Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Dạy và học toán » Lời giải độc đáo

Lời giải độc đáo

Trong đề thi Tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2013, có một câu hỏi về phương trình mũ. Câu hỏi như sau.

Giải phương trình:

3^{1-x}-3^x+2=0

Đây là một câu hỏi quá quen thuộc với hầu hết các học sinh học lớp 12 cũng như giáo viên. Nên đa số mọi người sẽ đều giải bài toán này theo các cách cũng hết sức thông thường.

  • Cách 1
  • Cách 2
  • Cách 3
  • Tại sao độc đáo

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

-{(3^x)}^2 + 2.3^x+3=0

Đặt t=3^x\ (t>0), ta có

-t^2+2t+3=0\Leftrightarrow t_1 = -1\ (\text{ktm}), t_2 =3\ (\text{tm})

Với t=3\Rightarrow 3^x=2 \Leftrightarrow x=1

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=1

Đây là cách được mọi người hay dùng nhất và cũng là cách được giới thiệu trong Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra, mọi người cũng còn hay dùng cách sau.

Cách 2: Đưa về phương trình tích

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

 -{(3^x)}^2 + 2.3^x+3=0

\Leftrightarrow [1-{(3^x)}^2] + 2.(3^x+1)=0

\Leftrightarrow (3^x+1)(3-3^x)=0

\Leftrightarrow 3^x=3, vì 3^x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}

\Leftrightarrow x=1

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm x=1

Và đây, cách thứ 3, một cách giải khá độc đáo. Tôi rất bất ngờ với cách giải này của một bạn học sinh, tôi bất ngờ là vì 2 lí do, một là tôi đã chấm gần được 100 bài và cả gần 100 bài đó thì mọi học sinh đều trình bày lời giải theo 1 trong hai cách ở trên, còn lí do thứ hai là vì tôi cũng không nghĩ đến việc có thể giải theo một cách khác nữa. Bạn có thể bắt đầu tò mò: “Cách gì vậy?”

Cách 3: Đạo hàm

Xét hàm số f(x)=3^{1-x}-3^x+2, trên \mathbb{R}.

Có f'(x)=-(3^{1-x}).\ln 3 - 3^x.\ln 3 < 0, \forall x \in\mathbb{R}

Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên \mathbb{R}. Từ đó suy ra phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm trên \mathbb{R}.

Dễ thấy x=1 là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Một cách giải rất thú vị và bất ngờ phải không?

Tại sao độc đáo?

* Phương trình đã cho thuộc dạng phương trình mẫu mực, hết sức quen thuộc với bất kì thí sinh và giáo viên nào và đã có phương pháp giải đơn giản và rõ ràng cho dạng này. Vì thế việc mọi người không nghĩ đến cách giải khác là điều rất tự nhiên và dễ hiểu, nếu ai đó trình bày bằng một cách giải khác thì đã là một sự khác biệt.1

“ Nhìn ra "cái mới" trên một vấn đề quá quen thuộc, không phải ai cũng làm được điều này, một phẩm chất rất quý! ”
— Thapsang.vn

* Nhưng bạn học sinh trên không chỉ là khác biệt, bạn này đã dùng phương pháp đạo hàm – một phương pháp rất đặc thù – chỉ dùng để giải những phương trình thuộc dạng “không mẫu mực”. Nên nếu ai đó dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình không mẫu mực thì đó là điều tự nhiên, quen thuộc và không lấy gì là mới mẻ hay bất ngờ. Nhưng nếu dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình mẫu mực thì quả là ít người nghĩ tới.

“ Chỉ người ngốc mới đồng nhất tính độc đáo sáng tạo với cái phi thường và cái không tưởng; những người khác thì thừa nhận rằng thước đo tính độc đáo sáng tạo nằm ở việc sử dụng điều quen thuộc vào những mục đích mà người khác không nghĩ tới. ”
— John Dewey


Th6 9, 2013Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Share
Xem tiếp bài có từ khóa

  • Lời giải độc đáo
  • Đề thi
  • Tốt nghiệp
  • Phương trình mũ

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p4)

"Biết cách làm gì đó" - là mục tiêu kỹ năng hay mục tiêu kiến thức?

