Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bạn đang xem phần 2 / 3 của series Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Có rất nhiều bài toán thực tế mà việc giải nó lại quy về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số nào đó. Loạt bài viết này Thapsang.vn sẽ giới thiệu một số bài toán như thế và tập trung vào việc phân tích bài toán từ đó rút ra quy trình chung để giải chúng.

info

LƯU Ý:

* Có nhiều cách để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và đạo hàm là công cụ mà chúng ta sử dụng ở đây. Vì thế loạt bài viết phù hợp với các bạn đã và đang học lớp 12, sinh viên, giáo sinh và giáo viên sư phạm toán.

* Đây là bài viết đầu tiên với đối tượng chính là các bạn học sinh lớp 12 và lần đầu gặp bài toán dạng này, tuy nhiên với các bạn đã từng giải dạng toán này vẫn có thể đọc để biết thêm các khía cạnh khác, còn với các bạn chưa học đạo hàm thì hãy bỏ qua phần 3 của bài viết.

* Các bạn học sinh không cần đọc các chú thích có chữ GV, chúng được tác giả dùng để trao đổi riêng với các bạn đồng nghiệp.

  1. Bài toán thực tế
  2. Phân tích
  3. Bài toán toán học
  4. Đáp số
  5. Quy trình chung
  6. Bài toán tương tự
  7. Bình luận

Sau đây chúng ta xét một bài toán thuộc loại khá phổ biến, trích từ đề thi Giữa HK1 năm học 2016-2017 của trường THPT Nguyễn Du – Nam Định.

1. Bài toán thực tế

Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108m^3 nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau.
Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hình chụp đề thi Giữa HK1 năm học 2016-2017, trường THPT Nguyễn Du – Nam Định

2. Phân tích

Toán học hóa

* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây sẽ ít nhất khi và chỉ khi tổng diện tích bề mặt các thành và đáy của lòng bể là nhỏ nhất.

* Bài toán giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng diện tích của mặt đáy và 4 mặt xung quanh là nhỏ nhất. Mà “cần tìm gì thì gọi đấy”1 thôi 😀

Cần tìm gì thì gọi đấy :D

Cần tìm gì thì gọi đấy 🙂

Vì thế nếu gọi x, x, y lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể và S là tổng diện tích bề mặt của lòng bể thì ta có: S = x^2 + 4xy\ (1)

với x,y>0

Vấn đề

* Tiếp theo chúng ta cần làm gì? Đó là tìm x,y để S nhỏ nhất. Đây thật sự là một vấn đề2, vì sao? Vì từ trước tới giờ chúng ta chỉ có các quy tắc, phương pháp cho bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của những biểu thức chứa 1 biến mà thôi3, trong khi S lại là biểu thức chứa 2 biến và chúng ta chưa có sẵn công thức, định lý, quy tắc hay phương pháp nào cho bài toán 2 biến như thế cả. Vậy thì phải làm thế nào?

* Hãy bình tĩnh và cố gắng phát biểu vấn đề một cách rõ ràng, rồi nhớ lại xem trong những tình huống tương tự như vậy thì chúng ta thường tư duy như thế nào?

Vấn đề: Đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 biến và cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 biến.

Điều này có nghĩa là gì? Chúng ta có một câu hỏi cũ, “tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức”, nhưng cần trả lời trong 1 điều kiện mới là biểu thức đó chứa 2 biến. OK? Chính xác là như thế. 🙂 Trong những tình huống như vậy, lời khuyên mà các “sư phụ” của chúng ta thường đưa ra là gì? 🙂

Phương pháp tư duy

* Lời khuyên đó là: Quy bài toán chưa biết giải về bài toán đã biết giải hay còn gọi là “quy lạ về quen”4. Cụ thể ở đây, nếu ta có thể đưa biểu thức S, từ biểu thức phụ thuộc 2 biến, trở thành biểu thức phụ thuộc vào 1 biến thì bài toán được quy về bài toán quen thuộc. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi hai biến x và y phải có một quan hệ nào đó. Vậy hai biến này có quan hệ gì không?

* Hãy quay lại đề bài của bài toán, có 1 giả thiết mà chúng ta chưa dùng tới. Thật vậy, theo giả thiết thì thể tích của bể là 108m^3 nên ta có phương trình x^2.y=108\ (2) và đây chính là điều chúng ta cần, một phương trình quan hệ giữa x và y.

* Từ (2) ta có thể rút được biến này theo biến kia và thế vào (1), khi đó S chỉ phụ thuộc vào 1 biến, đó chính là mục tiêu của chúng ta. Nhưng chúng ta sẽ rút biến nào theo theo biến nào, x theo y hay y theo x và tại sao?

Chắc bạn đang lẩm bẩm “Sao ông này kì zậy, hiển nhiên là rút y theo x rồi, rõ như ban ngày vậy còn hỏi lí do làm chi? Phức tạp hóa vấn đề quá haizz.” 😀 Ờ, đúng thế, quá hiển nhiên, nhưng mà rõ như ban ngày thì mới khó giải thích chứ tối như ban đêm thì giải thích làm gììì. 😀 Chém gió thế đủ rồi, tóm lại là “mình thích thì mình rút thôi” 😀 .

Ta có y=\frac{108}{x^2}, thay vào (1) được S=x^2 + \frac{432}{x} và bài toán giờ chỉ còn là tìm x>0 để hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất, một bài toán toán học quen thuộc.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán: Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất S=x^2 + \frac{432}{x} với x > 0.

Việc giải bài toán này với các bạn học sinh lớp 12 thì dễ dàng thôi, còn với các bạn chưa học đạo hàm thì có thể vất vả hơn chút.

* Ta có S' = 2x - \frac{432}{x^2} và S' = 0 \Leftrightarrow x = 6

* Bảng biến thiên

ung-dung-gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so-bang-bien-thien

* Do đó hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất khi x=6.

4. Đáp số

Với x=6 suy ra y=3 nên chiều dài, chiều rộng và chiều cao cần tìm là 6m, 6m, 3m.

5. Quy trình chung

Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết các bài toán thực tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:

Bước 1: Toán học hóa bài toán.

* Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán.

* Từ điều kiện của bài toán thiết lập được 1 hàm số phụ thuộc vào 1 biến.

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của bài toán

Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng công cụ khác nhưng có thể khó khăn hơn.

Bước 3: Kết luận bài toán ban đầu

Trong thực tế có rất nhiều bài toán tương tự như bài toán trên, dưới đây là một vài ví dụ.

6. Bài toán tương tự

Bài 1. Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích là 220l. Hỏi mỗi thùng phải có kích thước thế nào để vật liệu làm là ít nhất.5

Bài 2. Bạn muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 150m^3. Đáy bể làm bằng bê-tông giá 100 ngàn đồng trên m^2, thành làm bằng tôn giá 90 ngàn đồng trên m^2, nắp bằng nhôm không gỉ giá 120 ngàn đồng trên m^2. Hỏi kích thước của bể phải như thế nào để chi phí xây dựng là nhỏ nhất?6

Bài 3. Công ty Vinamilk có hai dòng sản phẩm sữa tươi với bao bì là hộp giấy, loại 110ml và loại 180ml. Để sản xuất bao bì hộp giấy cho hai loại đó, công ty Vinamilk đã đặt hàng hai công ty khác, một là Combibloc ở Đức và một là Tetra Pak ở Thụy Điển. Hai công ty này đã thiết kế các hộp có kiểu dáng và kích thước khác nhau như hình ảnh dưới đây.

Ảnh: Internet

Ảnh: Internet

Câu hỏi là

a) Công ty nào đã sử dụng ít nguyên vật liệu hơn với từng loại hộp 110ml và 180ml?

b) Giá sản phẩm của công ty nào rẻ hơn?

7. Bình luận

* Dựa trên câu hỏi mấu chốt là “số viên gạch ít nhất”, bài toán trên có thể phát biểu theo nhiều cách khác. Chẳng hạn, nếu biết độ dày của thành bể, đáy bể, kích thước của mỗi viên gạch và giá thành của gạch thì câu hỏi của bài toán có thể trở thành “Kích thước của bể là như thế nào để số tiền mua gạch là ít nhất”?

* Học đi đôi với hành, lý thuyết gắn liền vơi thực tế là những nguyên lý giáo dục cơ bản và có nhiều tín hiệu đáng mừng là chúng được thể hiện khá rõ trong đề thi minh họa Kỳ thi THPT Quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục và đào tạo gần đây.

* Thực tế dạy và học thì những bài toán mang tính thực tiễn như trên có thể xuất hiện rất sớm trong chương trình toán, chứ không phải đợi đến lớp 12. Chẳng hạn, ngay từ lớp 10, thậm chí là lớp 9 thì học sinh có thể giải được những bài toán thực tế vui vui như dưới đây, mời bạn thử sức. 😀

Câu chuyện giữa hai người yêu toán, Bá và Chí. Họ có một hợp đồng lao động là Chí làm công cho nhà Bá 10 năm và tiền công được thanh toán theo 5 năm một lần, nhưng vì cả hai đều là người yêu toán nên cách thanh toán tiền công của họ cũng đầy màu sắc toán học. 😎

Lần thứ nhất: Bá trả công cho Chí

Sau 5 năm đầu làm công ở nhà Bá, Bá trả công cho Chí một miếng đất trên ruộng của Bá bằng cách đưa cho Chí một sợi dây dài 40m và bảo Chí dùng sợi dây đó khoanh một miếng đất hình chữ nhật, miếng đất khoanh được là của Chí. Vấn đề của Chí là cần khoanh hình chữ nhật có kích thước như thế nào để miếng đất có diện tích là lớn nhất? 😀

Lần thứ hai: Chí “trả thù” Bá 😆

Năm năm sau, cũng sợi dây 40m ấy, Chí cầm đến nhà Bá đòi tiền công bằng cách yêu cầu Bá cắt cho Chí 2 miếng đất trên ruộng nhà Bá để Chí … đào ao 😛 . Một miếng hình vuông còn miếng kia hình tam giác đều và hai miếng phải dời nhau sao cho tổng chu vi của cả hai miếng bằng đúng chiều dài của sợi dây. Giờ Bá cần chia sợi dây đó làm 2 đoạn, mỗi đoạn dài bao nhiêu để tổng diện tích của 2 miếng đất là nhỏ nhất? 😀

Theo bạn thì giữa Bá với Chí, ai “hiểm” hơn ai? 😈

Nếu bạn biết một bài toán thực tế nào khác hoặc có ý kiến về bài viết, xin hãy chia sẻ và gõ nó vào hộp bình luận phía dưới nhé. Cảm ơn bạn!

Hết phần 1, cảm ơn bạn đã đọc bài viết, mời bạn đón đọc phần 2.



Th11 3, 2016Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • GTLN
  • GTNN
  • Toán ứng dụng
  • Bài toán thực tế
  • Bài toán tối ưu
  • Tình huống có vấn đề

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Số quy tròn và các hóa đơn

Quy tắc xét dấu logarit và ứng dụng

Tìm nguyên hàm bằng cách phân tích nghịch đảo của một tích thành tổng các nghịch đảo

Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p5)

Xem tiếpCách kết luận cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn →← Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
  1. Xem thêm bài Khẩu quyết trong toán học [↩]
  2. GV: Theo lý luận phương pháp dạy học môn toán thì đây là một tình huống có vấn đề [↩]
  3. Đặc biệt, học sinh lớp 12 được học tường minh phương pháp tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của các hàm số 1 biến bằng công cụ đạo hàm [↩]
  4. GV: Trong phương pháp dạy học và giải quyết vấn đề thì “Quy lạ về quen” là một kĩ thuật tư duy được áp dụng trong bước giải quyết vấn đề và thường được sử dụng trong tình huống gặp một câu hỏi quen thuộc nhưng ở những điều kiện mới. [↩]
  5. Tham khảo từ một tài liệu trên Internet, không rõ tác giả [↩]
  6. Tham khảo từ một tài liệu trên Internet, không rõ tác giả [↩]
Trang 1 trên 11
Cách đăng ký nhận bài viết mới trên Thapsang.vnTại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

8 years ago Dạy và học toánGTLN, GTNN, Toán ứng dụng, Bài toán thực tế, Bài toán tối ưu, Tình huống có vấn đề13,276
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,445 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,479 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
186,125 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,682 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,598 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Curiosity is, in great and generous minds, the first passion and the last.

— Samuel Johnson
2012 © Thapsang.vn