Cho cơ số và đối số, làm thế nào để biết ngay là logarit đó âm hay dương? Cho logarit âm hoặc dương, làm thế nào biết ngay là đối số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1? Câu trả lời cần tìm có trong quy tắc và khẩu quyết về dấu logarit mà bài viết này muốn giới thiệu.
Quy tắc xét dấu logarit được rút ra từ định lí sau đây [1]
1. Định lí về dấu của logarit
dương khác 1 và các số dương 
1) Khi 
thì 
2) Khi 
thì 
3) 
Bạn có thể chứng minh định lí trên bằng cách so sánh hai logarit cùng cơ số: 
và 
. Từ định lí trên, ta có bảng sau về dấu của logarit
Quan sát bảng trên, ta thấy rằng 
khi và chỉ khi và 
cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1 và 
khi và chỉ khi và không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1. Từ đó ta có quy tắc sau về dấu của logarit.
2. Quy tắc xét dấu logarit
* Logarit dương khi và chỉ khi cơ số và đối số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1.
* Logarit âm khi và chỉ khi cơ số và đối số không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1.
Có thể phát biểu quy tắc này dưới dạng khẩu-quyết ngắn gọn, cho dễ nhớ là
Chú ý: Bạn có thể mở rộng quy tắc trên cho trường hợp logarit không âm và logarit không dương.
Sau đây chúng ta cùng xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.
3. Ví dụ
và 
Phân tích
* Do hai logarit không cùng cơ số nên ta không áp dụng ngay được quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số.
* Nhưng để ý rằng, cơ số và đối số của logarit thứ nhất cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ nhất dương, trong khi đối số và cơ số của logarit thứ hai không cùng lớn hơn và không cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ hai âm. Từ đó suy ra kết quả so sánh.
Lời giải
* Vì 
và 
nên 
* Vì 
và nên 
* Do đó 
Bình luận
Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số, bằng cách như sau: [3]
![\[\log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > \log_\frac{3}{5} 1 = 0 = \log_\frac{3}{2} 1 > \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a0c9e9c6dda08a868144189579af7c2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Phân tích
* Điều kiện xác định của hàm số là 
* Muốn logarit không âm thì cơ số và đối số phải cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn bằng 1, mà cơ số 
nên đối số 
* Kết hợp với điều kiện đối số của logarit phải dương: 
, ta có hệ bất phương trình. Giải hệ bất phương trình ta thu được tập xác định.
Lời giải
![\[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x-1>0 \\ x-1 \le 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > 1 \\ x \le 2\end{cases} \Leftrightarrow 1< x \le 2\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd7a17abf192bc19480cd8c34c750f08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bình luận
Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số để giải bất phương trình trên như sau:
![\[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \log_{0.2}(x-1) \ge \log_{0.2}1\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3c815c99c5b62665549ba3e06d752b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4. Lưu ý giảng dạy
– Khi dạy “Bài 3. Logarit” giáo viên phải giới thiệu định lí trên cho học sinh, đặc biệt là với các học sinh học theo SGK Giải tích 12 (Chương trình Chuẩn). Vì đây là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nhưng SGK Giải tích 12 lại không giới thiệu.
– Nếu không được học định lí về dấu logarit thì học sinh sẽ không hiểu tại sao đạo hàm của hàm số 
và 
lại âm khi 
, như trong SGK đã dẫn tại trang 73 và 75. Thậm chí, sẽ thiệt thòi cho các em nếu nội dung này xuất hiện trong các đề thi. Chẳng hạn, trong đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2012-2013 vừa qua, có câu hỏi: [4]
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên đoạn
![[1;2]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4998fc58fa774ffeca734b60b8907be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Để giải được câu này, thí sinh phải biết xét dấu logarit vì đạo hàm của hàm số có chứa logarit:
![\[y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}-\ln x - 1\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dff83c394abcc9b455704ce1ff8bcc0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
P/s: Nếu bạn biết một khẩu-quyết hay hơn để nói về dấu của logarit thì chia sẻ cho mình nhé. Xin hãy gõ nó vào hộp bình luận ở phía dưới đây.
Chú thích
- Định lí này được giới thiệu ở mục Hệ quả trong SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 [↩]
- Trích Ví dụ 3. SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 [↩]
- Đây là cách được trình bày trong SGK đã dẫn ở trên [↩]
- Mình có bình luận về sự kiện này trên facebook [↩]
