Lời giải độc đáo

Trong đề thi Tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2013, có một câu hỏi về phương trình mũ. Câu hỏi như sau.

Giải phương trình:

3^{1-x}-3^x+2=0

Đây là một câu hỏi quá quen thuộc với hầu hết các học sinh học lớp 12 cũng như giáo viên. Nên đa số mọi người sẽ đều giải bài toán này theo các cách cũng hết sức thông thường.

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

-{(3^x)}^2 + 2.3^x+3=0

Đặt t=3^x (t>0), ta có

-t^2+2t+3=0\Leftrightarrow t_1 = -1 (ktm), t_2 =3 (tm)

Với t=3\Rightarrow 3^x=2 \Leftrightarrow x=1

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=1

Đây là cách được mọi người hay dùng nhất và cũng là cách được giới thiệu trong Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra, mọi người cũng còn hay dùng cách sau.

Cách 2: Đưa về phương trình tích

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

 -{(3^x)}^2 + 2.3^x+3=0

\Leftrightarrow [1-{(3^x)}^2] + 2.(3^x+1)=0

\Leftrightarrow (3^x+1)(3-3^x)=0

\Leftrightarrow 3^x=3, vì 3^x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}

\Leftrightarrow x=1

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=1

Và đây, cách thứ 3, một cách giải khá độc đáo. Tôi rất bất ngờ với cách giải này của một bạn học sinh, tôi bất ngờ là vì 2 lí do, một là tôi đã chấm gần được 100 bài và cả gần 100 bài đó thì mọi học sinh đều trình bày lời giải theo 1 trong hai cách ở trên, còn lí do thứ hai là vì tôi cũng không nghĩ đến việc có thể giải theo một cách khác nữa. Bạn có thể bắt đầu tò mò: “Cách gì vậy?”

Cách 3: Đạo hàm

Xét hàm số f(x)=3^{1-x}-3^x+2, trên \mathbb{R}.

f'(x)=-(3^{1-x}).\ln 3 - 3^x.\ln 3 < 0, \forall x \in\mathbb{R}

Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên \mathbb{R}. Từ đó suy ra phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm trên \mathbb{R}.

Dễ thấy x=1 là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Một cách giải rất thú vị và bất ngờ phải không?

Tại sao độc đáo?

* Phương trình đã cho thuộc dạng phương trình mẫu mực, hết sức quen thuộc với bất kì thí sinh và giáo viên nào và đã có phương pháp giải đơn giản và rõ ràng cho dạng này. Vì thế việc mọi người không nghĩ đến cách giải khác là điều rất tự nhiên và dễ hiểu, nếu ai đó trình bày bằng một cách giải khác thì đã là một sự khác biệt. [1]

Nhìn ra "cái mới" trên một vấn đề quá quen thuộc, không phải ai cũng làm được điều này, một phẩm chất rất quý!
— Thapsang.vn

* Nhưng bạn học sinh trên không chỉ là khác biệt, bạn này đã dùng phương pháp đạo hàm – một phương pháp rất đặc thù – chỉ dùng để giải những phương trình thuộc dạng “không mẫu mực”. Nên nếu ai đó dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình không mẫu mực thì đó là điều tự nhiên, quen thuộc và không lấy gì là mới mẻ hay bất ngờ. Nhưng nếu dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình mẫu mực thì quả là ít người nghĩ tới.

Chỉ người ngốc mới đồng nhất tính độc đáo sáng tạo với cái phi thường và cái không tưởng; những người khác thì thừa nhận rằng thước đo tính độc đáo sáng tạo nằm ở việc sử dụng điều quen thuộc vào những mục đích mà người khác không nghĩ tới.
— John Dewey

Chú thích

  1. Mục này được bổ sung lúc 21h50 ngày 23/11/2016 []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Tuy nhiên nếu viết phương trình về dạng:

    $$3^{1-x} = 3^x – 2$$

    thì có thể thấy $$f(x) = 3^{1 – x}$$ là hàm nghịch biến và $$g(x) = 3^x – 2$$ là hàm đồng biến. Từ đó chứng minh xong $$x = 1$$ là nghiệm duy nhất.

    • Đúng ạ. Theo cách của thầy thì không cần dùng đến công cụ đạo hàm, mà chỉ cần nhớ tính chất của hàm số mũ: “cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến, lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì nghịch biến”, do đó hàm số vế trái

      $$y=3^{1-x}=3.(\frac{1}{3})^x$$

      là nghịch biến, còn hàm vế phải là đồng biến.

  2. Copy lại bình luận cũ ở bài này của thầy Lê Thống Nhất:

    Tuy nhiên nếu viết phương trình về dạng:

    3^{1−x}=3^x−2

    thì có thể thấy f(x)=3^{1−x} là hàm nghịch biến và g(x)=3^x−2 là hàm đồng biến. Từ đó chứng minh xong x=1 là nghiệm duy nhất.

  3. Vũ Ngọc Hòa says:

    Đây là các bài viết mà các bạn học sinh cũng như giáo viên yêu toán rất cần!
    Xin cảm ơn !

  4. "Chỉ người ngốc mới đồng nhất tính độc đáo sáng tạo với cái phi thường và cái không tưởng; những người khác thì thừa nhận rằng thước đo tính độc đáo sáng tạo nằm ở việc sử dụng điều quen thuộc vào những mục đích mà người khác không nghĩ tới." (John Dewey)

    "Khi Newton suy nghĩ về thuyết lực hấp dẫn, khía cạnh sáng tạo không nằm trong chất liệu của lực hấp dẫn. Các chất liệu đó là điều mà ai cũng biết; rất nhiều chất liệu còn là điều cũ rích: mặt trời, mặt trăng, các tinh cầu, trọng lượng, khoảng cách, khối lượng, bình phương của các con số. Tất cả những chất liệu đó không phải là những ý niệm độc đáo; chúng là những sự thật đã hình thành vững chắc. Tính độc đáo của Newton nằm ở việc những hiểu biết quen thuộc đó đã được 'sử dụng' trong một hoàn cảnh không quen thuộc. Điều này cũng đúng với mọi phát hiện khoa học nổi bật, mọi phát minh lớn, mọi tác phẩm nghệ thuật đáng ngưỡng mộ." (John Dewey)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *