Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p4)

Bạn đang xem phần 4 / 5 của series Sai lầm thường gặp.

“Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại điểm x_0” là một bài toán thường gặp trong SGK Giải tích lớp 12 và nhiều tài liệu tham khảo. Nhưng không chỉ học sinh, sinh viên mà thậm chí các giáo viên cũng rất dễ mắc sai lầm khi giải bài toán này. Dưới đây là một ví dụ.

  1. Ví dụ
  2. Sai ở đâu?
  3. Tại sao mắc sai lầm?
  4. Sửa như thế nào?
  5. Bình luận

1. Ví dụ

Trong SGK Giải tích 12, Nxb Giáo dục 2008, trang 44; có một bài toán như sau:

Cho hàm số y=x^3 + (m+3)x^2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị là (C_m)

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại điểm x = -2

Lời giải câu a

Một cuốn sách tham khảo [1] đã trình bày lời giải câu a của bài toán này như sau:

Sai lầm ở đâu trong lời giải này?

Hàm số có điểm cực đại x=-1 khi và chỉ khi

    \[\begin{cases}y'(-1)=0\\y''(-1)<0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3(-1)^2+2(m+3)(-1)=0\\6(-1)+2(m+3)<0\end{cases}\]

    \[\Leftrightarrow \begin{cases}-2m-3=0\\2m<0\end{cases} \Leftrightarrow m = \frac{-3}{2}\]

Lời giải này có chứa sai lầm, bạn có thấy không?

2. Sai ở đâu?

Sai ở chỗ, thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại x=-1 khi và chỉ khi \begin{cases}y'(-1)=0\\y''(-1)<0\end{cases} là đúng.

Nhưng thực ra mệnh đề này là SAI, ví dụ hàm số y=-(x+1)^4 đạt cực đại tại x=-1 nhưng \begin{cases}y'(-1)=0\\y''(-1)=0\end{cases}

3. Tại sao mắc sai lầm?

Điều gì khiến người giải dễ mắc sai lầm trên? Nguyên do là vì có 2 hai định lí sau về cực trị của hàm số:

Một là: “Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại x_0 thì y'(x_0)=0 [2]

Hai là: “Nếu \begin{cases}y'(x_0)=0\\y''(x_0)<0\end{cases} thì x_0 là điểm cực đại [3]

Đọc qua thì tưởng hai định lí này là mệnh đề đảo của nhau, nhưng thật ra lại là không. Chính vì chỗ “ngỡ như là đảo của nhau” này khiến người học rất dễ ngộ nhận mệnh đề đảo của định lí thứ hai là đúng!

4. Sửa như thế nào?

Có 2 cách thường dùng để giải bài toán này. Cách 1: Lập bảng biến thiên; Cách 2: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện của định lý thứ 2 nói trên. Dưới đây, bài viết trình bày cách thứ 2, ý tưởng căn bản của cách này là tìm tham số thỏa mãn hai điều kiện của định lí thứ 2. Trước tiên, ta sử dụng định lí thứ nhất để tìm tham số thỏa mãn điều kiện y'(x_0)=0, sau đó, với mỗi giá trị tham số tìm được, ta thử lại vào y'' rồi kiểm tra dấu của y'' tại x_0 và kết luận.

Lời giải đúng

* Ta có y'=3x^2 + 2(m+3)x, y''=6x + 2(m+3)

* Giả sử hàm số đạt cực trị tại x=-1, suy ra y'(-1)=0\Leftrightarrow m = -\frac{3}{2} (1)

* Thử lại, với m=-\frac{3}{2}\Rightarrow y'' = 6x +3 \Rightarrow y''(-1)=-6<0 (2)

* Từ (1)(2), suy ra x=-1 là điểm cực đại và m=-\frac{3}{2} là giá trị cần tìm.

5. Bình luận

* Có thể thấy nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên không phải là mới, thậm chí rất cũ: “Mệnh đề đảo của một định lý không phải lúc nào cũng đúng”. Cụ thể, mệnh đề: “Hàm số đạt cực đại tại x=x_0 thì \begin{cases}y'(x_0)=0\\y''(x_0)<0\end{cases}” là SAI.

* Mọi mệnh đề chưa được chứng minh thì chớ có dùng. Hãy tư duy có căn cứ!


Chú thích

  1. Cuốn sách trình bày lời giải các bài tập có trong SGK Giải tích 12 []
  2. SGK Giải tích 12, trang 14 []
  3. SGK Giải tích 12, trang 16 []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpMột số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p5) →← Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p3)

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Trần Ngọc Minh says:

    Rất thú vị anh Phúc à. Không phải chỉ có cuốn này sai đâu mà ngay cả giáo viên đôi khi cũng “lạm dụng” kiểu viết như thế này nữa.

    • Anh cũng thấy một số tài liệu trên mạng có mắc lỗi này.

      • Bài viết của bác rất hay, em cũng đã có nhầm lẫn như vậy. Tiện đây em nhờ bác hướng dẫn bài này.
        Tìm m để hàm số $$y=x^4-2(m+1)x^2+2m+1$$ đạt cực tiểu tại $$x=0$$

        • CHÚ Ý: Hướng dẫn này chưa chính xác, xin xem một hướng dẫn đầy đủ hơn của bạn đọc vodanhtienboi ở dưới đây. (Cập nhật ngày 20/01/2015)

          Hướng dẫn
          * $$y'(0)=0,\forall m$$
          * $$y”(0)>0 \Leftrightarrow m < -1$$ * KL: $$m < -1$$ là giá trị cần tìm

        • Theo như cách giải của thầy ở bài toán mà thầy đưa ra trong bài viết thì chúng ta đi tìm m ở pt y’=0 (đk cần), sau đó ta thay m tìm đc vào y”. Nếu y”>0 thì hàm số đạt cực tiểu (đk đủ).
          Nhưng nếu theo cách làm của thầy trong ví dụ mà em gửi ở trên thì $$y’_{(0)}=0$$ với mọi m. Ta không tìm đc m cụ thể trong TH này.
          Bác lại tìm m từ pt $$y”_{(0)}>0$$. Vậy có phải lại mâu thuẫn không?

