Cách tính nhẩm số tổ hợp

Bạn thường tính các số tổ hợp bằng cách nào:

Dùng máy tính cầm tay?
Dùng tam giác Pascal?
Ghi nhớ?

Hiển nhiên, với máy tính thì số tổ hợp nào bạn “chả” tính được. Còn tam giác Pascal, thật hiếm khi sử dụng phải không? Ít ai hì hục vẽ một cái tam giác số rồi chỉ để dùng một hai lần. Hơn nữa cũng chỉ dùng với số tổ hợp $C^k_n$ với $n$ nho nhỏ thôi, chứ tầm $n=10$ thì chắc không ai vẽ tam giác Pascal rồi. Còn ghi nhớ thì sao? Chúng ta cũng chỉ nhớ một số trường hợp đơn giản và đặc biệt thôi, như $C^0_n = C^n_n = 1; C^1_n = C^{n-1}_n = n$ .

Do đó với những số tổ hợp khác, như $C^2_{10}, C^2_{20}$ hay $C^3_{21}$ thì sao? Dưới đây là cách mình hay dùng để “tính nhẩm” những số tổ hợp với chỉ số trên là 2 và 3. Đây cũng là hai loại chỉ số trên mà chúng ta hay gặp khi giải toán. Bài viết có ích với các bạn học sinh, sinh viên và thầy giáo (cô giáo) thích tính nhẩm hơn dùng máy tính cầm tay.

1. Cơ sở tính nhẩm số tổ hợp

Chúng ta biết rằng số tổ hợp được tính bởi công thức

$C^k_n = \frac{A^k_n}{k!}$

Trong khi tử số: $A^k_n$ có thể tính bằng công thức

$A^k_n = n(n-1)...(n-k+1)$

tức là tích của $k$ số tự nhiên liên tiếp giảm từ $n$ . Còn mẫu số:

$k!=k(k-1)...2.1$

tức là tích của $k$ số liên tiếp giảm từ $k$

Do đó, ta có thể viết lại công thức tính số tổ hợp $C^k_n$ dưới dạng:

$C^k_n = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k(k-1)...2.1}$

Công thức trên có ý nghĩa gì?

Nó có nghĩa là: Một số tổ hợp có chập là $k$ thì nó là một thương mà tử số là “Tích của $k$ số tự nhiên liên tiếp giảm từ $n$ “, còn mẫu số cũng là “Tích của $k$ số tự nhiên liếp tiếp” nhưng giảm từ $k$ . Nói ngắn gọn dưới dạng khẩu quyết thì ta có thể nói “Tích của $k$ số liên tiếp giảm từ $n$ chia cho tích của $k$ số liên tiếp giảm từ $k$ “. Đây chính là cơ sở mình dùng để tính nhẩm các số tổ hợp, giờ ta thử vận dụng vào một vài trường hợp cụ thể xem sao.

2. Áp dụng

Trước khi áp dụng, bạn nhớ cơ sở tính trên và nhẩm trong đầu nhé. Bắt đầu với vài số tổ hợp có chập là 2, chẳng hạn

$C^2_{10}$

Nhẩm trong đầu là “10 nhân 9 chia cho 2, 1 bằng?” 45, ok? Trường hợp số tổ hợp có chập là 2 thì bạn cũng có thể nhớ quy tắc đơn giản hơn như sau: “Tích của hai số liên tiếp chia 2”. Thử tiếp với

$C^2_{20}$

Nhẩm trong đầu là “20 nhân 19 chia 2”, 190 ok? Thật đơn giản và nhanh chóng phải không? Bấm máy làm sao bì kịp nhỉ? 😀

Giờ thử với số tổ hợp có chập là 3 xem sao:

$C^3_{21}$

Nhẩm trong đầu là “21 nhân 20 nhân 19 chia cho 3, 2, 1” bằng “7 nhân 10 nhân 19” bằng 1330, ok?

Bình luận

– Có rất nhiều phép tính đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia) mà chỉ cần nhẩm chút là ra, nhưng nhiều bạn học sinh bây giờ đến cộng hai con số cũng đem máy tính ra bấm. Hay như khi giải một số phương trình bậc hai trường hợp đặc biệt $a+b+c=0$ , $a-b+c=0$ cũng bấm máy tính. Hãy cố gắng tính nhẩm khi có thể nhé, điều đó làm cho trí não của bạn ngày càng thêm năng động và sáng tạo đấy!

– Nếu bạn biết một cách khác để tính nhẩm số tổ hợp thì chia sẻ với mình nhé. Gõ nó vào hộp bình luận dưới đây.

Nov 28, 2013Thapsang.vn

Viết bình luận

Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.