Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

“Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức” là một trường hợp đặc biệt của phương pháp “Ứng dụng giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số để chứng minh bất đẳng thức”. Phương pháp này các bạn học sinh lớp 12 sẽ làm quen ngay ở những buổi đầu tiên của năm học, và vấn đề khó khăn ở chỗ:

  • vừa mới học xong bài đầu tiên của môn Giải tích 12, bài “Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số” – lúc này nội dung còn rất mới so với các bạn (còn bỡ ngỡ ấy)
  • các bạn sẽ gặp ngay một số bài tập trong SGK về chứng minh bất đẳng thức mà lại có ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh
  • các bạn chưa có kiến thức hoàn chỉnh về GTLN (GTNN) của hàm số, vì trong SGK thì nội dung này được giới thiệu ở bài thứ 3: “Bài 3. GTLN, GTNN của hàm số”.

Tình huống này giống như, sáng vừa học bắn súng cao su xong thì chiều phải dùng súng cao su đi bắn chim và ngày kia ta sẽ học bắn súng săn 😀

Bài viết dài kì này (trang này chỉ là phần 1) ra đời nhằm giúp các bạn học sinh lớp 12 phần nào tự tin hơn khi lần đầu gặp các bài toán trên (kiểu như “ngày đầu tiên đi học” vậy). Bài viết giới thiệu, phân tích bài toán tổng quát và làm rõ hơn thông qua việc phân tích, vận dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số ví dụ đơn giản, thường gặp trong SGK. (Đơn giản chỉ là giúp các bạn biết dùng súng cao su tốt hơn thôi, chứ sau khi biết dùng súng săn thì chắc không còn dùng súng cao su mấy :D)

Lời nhắn: Bài viết phù hợp với các bạn là học sinh lớp 12 vừa học xong về “Tính đơn điệu của hàm số”. Bài viết cũng tốt với các bạn đã học hết lớp 12 và muốn ôn lại kiến thức của mình về chủ đề này. Nếu bạn thuộc nhóm thứ nhất thì có thể đọc nhanh phần “Kiến thức”, còn nếu bạn thuộc nhóm thứ hai thì bạn nên đọc cẩn thận cả phần “Kiến thức” trước khi đọc các phần tiếp theo.

Trước tiên, bạn cần “nắm chắc, buộc chặt :D” một số kiến thức về định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến, cách dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên khoảng, nửa khoảng và đoạn.

1. Kiến thức

Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và đơn điệu

Hàm số f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên nửa khoảng [a;b) nếu

\forall x_1, x_2 \in [a;b):x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Hàm số f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên nửa khoảng [a;b) nếu

\forall x_1, x_2 \in [a;b):x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)

Hàm số f(x) gọi là đơn điệu trên khoảng [a;b), nếu f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên [a;b)

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm số đồng biến (nghịch biến, đơn điệu) trên đoạn và khoảng.

Nhớ nắm vững định nghĩa trên nhé. Học định nghĩa mà không nhớ nghĩa thì việc học chỉ là “copy quên không paste” :D.

Giờ ta áp dụng định nghĩa trên cho hàm số đồng biến trên nửa khoảng, đoạn và thu được định lý sau:

Định lý 1

Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a;b) thì f(x)\ge f(a),\forall x \in [a;b)

Định lý trên có ý nghĩa gì? Ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên nửa khoảng [a;b) thì hàm số chỉ đạt GTNN tại đầu mút dưới (tại a) và không tồn tại GTLN của hàm số trên nửa khoảng đó.

Định lý 2

Nếu hàm số f(x) đồng biến trên (a;b] thì f(x)\le f(b), \forall x \in (a;b]

Định lý này có ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên nửa khoảng (a;b] thì hàm số chỉ đạt GTLN tại đầu mút trên (tại b) và không tồn tại GTNN của hàm số trên nửa khoảng (a;b].

Định lý 3

Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a;b] thì f(a) \le f(x) \le f(b), \forall x \in [a;b]

Định lý trên có ý nghĩa gì? Ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên một đoạn thì hàm số đó luôn đạt cả GTNN và GTLN và GTNN đạt tại đầu mút dưới còn GTLN đạt tại đầu mút trên của đoạn đó.