  2. CHÚ Ý: Hướng dẫn này chưa chính xác, xin xem một hướng dẫn đầy đủ hơn của bạn đọc vodanhtienboi ở dưới đây. (Cập nhật ngày 20/01/2015)

    @Thaygiaongheo: Không mâu thuẫn đâu bạn.

    Bản chất là tìm các giá trị $$m$$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: 1) làm $$y'(0)=0$$ và 2) làm $$y”(0)>0$$.

    Trong ví dụ của bạn

    1) $$y'(0)=0, \forall m \in \mathbb{R}$$, nghĩa là $$m$$ bằng bao nhiêu đi nữa thì $$y’$$ cũng bằng 0 tại $$x=0$$.

    2) $$y”(0)>0$$ khi $$m< -1$$Từ (1) và (2) suy ra $$m<-1$$ làm \[\begin{cases}y'(0)=0 \\y''(0)>0\end{cases}\] do đó $$m<-1$$ là giá trị cần tìm.

  3. vodanhtienboi says:

    theo mình nghĩ cần bản chất của bài toán loại này nói chung không phải là tìm các giá trị m thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện: 1) làm y′(…)=0 và 2) làm y′′(…)>0 ( hay 0 (y(x) (hay < y(x)) tren lan can chua x0. do do có thể dự doan ham so dat cuc tieu hay cuc dai tai diem x0 tren lân cận diem x0 dang xet. Bai nay rat may man là ham da cho co dao ham tren (-….;+…). có lẽ nên lưu ý thêm: có những hàm số không tồn tại y ' tại x0 nhưng vẫn đạt cực trị tại x0. Chẳng hạn dễ dàng chỉ ra hàm y = /x/ không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0. ^_^

  4. vodanhtienboi says:

    nhân đây mình cũng muon cung cả nhà thảo luận 1 sai lầm rất hay mắc phải của HS. HS quan niem hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ ( xiêng) có đáy là tam giác đều. Thật ra , về bản chất, lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều( SGV hình 12 nâng cao )

  5. vodanhtienboi says:

    bài bạn Phúc giải có thiếu sót nhỏ: m = -1 thì hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 đấy bạn.Có thể làm như sau:
    TXĐ: D =R
    Tính y’ và cho y’ = 0 ta đc : x= 0 hoặc x^2 = m+1
    TH1. m bằng -1 . Lap BBT dễ dàng kết luận HS dạt cuc tieu tai x = 0 .
    TH2. m nhỏ hơn -1 Lap BBT dễ dàng kết luận HS dạt cuc tieu tai x = 0 .
    TH3. m lớn hơn -1 Lap BBT dễ dàng kết luận HS khong dạt cuc tieu tai x = 0 .
    Kết luận: m nhỏ hơn hoặc bằng -1
    Mong bạn thao luan them de cung nhau chia se nhe

    • vodanhtienboi says:

      sở dĩ thieu sot la vi bạn dã hieu nham ban chat cuc tri tai mot diem la xet tren lân cận của điểm đang xét. và như bạn đã trình bày, phải hết suc cân thận khi dung định lí

    • Cảm ơn bạn đã phát hiện ra, hướng dẫn của mình có thiếu trường hợp này. Mình đã bổ sung CHÚ Ý về sự thiếu sót đó và đề nghị bạn đọc xem hướng dẫn đầy đủ của bạn: Bổ sung 1Bổ sung 2

  6. vodanhtienboi says:

    à, trang rất hay đấy bạn

    • Cảm ơn bạn!

      Về cách gõ công thức trên trang này:

      Bạn đặt các công thức toán trong cặp kí tự $$$$ hoặc giữa cặp \[\]. Sử dụng cách thứ 1, công thức sẽ hiện thị trên cùng 1 dòng văn bản, còn cách thứ 2 thì công thức sẽ hiện thị trên dòng mới và căn giữa.

      Ví dụ 1: Bạn gõ $$x^2 = m + 1$$ sẽ nhận được: $$x^2 = m + 1$$

      Ví dụ 2: Bạn gõ \[x^2 = m + 1\] sẽ nhận được: \[x^2 = m + 1\]

  7. nhi nguyen says:

    sao em đọc vẫn chưa hiểu rõ (Trong bài của thaygiaongheo á chỗ f” => m<-1 ) có ai giải thích rõ hơn chỗ đó giúp em hk? em thấy có 2 cách giải bài này, cách 2 thì thẩy đã trình bài. còn cách dùng bảng biến thiên thì làm ntn ạ?

  8. tuấn says:

    xin hày hãy đưa ra một số ví dụ tìm : GTLN ,GTNN khó hơn một xíu để em tham khảo nhé thầy. xin trân trọng cảm ơn thầy !

  9. em rất thích những bài viết của anh. thật bổ ích

  10. Cảm ơn em đã phản hồi! Những phản hồi như của em giúp anh tin thêm về giá trị của những bài viết mà anh chia sẻ, từ đó có thêm động lực để tiếp tục viết. Anh cảm ơn!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *