Các lời giải tiêu biểu của cuộc thi giải toán vectơ

Bạn đang xem phần 11 / 12 của series Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách.

Thapsang.vn giới thiệu các lời giải tiêu biểu, chọn lọc từ các bài thi của cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách. Bao gồm các lời giải phổ biến cho tới các lời giải ít gặp.

Đề bài:

Chứng minh rằng: Với bốn điểm bất kỳ A, B, C và D ta luôn có

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

Căn cứ vào mô hình phân loại các lời giải và cách giải, 18 bạn dự thi đã đóng 20 cách giải tiêu biểu. Trang này là phần 1, gồm 12 cách giải và 8 cách giải còn lại được giới thiệu trong bài tiếp theo.

Biến đổi tương đương và sử dụng QTT
Biến đổi vế này thành vế kia, dùng QTC phân tích rồi nhóm
Biến đổi tương đương và sử dụng QTC
Biến đổi tương đương, cộng hai vế với một vectơ và áp dụng QTC
Biến đổi tương đương, dùng QTC chèn thêm điểm có sẵn
Biến đổi tương đương, dùng QTC chèn thêm điểm bất kì
Biến đổi tương đương, trừ hai vế với một vectơ và áp dụng QTT
Biến đổi vế này thành vế kia, dùng QTT chèn thêm điểm có sẵn
Biến đổi vế này thành vế kia, dùng QTC chèn thêm điểm bất kì
Biến đổi vế này thành vế kia, dùng QTT chèn thêm điểm bất kì
Biến đổi hai vế thành cùng một biểu thức, dùng QTC chèn thêm điểm bất kì
Biến đổi hai vế thành cùng một biểu thức, dùng QTT chèn thêm điểm bất kì

1. Biến đổi tương đương và sử dụng quy tắc trừ

Từ đẳng thức cần chứng minh, các bạn chuyển vế các vectơ để thu được hiệu hai vectơ có cùng điểm đầu ở mỗi vế rồi áp dụng quy tắc trừ để thu được đẳng thức đúng.

Có 11 bạn trình bày theo cách này: Trần Thị Nguyệt Anh, Đặng Thị Kiều Linh, Đặng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Đạt, Trần Thị Minh Tâm, Vũ Ngọc Hòa, Nguyễn Hữu Dũng, Phạm Tuấn Nghĩa, Nguyễn Đức Duy, Nguyễn Việt Hoàng và Vũ Trà My.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}$ (Luôn đúng)

Bình luận: Đây là cách giải tự nhiên nhất!

2. Biến đổi vế này thành vế kia, dùng quy tắc cộng phân tích rồi nhóm

Phân tích 2 hay 1 vectơ ở một vế, bằng cách chèn thêm một điểm có sẵn rồi áp dụng quy tắc cộng để thu được vế kia.

Có 11 bạn trình bày theo cách này: Trần Thị Nguyệt Anh, Đặng Thị Kiều Linh, Phạm Bắc Phú, Trần Văn Tú, Vũ Ngọc Hòa, Phạm Tuấn Nghĩa, Nguyễn Thị Thanh Thủy, Vũ Ngọc Ánh, Nguyễn Việt Hoàng, Vũ Trà My và Trần Xuân Đắc.

Phân tích cả 2 vectơ ở một vế:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD})$

$= (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

Phân tích 1 vectơ ở một vế:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{CD}$

$= (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}) +\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

Hoặc có thể kết hợp cả quy tắc cộng và quy tắc trừ như lời giải của bạn Nguyễn Thị Thanh Thủy:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{CD}$

$= \overrightarrow{AD}+ (\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

3. Biến đổi tương đương và sử dụng quy tắc cộng

Theo cách này, các bạn không phân tích vectơ nào cả mà chỉ cần chuyển vế để thu được mỗi vế là hiệu hai vectơ có cùng điểm cuối, từ đó áp dụng vectơ đối rồi áp dụng quy tắc cộng là thu được đẳng thức đúng.

Có 10 bạn trình bày theo cách này: Trần Thị Nguyệt Anh, Đặng Thị Kiều Linh, Nguyễn Văn Đạt, Vũ Ngọc Hòa, Nguyễn Hữu Dũng, Phạm Tuấn Nghĩa, Bùi Quốc Tuấn, Nguyễn Đức Duy, Nguyễn Việt Hoàng và Vũ Trà My.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}$ (Luôn đúng)

Bình luận: Đây cũng là cách giải khá tự nhiên!

4. Biến đổi tương đương, cộng hai vế với một vectơ và áp dụng quy tắc cộng

Từ đẳng thức cần chứng minh, cộng hai vế với một vectơ thích hợp rồi áp dụng quy tắc cộng để thu được một đẳng thức đúng.

Có 8 bạn trình bày theo cách này: Trần Thị Nguyệt Anh, Phạm Bắc Phú, Đặng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Đạt, Nguyễn Hữu Dũng, Phạm Tuấn Nghĩa, Nguyễn Việt Hoàng và Vũ Trà My.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD})$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}$ (Luôn đúng)

Bình luận: Cách giải này khá thú vị, tuy nhiên như thầy Phạm Bắc Phú nhận xét: “Thực chất chúng ta đã áp dụng một tính chất chưa được giới thiệu và chứng minh trong SGK” nhưng sao ai cũng hiểu. 😀 Bạn có thể tìm hiểu chi tiết đó là tính chất gì và cách chứng minh tính chất đó ở phần Bình luận trong bài dự thi của thầy Phú.

5. Biến đổi tương đương, dùng quy tắc cộng chèn thêm điểm có sẵn

Từ đẳng thức cần chứng minh, chèn thêm điểm có sẵn vào một hay hai vectơ rồi áp dụng quy tắc cộng để thu được một đẳng thức đúng.

Có 4 bạn trình bày theo cách này: Đặng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Đạt, Trần Thị Minh Tâm và Nguyễn Đức Duy.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (Luôn đúng)

Bình luận: Thực chất cách trình bày này cũng tương đương với cách giải biến đổi vế này thành vế kia.

6. Biến đổi tương đương, dùng quy tắc cộng chèn thêm điểm bất kì

Từ đẳng thức cần chứng minh, chèn thêm điểm bất kì bằng quy tắc cộng từ đó thu được đẳng thức đúng.

Có 4 bạn trình bày theo cách này: Nguyễn Văn Đạt, Phạm Tuấn Nghĩa, Nguyễn Đức Duy và Nguyễn Việt Hoàng.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB},\ \forall O$ (Luôn đúng)

Bình luận: Lời giải quá ngắn gọn!

7. Biến đổi tương đương, trừ hai vế với một vectơ và áp dụng quy tắc trừ

Từ đẳng thức cần chứng minh, đem trừ 2 vế với một vectơ rồi áp dụng quy tắc trừ hai vectơ cùng điểm đầu và thu được đẳng thức đúng.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú, Trần Văn Tú và Nguyễn Việt Hoàng.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}$ (Luôn đúng)

Bình luận: Về bản chất cách này tương đương với cách cộng hai vế với một vectơ.

8. Biến đổi vế này thành vế kia, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm có sẵn

Dùng quy tắc trừ để chèn thêm điểm có sẵn vào 1 hoặc 2 vectơ ở một vế, rồi biến đổi thành vế kia.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Đặng Thị Kiều Linh, Trần Văn Tú và Trần Xuân Đắc.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}) + \overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

9. Biến đổi vế này thành vế kia, dùng quy tắc cộng chèn thêm điểm bất kì

Áp dụng quy tắc cộng chèn thêm một điểm bất kì vào một vế rồi biến đổi thành vế kia.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Trần Văn Tú, Nguyễn Hữu Dũng và Bùi Quốc Tuấn.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}),\ \forall O$

$=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB})$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

10. Biến đổi vế này thành vế kia, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm bất kì

Áp dụng quy tắc trừ chèn thêm một điểm bất kì vào một vế rồi biến đổi thành vế kia.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Trần Văn Tú, Vũ Ngọc Hòa và Bùi Quốc Tuấn,.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}),\ \forall O$

$=(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

Bình luận: Về ý tưởng, cách này giống cách 9 nhưng có sự khác biệt ở phương pháp chèn điểm, một đằng dùng quy tắc trừ và một đằng dùng quy tắc cộng nên căn cứ vào đơn vị kiến thức thì chúng được xem là 2 cách giải khác nhau.

11. Biến đổi hai vế thành cùng một biểu thức, dùng quy tắc cộng chèn thêm điểm bất kì

Dùng quy tắc cộng để chèn cùng một điểm bất kì vào mỗi vế của đẳng thức đã cho và thu được cùng một biểu thức.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú, Nguyễn Mạnh Đạt và Nguyễn Việt Hoàng.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD},\ \forall O$ (1)

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB},\ \forall O$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

Bình luận: Cách này giống cách 6 ở chỗ cùng chèn một điểm bất kì vào hai vế, tuy nhiên có sự khác biệt về phương pháp biến đổi, một đằng biến đổi tương đương còn một đằng biến đổi riêng từng vế nên chúng vẫn được xem là hai cách khác nhau.

12. Biến đổi hai vế thành cùng một biểu thức, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm bất kì

Áp dụng quy tắc trừ để chèn cùng một điểm vào mỗi vế của đẳng thức đã cho và thu được cùng một biểu thức.

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú, Vũ Ngọc Hòa và Vũ Ngọc Ánh.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC},\ \forall O$ (1)

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC},\ \forall O$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm)

Bình luận: Cách này và cách 11 cùng một ý tưởng, chỉ khác ở chỗ dùng quy tắc trừ thay vì quy tắc cộng.

Th9 23, 2013Thapsang.vn

Viết bình luận

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Công bố giải thưởng và trao giải