Trước khi tiếp tục với Ví dụ 2, chúng ta nhắc lại một số ý cơ bản đã biết ở phần 1:
- Hàm số đơn điệu trên một tập là nửa khoảng hay đoạn thì đạt GTLN (GTNN) tại các đầu mút của tập đó.
- Khi chứng minh hàm số đồng biến trên tập là nửa khoảng hay đoạn thì cần kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó.
- Chiến lược 3 bước để chứng minh bài toán tổng quát.
Lời nhắn: Nếu bạn chưa đọc phần 1 của bài viết này thì hãy đọc nó đã nhé, sau đó mới đọc phần này.
Bây giờ hãy sử dụng tất cả “hành trang” đó cho ví dụ 2. Mà bạn đã giải quyết bài toán mở rộng từ ví dụ 1 mà tôi gợi ý chưa nhỉ? Nếu chưa thì cẩn thận nhé, trái đất tròn đấy!
- Phân tích
- Nhìn lại những bước chính
- Lời giải
- Bình luận
- Phương pháp chứng minh
- Bài tập tự luyện
- Lời nhắn: Dành cho các bạn học sinh
1. Phân tích
* Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng tổng quát, nên muốn đưa nó về dạng tổng quát thì chúng ta có 2 việc cần làm: Dồn hết biến về một vế và hai là quy bài toán cần chứng minh với về chứng minh trên các nửa khoảng hoặc đoạn.
* Chuyển “mọi thứ” ở vế trái sang vế phải, ta có bất đẳng thức tương đương:

* Tiếp theo chúng ta sẽ quy bài toán: Chứng minh về chứng minh trên các nửa khoảng hoặc đoạn.
– Nhận thấy rằng nên bài toán đã cho có thể chia thành hai bài toán nhỏ. Chứng minh rằng:
– Lại “để ý” rằng:
nên các bất đẳng thức (1) và (2) có thể viết lại thành:
– Như vậy, ta đã quy bài toán: Chứng minh về chứng minh trên các nửa khoảng. Giờ thì bạn biết cần làm gì rồi đấy! ❓
* Đặt thì
và viết lại bất đẳng thức (1a), (2a) dưới dạng:
* Lúc này, do chiều của bất đẳng thức của cả (1b) và (2b) đều là nên để chứng minh ta cần chỉ ra GTNN của hàm số
trên các nửa khoảng
và
đều lớn hơn hoặc bằng
là xong!
* Do phạm vi của bài toán (Chỉ dùng “súng cao su” thôi :D), nên chúng ta chỉ tìm được GTNN của với
đơn điệu trên các nửa khoảng đó và khi đó
phải đạt GTNN tại đầu mút
của các nửa khoảng.
* Câu hỏi tiếp theo là: Nếu đơn điệu thì
đơn điệu đồng biến hay đơn điệu nghịch biến trên các tập kia? Từ đó suy ra cần chứng minh
hay
trên mỗi tập tương ứng.
– Để trả lời câu hỏi này, ta viết (1b) và (2b) dưới dạng:
– Từ (1c) suy ra rằng nghịch biến trên
(3), còn từ (2c) suy ra rằng
đồng biến trên
(4). Bạn có thể dùng phương pháp phản chứng để suy ra (3) và (4) không? Hoặc một cách khác nữa?
– Lúc này, theo “định lý điều cần” về mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm ta có:
* Nhưng ngược lại, nếu chúng ta chứng minh được (3a) và (4a) thì suy ra nghịch biến trên
và đồng biến trên
, vì có
liên tục trên các nửa khoảng
và
. Từ đó, suy ngược lại điều cần chứng minh.
* Do đó, giờ ta sẽ đi chứng minh (3a) và (4a). Ơ hơ …, trông bất đẳng thức (4a) “quen quen” nhỉ? Chúng ta đã gặp nó ở đâu rồi thì phải? Nó chính là bài toán mở rộng từ ví dụ 1 của phần trước mà tôi đã gợi ý bạn giải quyết. Bạn đã giải quyết nó chưa? Chưa phải không? Tôi nói rồi mà “trái đất tròn đấy!” Giờ bạn phải giải nó thôi, hay bạn muốn biết “trái đất tròn lần nữa” 😀
* Theo kết quả của Ví dụ 1 phần trước, để chứng minh (4a), ta lại áp dụng Chiến lược 3 bước của bài toán tổng quát để giải. Mục tiêu là, chỉ ra rằng GTNN của hàm số trên
lớn hơn hoặc bằng
, bằng cách chứng minh
đồng biến trên
.
– Thật vậy, ta có .
– Dễ thấy liên tục trên
– Do đó hàm số đồng biến trên
. Từ đó suy ra
(đpcm)
* Hoàn toàn tương tự, bạn chứng minh được cũng đồng biến trên
, từ đó chứng minh được (3a).
* Như vậy, ta đã chứng minh được (3a) và (4a) từ đó suy ra được (3) và (4). Từ (3) và (4) ta lại suy ra được (1c) và (2c) và suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
2. Nhìn lại những bước chính
* Đầu tiên chúng ta xét hàm số , liên tục trên
* Ta chứng minh được đồng biến trên cả
và
.
* Từ đó suy ra được đồng biến trên
và nghịch biến trên
.
* Do đó và
(đpcm)
Chú ý rằng, để chứng minh đồng biến trên cả
và
thì ta lại phải chứng minh
3. Lời giải
* Bất đẳng thức đã cho tương đương với
* Xét hàm số ,
liên tục trên
và có
* Lại có nên suy ra
đồng biến trên
.
* Do đồng biến trên
, nên
– . Suy ra
đồng biến trên
– . Suy ra
nghịch biến trên
* Từ (1) và (2), suy ra (đpcm)
4. Bình luận
* Một bài toán khá phức tạp, từ việc đầu tiên là quy bài toán chứng minh về bài toán chứng minh trên các nửa khoảng.
* Cách giải trên của bài toán cũng có một “nét” rất đặc biệt, đó là sự lặp đi lặp lại giữa 2 bài toán: “Bài toán 1: Xét tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức” và “Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức để xét tính đơn điệu của hàm số”. Cụ thể là:
– Lần 1: “Để chứng minh bất đẳng thức , ta xét tính đơn điệu của hàm số
”
– Lần 2: “Để xét tính đơn điệu của hàm số , ta cần chứng minh bất đẳng thức
”
– Lần 3: “Để chứng minh bất đẳng thức , ta xét tính đơn điệu của một hàm số
”
– Lần 4: “Để xét tính đơn điệu của hàm số , ta cần chứng minh bất đẳng thức
”



5. Phương pháp chứng minh
Qua các ví dụ 1, ví dụ 2 và các nhận xét trên, ta rút ra một phương pháp sau là cụ thể hóa của Chiến lược 3 bước mà ta đã biết ở phần trước.
Khi ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ta có thể thực hiện các bước sau:


* Kiểm tra tính liên tục của hàm số


* Xét dấu




* Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và kết luận
Chú ý: Trường hợp ta chưa/khó xét được dấu của


Cuối cùng, trước khi khép lại bài viết, mời bạn vận dụng tất cả những gì thu được để giải một số bài tập tương tự sau:
6. Bài tập tự luyện
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)
b)
7. Lời nhắn: Dành cho các bạn học sinh
Qua 2 phần của bài viết, bạn có từng tự hỏi:
* Tại sao chúng ta chỉ giải quyết bài toán tổng quát với tập là “nửa khoảng” hay “đoạn” và
phải đơn điệu trên tập đó? Thế nếu tập
mà là “khoảng” thì sao? Nếu
không đơn điệu trên
thì sao?
* Vì sao lại dùng phương pháp này để chứng minh bất đẳng thức, các phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển (bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cop-xki,…) không tốt hơn chăng?
* Bài viết chỉ đề cập áp dụng phương pháp này cho những bất đẳng thức 1 biến, thế còn với những bất đẳng thức 2 hoặc 3 biến,… thì sao? Có thể áp dụng được phương pháp này được không?
