Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?

Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?

“Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?”, đó là câu hỏi mà một học sinh lớp 12 có thể đặt ra khi học về định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ1:

Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử r=\frac{m}{n}, trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}

Một câu hỏi mà học sinh không dễ trả lời, sách giáo khoa lại không có dòng nào “gợi mở” về chi tiết này, các tài liệu tham khảo thì lại càng không2, còn ở trên lớp thì các thầy cô giáo lại không có đủ thời gian để hướng dẫn và không phải học sinh nào cũng có khả năng khám phá vấn đề. Đó là những lí do khiến bài viết này ra đời.

Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?

Nếu bạn vẫn còn đọc đến đây, chào mừng bạn, một người tò mò và ham khám phá, hy vọng bài viết thú vị với bạn. 🙂

  1. Định nghĩa lũy thừa tự mâu thuẫn
  2. Định nghĩa mâu thuẫn với tính chất
  3. Bình luận

Quay lại với câu hỏi, tại sao định nghĩa đó chỉ áp dụng với cơ số dương mà không áp dụng cho cơ số âm? Với cơ số âm thì có vấn đề gì chăng? Đúng vậy, với cơ số âm thì sẽ có không ít vấn đề. Cụ thể:

Nếu lũy thừa a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} cũng được định nghĩa đối với cả a<0 và a^r cũng có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên thì định nghĩa sẽ tự mâu thuẫn hoặc mâu thuẫn với tính chất.

Thật vậy, chúng ta cùng xem.

1. Định nghĩa lũy thừa tự mâu thuẫn

Tình huống thứ nhất, định nghĩa tự mâu thuẫn. Cụ thể, khi áp dụng định nghĩa cho một lũy thừa mà số mũ được biểu diễn bởi hai phân số khác nhau thì lại thu được 2 kết quả khác nhau. Chẳng hạn, xét lũy thừa (-1)^{\frac{1}{3}}.

Một mặt, theo định nghĩa ta có (-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1

Mặt khác, do \frac{1}{3}=\frac{2}{6} nên (-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}. Áp dụng định nghĩa ta lại có (-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được -1=1 😀

    \[-1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1\]

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?

2. Định nghĩa mâu thuẫn với tính chất

Mặt khác, nếu vừa chấp nhận lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cả cơ số âm và vừa muốn nó có tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên thì sẽ có mâu thuẫn giữa định nghĩa với tính chất.

Ví dụ, cùng một bài toán tính lũy thừa, nhưng áp dụng định nghĩa thì cho một kết quả và áp dụng tính chất thì lại cho một kết quả khác. Chẳng hạn, tính lũy thừa sau \left ( (-1)^{\frac{2}{3}} \right )^{\frac{3}{2}}.

Theo định nghĩa ta có

    \[\left ( (-1)^{\frac{2}{3}} \right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \sqrt[3]{(-1)^2} \right )^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt[3]{(-1)^2} \right )^3}=\sqrt{(-1)^2}=1\]

Nhưng theo tính chất (a^p)^q=a^{pq} thì ta lại có

    \[\left ( (-1)^{\frac{2}{3}} \right )^{\frac{3}{2}}=(-1)^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=(-1)^1=-1\]

Như vậy, giống như tình huống trên, ta cũng chứng minh được -1=1 😀

    \[-1=(-1)^1=(-1)^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=\left ( (-1)^{\frac{2}{3}} \right )^{\frac{3}{2}}\]

    \[=\left ( \sqrt[3]{(-1)^2} \right )^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt[3]{(-1)^2} \right )^3}=\sqrt{(-1)^2}=1\]

Chứng minh được -1=1 đã giỏi, lại còn bằng hai cách thì quả là giỏi quá xá, há há 😀

Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?

Tóm lại, để tránh những tình huống mâu thuẫn như trên và để lũy thừa với số mũ hữu tỉ có các tính chất như lũy thừa với mũ nguyên thì định nghĩa a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} chỉ áp dụng cho a>0.

3. Bình luận

* “Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?” là một câu hỏi có tính lật ngược vấn đề, đặt được câu hỏi này cho thấy học sinh có tư duy độc lập và phản biện. Một phẩm chất tư duy đáng quý.

* Bài viết chỉ đề cập đến định nghĩa với cơ số âm mà không xét với cơ số bằng 0, bạn có biết tại sao không?

* Chú ý rằng, không chỉ với lũy thừa với số mũ hữu tỉ, tổng quát hơn ta biết rằng định nghĩa lũy thừa với số mũ không nguyên cũng chỉ áp dụng với cơ số dương. Bạn có thể tự giải thích được không?

* Ngoài những tình huống mâu thuẫn như trên, nếu bạn biết một tình huống mâu thuẫn khác, xin hãy chia sẻ nó vào hộp bình luận phía dưới nhé, cảm ơn bạn!



Th11 15, 2016Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Lũy thừa
  • Tại sao

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Phương trình lượng giác khác

Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)

Tại sao nên vẽ đường cao của hình chóp theo phương thẳng đứng?

Cách kết luận cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

  1. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao [↩]
  2. Cũng có tài liệu nhắc đến, đó là sách giáo viên giải tích 12 nâng cao. Nhưng chắc không có học sinh nào lại đi đọc sách giáo viên cả 😀 [↩]
Trang 1 trên 11
Tại sao lũy thừa với số mũ 0 lại bằng 1?Về từ "Cá tính" trong mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể
Comments: 20
  1. Thành Trung
    7 years ago

    “Bài viết chỉ đề cập đến định nghĩa với cơ số âm mà không xét với cơ số bằng 0, bạn có biết tại sao không?” . Thầy có thể giải thích giúp em được không ạ ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Có nhiều tác giả đã viết về vấn đề này. Em hãy Google nhé. Chúc em may mắn!

      ReplyCancel
  2. Ngô Minh Thành
    7 years ago

    Thầy ơi có phải vì với cơ số bằng không thì cho dù lũy thừa có là bao nhiêu đi nữa thì hàm số vẫn luôn = 0 phải không ạ ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Không em ạ, vì nếu chấp nhận tồn tại lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số bằng không thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $$0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$$

      ReplyCancel
      • oleviet
        7 years ago

        Vậy thì vẫn định nghĩa được cho lũy thừa 0^a với a là số mũ hữu tỉ ( và vô tỉ) dương chứ nhỉ?

        ReplyCancel
        • Thapsang.vn
          7 years ago

          Về tổng quát thì chấp nhận mọi định nghĩa miễn biểu thức có nghĩa là được.

          ReplyCancel
  3. minhthang dovu
    7 years ago

    Vậy thì lũy thừa số mũ hữu tỉ với cơ số a<0 được định nghĩa như thế nào ạ? có định nghĩa nào thống nhất chung và giải quyết được mâu thuẫn như hình bên không?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Có, định nghĩa này: $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$ có thể mở rộng với cơ số âm, miễn là căn thức có nghĩa.

      ReplyCancel
  4. Thanh Tâm
    7 years ago

    cái này hay quá ^^
    mà thầy ơi, e bấm máy tính: cơ số âm với số mũ hữu tỉ => nó vẫn cho ra đáp án là sao ạ
    SGK nó chỉ định nghĩa là cơ số phải dương thì mũ hữu tỉ mới tồn tại, đọc bài thầy thì e hiểu dc đôi chút nhưng vẫn chưa rõ lắm ạ

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      7 years ago

      Có thể người viết phần mềm cho máy tính sử dụng định nghĩa lũy thừa tổng quát. Trường hợp tổng quát, người ta chấp nhận cả cơ số âm, miễn là biểu thức có nghĩa.

      ReplyCancel
  5. Khuất Thủy
    3 years ago

    Không biết bạn có cần câu trả lời nữa không nhưng mình vẫn trả lời bạn là máy tính ví dụ khi bạn bấm -2^3 thì nó sẽ giải theo kiểu -1×2^3=-1×8=-8.Bạn thử bấm (-2)^3 đi,nó sẽ không ra kết quả đâu ạ.

    ReplyCancel
    • chấm hỏi
      3 years ago

      vẫn ra -8 kìa

      ReplyCancel
  6. Quyên
    3 years ago

    tại sao không có logarit của số âm ạ?

    ReplyCancel
  7. Thuan
    2 years ago

    cam on vi da giai thich

    ReplyCancel
  8. Bảo
    2 years ago

    Tại sao số mũ k nguyên thì biến phải khác 0 ạ ?

    ReplyCancel
  9. Phương Anh
    2 years ago

    Ủa e tưởng ⁶√(-1)²=|1| chứ ạ

    ReplyCancel
  10. Bách
    2 years ago

    Cảm ơn thầy ạ , cảm ơn vẫn còn những bài viết bổ ích thế này , cũng cảm ơn những dòng bình luận của thầy ạ

    ReplyCancel
  11. Motconvit
    2 years ago

    Cảm ơn thầy ạ !

    ReplyCancel
  12. Nhat Hoang
    2 years ago

    Hy vọng thầy viết về chủ đề này nhiều hơn, đáng tiếc khi những vẫn đề như vậy đã ko được e biết sớm hơn! Hôm nay vô tình thắc mắc nên e mới gg, ko ngờ gặp được web này… Cảm ơn vì những gì thầy đã làm!

    ReplyCancel
  13. Khách
    1 year ago

    Cảm ơn thầy nhiều, bài viết thật bổ ích và giá trị

    ReplyCancel

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

8 years ago 20 Comments Dạy và học toánLũy thừa, Tại sao15,212
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,766 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,511 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
186,567 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,716 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,649 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Education is not the filling of pail, but the lighting of a fire.

— William Butler Yeats
2012 © Thapsang.vn