớn hơn 1 khi nào ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      6 years ago

      $$\log_{a}{b} > 1$$ khi $$b > a$$ bạn ạ.

      ReplyCancel
  11. Kendy Trương
    6 years ago

    Cho minh hoi ab >1 khi nao ?

    ReplyCancel
  12. Nguyễn Thế Phúc
    6 years ago

    Thật sự không hiểu câu hỏi của bạn?

    ReplyCancel

Trả lời Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

9 years ago 13 Comments Dạy và học toánDấu logarit, Khẩu quyết, Lớp 12, Quy tắc xét dấu29,150
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Quy trình tạo dàn đèn nhấp nháy hình con giáp 29/01/2023
  • Xem danh sách bài tập chưa làm trên Google classroom 19/11/2022
  • Điều khoản sử dụng ứng dụng SGDB 15/07/2022
Bình luận gần đây
  • Thapsang.vn trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Linh Le trong Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
  • Finn trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
  • Lynh trong Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?
Chuyên mục
  • Công nghệ (24)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (12)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
  • Tool for Teaching Logbook (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordMS Word 2010Khẩu quyếtCách phân tíchThi THPT Quốc Gia 2019Lớp 11LogaritSai lầm thường gặpTình huống có vấn đềSo sánh đề thi 2013 với 2012Google classroomChuyển đổi sốKhối AMôn ToánPhổ điểm thiChromeGTNNLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNLũy thừaQuy tắc tính logaritCách gõ công thức toánTại saoThi THPT Quốc Gia 2018SMASGmailGgAdmin1SGDBShutdown TimerSổ ghi đầu bàiwindowsCách vận dụngCách nhớ các công thức toán họcLớp 10Lớp 9Windows 7DesignHàm số đơn điệuSố tổ hợpGoogleChứng minh bất đẳng thứcCách tính nhẩm
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
207 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
45 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
185,157 views
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
175,303 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
133,797 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
133,577 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
114,047 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Knowledge is the eye of desire and can become the pilot of the soul.

— Will Durant
2012 © Thapsang.vn