Tìm số liền trước

  1. Mục này được bổ sung lúc 21h50 ngày 23/11/2016 [↩]
Trang 1 trên 11
Tính năng "Đã đóng gần đây" và "Đã mở gần đây" trên trình duyệt Chrome và MS Word 2010Yahoo đang đổi thay
Comments: 7
  1. Lê Thống Nhất
    12 years ago

    Tuy nhiên nếu viết phương trình về dạng:

    $$3^{1-x} = 3^x – 2$$

    thì có thể thấy $$f(x) = 3^{1 – x}$$ là hàm nghịch biến và $$g(x) = 3^x – 2$$ là hàm đồng biến. Từ đó chứng minh xong $$x = 1$$ là nghiệm duy nhất.

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      12 years ago

      Đúng ạ. Theo cách của thầy thì không cần dùng đến công cụ đạo hàm, mà chỉ cần nhớ tính chất của hàm số mũ: “cơ số lớn hơn 1 thì đồng biến, lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì nghịch biến”, do đó hàm số vế trái

      $$y=3^{1-x}=3.(\frac{1}{3})^x$$

      là nghịch biến, còn hàm vế phải là đồng biến.

      ReplyCancel
  2. Nguyễn Thế Phúc
    12 years ago

    Copy lại bình luận cũ ở bài này của thầy Lê Thống Nhất:

    Tuy nhiên nếu viết phương trình về dạng:

    3^{1−x}=3^x−2

    thì có thể thấy f(x)=3^{1−x} là hàm nghịch biến và g(x)=3^x−2 là hàm đồng biến. Từ đó chứng minh xong x=1 là nghiệm duy nhất.

    ReplyCancel
  3. Nguyễn Thế Phúc
    12 years ago

    Đúng ạ.

    ReplyCancel
  4. Vũ Ngọc Hòa
    11 years ago

    Đây là các bài viết mà các bạn học sinh cũng như giáo viên yêu toán rất cần!
    Xin cảm ơn !

    ReplyCancel
    • thapsang.vn
      11 years ago

      Cảm ơn bạn đã phản hồi!

      ReplyCancel
  5. Nguyễn Thế Phúc
    9 years ago

    "Chỉ người ngốc mới đồng nhất tính độc đáo sáng tạo với cái phi thường và cái không tưởng; những người khác thì thừa nhận rằng thước đo tính độc đáo sáng tạo nằm ở việc sử dụng điều quen thuộc vào những mục đích mà người khác không nghĩ tới." (John Dewey)

    "Khi Newton suy nghĩ về thuyết lực hấp dẫn, khía cạnh sáng tạo không nằm trong chất liệu của lực hấp dẫn. Các chất liệu đó là điều mà ai cũng biết; rất nhiều chất liệu còn là điều cũ rích: mặt trời, mặt trăng, các tinh cầu, trọng lượng, khoảng cách, khối lượng, bình phương của các con số. Tất cả những chất liệu đó không phải là những ý niệm độc đáo; chúng là những sự thật đã hình thành vững chắc. Tính độc đáo của Newton nằm ở việc những hiểu biết quen thuộc đó đã được 'sử dụng' trong một hoàn cảnh không quen thuộc. Điều này cũng đúng với mọi phát hiện khoa học nổi bật, mọi phát minh lớn, mọi tác phẩm nghệ thuật đáng ngưỡng mộ." (John Dewey)

    ReplyCancel

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

12 years ago 7 Comments Dạy và học toánLời giải độc đáo, Đề thi, Tốt nghiệp, Phương trình mũ1,398
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,445 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,479 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
186,125 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,683 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,598 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Genius is one percent inspiration, ninety-nine percent perspiration.

— Thomas Alva Edison
2012 © Thapsang.vn