Một cách tương tự, bạn cũng có định lý cho trường hợp hàm số nghịch biến trên nửa khoảng và đoạn. Bạn tự phát biểu nhé? Chú ý: Hãy nhớ ý nghĩa của các định lý này, đây chính là súng cao su của bạn đấy :D. Các bạn sẽ nâng cấp nó lên thành “súng săn” khi học bài thứ 3 trong SGK: “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”

Tiếp theo, cần phân biệt cách dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên một khoảng là khác với trên nửa khoảng và đoạn. Khác nhau như thế nào nhỉ?

Định lý 4

Nếu hàm số f(x)f'(x)\ge 0 với mọi x\in (a;b)f'(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

Tương tự, nếu thay dấu \ge bởi \le ở giả thiết của định lí trên thì bạn có kết luận hàm số nghịch biến. Trên một khoảng thì chỉ cần thế thôi, nhưng trên một tập là nửa khoảng hay đoạn thì phải như thế này:

Định lý 5

Nếu hàm số f(x)f'(x)\ge 0 với mọi x\in (a;b), f'(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) và f(x) liên tục trên trên [a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng [a;b)

Bạn có thấy sự khác nhau giữa định lý 4 và 5 không? Khác ở chỗ: định lý 5 có thêm “tính liên tục” của hàm số trên nửa khoảng vào giả thiết, phần còn lại của giả thiết thì giống như định lý 4. Tương tự, bạn tự phát biểu định lý cho một đoạn. và nhớ thêm “tính liên tục” vào giả thiết  nhé 🙂 Như vậy, khi dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên nửa khoảng hay trên một đoạn thì phải kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó.

Kiến thức như thế là đủ dùng rồi, chúng ta quay trở lại với bài toán ban đầu thôi.

2. Bài toán tổng quát

Chứng minh rằng:

f(x) \ge m, \forall x\in K với K là đoạn hoặc nửa khoảng. (*)

Ý tưởng cơ bản của cách giải:

Chứng minh rằng GTNN của f(x) trên K lớn hơn hoặc bằng m.

Như vậy, để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chỉ cần tìm GTNN của hàm số f(x) trên K, rồi kết luận. bằng mắt ta thấy GTNN ≥ m thế là xong 😀

Nhưng do các bạn chưa được học về GTNN một cách đầy đủ, chính xác, cũng như cách tìm GTNN bằng đạo hàm (súng săn). Nên ở đây ta chỉ đề cập đến các bài toán dạng (*) mà hàm số vế trái f(x) là liên tục và đơn điệu trên K. Khi đó, theo các định lý số 1, 2, 3 ở trên (súng cao su) thì GTNN của hàm số đạt được tại các đầu mút của nửa khoảng hoặc đoạn đó.

Như vậy ta có “chiến lược” để giải quyết bài toán trên như sau:

* Từ chiều của bất đẳng thức, dự đoán cần tìm GTLN/GTNN của hàm số
* Áp dụng các định lý 4, 5 về tính đơn điệu của hàm số để suy ra GTLN/GTNN
* Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và kết luận

Chú ý: Chiến lược trên vẫn đúng nếu chiều của bất đẳng thức (*) là >, \le , <.

Đây là một bài toán khá cơ bản, nó giúp các bạn giải quyết nhiều bài toán cao hơn. Chẳng hạn, nó được sử dụng trong Câu 1b của đề thi Đại học khối A vừa rồi (2013). Các bạn nhớ học thật tốt bài toán này nhé, dù bằng “súng cao su” hay “súng săn” :D. Trước tiên là bằng súng cao su đã.

Chúng ta sẽ bắt đầu với dụ đơn giản

3. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: x>\sin x, với mọi x \in (0;\frac{\pi}{2})

Phân tích

* Nhận xét, bất đẳng thức đã cho chưa có dạng (*), nên ta sẽ quy nó về dạng (*). Có 2 việc cần làm: Dồn hết biến về một vế và hai là quy khoảng (0;\frac{\pi}{2}) về đoạn hoặc nửa khoảng.

* Do biến x xuất hiện ở cả hai vế, nên đầu tiên ta sẽ “dồn” các biến về một vế. Chẳng hạn, chuyển \sin x ở vế phải sang vế trái ta thu được bất đẳng thức tương đương:

x-\sin x > 0, với mọi x \in (0;\frac{\pi}{2})

* Lại “để ý” rằng (0) - \sin(0) = 0, nên bất đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng:

x-\sin x \ge 0 , \forall x \in [0;\frac{\pi}{2})

* Lúc này, đặt f(x)=x - \sin x , \forall x \in \mathbb{R} thì bất đẳng thức trên có thể viết lại thành:

f(x) \ge 0 , với mọi x \in [0;\frac{\pi}{2})

* Bây giờ thì tốt rồi, bài toán đã được quy về dạng tổng quát (*).

* Do chiều bất đẳng thức là \ge, nên chứng minh GTNN của hàm số f(x) phải lớn hơn hoặc bằng 0 là xong!

* Giờ ta sẽ áp dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trên nửa khoảng [0;\frac{\pi}{2}). Chú ý nhé, trên nửa khoảng đấy! Cứ trên nửa khoảng thì cần thêm gì nhỉ? 🙂

– Ta có f'(x) = 1 - \cos x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})

– mà dễ thấy f(x) liên tục trên \mathbb{R} nên f(x) liên tục trên [0;\frac{\pi}{2}).

– Vậy hàm số f(x) đồng biến trên [0;\frac{\pi}{2}).

* Lúc này, do hàm số f(x) đồng biến trên [0;\frac{\pi}{2}), nên ta có:

f(0) < f(x) , 0 < \forall x < \frac{\pi}{2} (đpcm)

Việc phân tích đã xong, giờ chỉ cần trình bày lại thôi

Giải

* Bất đẳng thức đã cho tương đương với

x-\sin x > 0, với mọi x \in (0;\frac{\pi}{2})

* Xét hàm số f(x)=x-\sin x liên tục trên [0;\frac{\pi}{2})

f'(x) = 1 - \cos x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2}). Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên [0;\frac{\pi}{2})

* Hàm số f(x) đồng biến trên [0;\frac{\pi}{2}) nên ta có:

\frac{\pi}{2} > \forall x >0 \Rightarrow f(x) > f(0)

\Leftrightarrow x - \sin x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2}) (đpcm)

Bình luận

* Ở bước đầu tiên, nếu bạn không chuyển \sin x sang vế trái mà chuyển x từ vế trái sang vế phải thì lời giải cũng tương tự, chỉ khác một chút, bây giờ hàm số của bạn là  f(x)=\sin x - x và đây là một hàm nghịch biến.

* Ở bước thứ hai, thực chất chúng ta đã so sánh giá trị của vế trái khi x nhận hai giá trị đầu mút 0\frac{\pi}{2} của tập cần chứng minh. Từ đó, suy ra cần xét tính đơn điệu trên tập [0;\frac{\pi}{2}) Chú ý so sánh giá trị của vế trái khi x nhận hai giá trị đầu mút nhé!

* Cuối cùng, hãy luôn nhớ: Xét tính đơn điệu của hàm số trên nửa khoảng hay đoạn thì cần kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó.

Mở rộng bài toán

* Quay lại với bước xét đạo hàm ở trên:

f'(x) = 1 - \cos x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})

* Bạn có thấy f'(x) = 1 - \cos x > 0 không chỉ đúng với \forall x \in (0;\frac{\pi}{2}) mà còn “gần đúng” với \forall x > 0 không?

* Từ đó, bạn có thể mở rộng bài toán đã cho:

Chứng minh rằng: x>\sin x, với mọi x \in (0;\frac{\pi}{2})

thành một bài toán rộng hơn không?

Đó là ví dụ đầu tiên, “vạn sự khởi đầu nan” quá trình phân tích thật hơi “gian nan” :D, nhưng “đầu xuôi thì đuôi lọt”. Mời bạn chuẩn bị “lọt” tiếp ví dụ thứ 2. 😀

Ps: Trong khi nghỉ giải lao, chuẩn bị cho lần đi săn với “súng cao su” tiếp theo, bạn nhớ tự phát triển và giải quyết bài toán mở rộng mà tôi gợi ý trên kia nhé!


Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. trần ngọc minh says:

    The first question of my students when they learn this method is: “Why should / must we use this method?” Can you give me a natural answer ? 🙂

    • Before learning this method, they use some inequalities such as AM-GM inequality, Bernoulli’s inequality, triangle inequality,… to solve problems and that’s hard. Those methods don’t show a clear path to achieve the results.

      While “Using max and min of functions” to inequality problems, we can see a clear path to the desired results. As you will see in next lessons, “Using monotonic of functions” is a special case of the method “Using max and min of functions”.

      Thanks for your question.

    • Lê Ngọc Minh says:

      You can tell them: no, you shouldn’t and don’t have to use this method. Just learn it for fun because that’s the whole point of learning mathematics 😀

  2. mình thêm dấu lớn hơn hoặc bằng ở chỗ đạo hàm có được không vậy

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *