Thapsang.vn

  • Trang chủ
  • Công nghệ
    • Phần mềm toán học
    • Tin học văn phòng
  • Giáo dục
    • Dạy và học toán
    • Nghiệp vụ sư phạm
    • Thi vectơ
      • Thông tin chi tiết
        • Thể lệ cuộc thi
        • Danh sách bài dự thi
        • Tài trợ cuộc thi
        • Quảng bá cuộc thi
        • Hỏi đáp về cuộc thi
      • Công tác chấm
        • Ngày chấm đầu tiên
        • Kết quả chấm
      • Công bố giải thưởng
      • Hình ảnh buổi lễ trao giải
      • Thư cảm ơn
        • của người giành Giải Nhất
        • của Ban tổ chức
      • Các lời giải tiêu biểu
    • Làm toán
  • Thư viện
  • Giới thiệu
    • Hợp tác
    • Liên hệ
  • Tải xuống
  • Sitemap
Home » Làm toán » Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số

Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số

Mình mới đọc một bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân và giải nó thì thấy hay hay, nên ghi lại để các bạn cùng SOI và MỔ (Mà MỔ rồi mới SOI cũng được, đừng liên tưởng tới ngành y nhé)

Nội dung nổi bật: Khai thác tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và cấp số nhân để giải toán. Bài viết phù hợp với các bạn học sinh lớp 11 trở lên. Nếu bạn chưa biết cấp số cộng, cấp số nhân là gì thì nên … Google rồi mới đọc tiếp 🙂

Tính chất của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số

Tính chất của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số

  1. Đề bài
  2. Phân tích
  3. Lời giải
  4. Đào sâu, nghĩ lâu 😀
  5. Cách khác

Bài toán của chúng ta như sau:

1. Bài toán

Cho 4 số nguyên dương, trong đó 3 số đầu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, 3 số sau lập thành một cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng 2 số hạng giữa là 36. Tìm 4 số đó?

2. Phân tích

* Chúng ta cần tìm 4 số, một cách tự nhiên, cần tìm gì thì gọi đấy (một bài học mà các “sư phụ” vẫn dạy chúng ta khi còn ở … “Võ đường THCS”) 😀 . Giả sử a, b, c, d theo thứ tự là 4 số cần tìm. Giờ từ giả thiết, chúng ta cần thiết lập các phương trình quan hệ giữa chúng.

* Theo giả thiết

– vì 3 số hạng đầu là một cấp số cộng nên a + c = 2b1

– vì 3 số hạng sau là một cấp số nhân nên b.d = c^22

– vì tổng số hạng đầu và cuối là 37 nên a + d = 37

– vì tổng 2 số hạng giữa là 36 nên b + c = 36

* Từ đó ta có hệ 4 phương trình, 4 ẩn:

\begin{cases}a+c=2b & (1) \\ b.d=c^2 & (2) \\ a + d = 37 & (3) \\ b + c = 36 & (4)\end{cases}

* Làm thế nào để giải hệ này? Thoạt nhìn, trông cũng hơi “lằng nhằng”. Hãy bình tĩnh 🙂 , bình tĩnh thì mới nhớ được nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn là phải tìm từng ẩn một. Muốn thế, phải chọn một ẩn và biểu diễn các ẩn còn lại về ẩn đã chọn. Vậy, chúng ta chọn ẩn nào? Ẩn a hay b hay c hay d?

* Chọn ẩn nào thì cũng đều ra kết quả cả, tuy nhiên sự khác biệt là ở độ phức tạp và khối lượng tính toán. (“Mọi con đường đều dẫn đến thành Rome”, tuy nhiên có những con đường thẳng và cũng có những con đường … cong. Nhưng chắc chắn sẽ không có con đường … “cong Trường Chinh”) 😀 .

– Nếu bạn chọn ẩn a, b hay d thì phải sẽ phải rút c theo chúng và khi thay vào phương trình (2) bạn sẽ phải thực hiện phép nhân ở vế trái và cả phép bình phương ở phải.

– Nhưng, nếu bạn chọn c và rút ba ẩn còn lại theo c thì khi thay vào phương trình (2), bạn chỉ cần thực hiện phép nhân ở vế trái mà thôi!! (giảm khối lượng công việc phải làm, tiết kiệm được không nhỏ: thời gian + sức lực + giấy + mực, thông minh nhờ) 😀

* Từ (4) suy ra b=36-c, thay vào (1) có a + c = 2(36 - c) \Rightarrow a = 72-3c, thay tiếp vào (3) có d=3c-35

* Thay b,d vào (2) ta được

(36-c)(3c-35)=c^2 \Leftrightarrow 4c^2-143c+1260=0 \Leftrightarrow c=20 \vee c=\frac{63}{4}

* Từ đó tìm được b,a và d

* Kết luận: 4 số cần tìm là 12;16;20;25 hoặc \frac{99}{4},\frac{81}{4},\frac{63}{4},\frac{49}{4}

3. Lời giải

* Giả sử a, b, c, d theo thứ tự là 4 số cần tìm

* Theo giả thiết ta có

\begin{cases}a+c=2b & (1) \\ b.d=c^2 & (2) \\ a + d = 37 & (3) \\ b + c = 36 & (4)\end{cases}

* Từ (4) suy ra b=36-c, thay vào (1) có a + c = 2(36 - c) \Rightarrow a = 72-3c, thay tiếp vào (3) có d=3c-35

* Thay b,d vào (2) ta được

(36-c)(3c-35)=c^2 \Leftrightarrow 4c^2-143c+1260=0 \Leftrightarrow c=20 \vee c=\frac{63}{4}

* Với c=20 \Rightarrow b = 16, a=12, d=25

* Với c=\frac{63}{4} \Rightarrow b = \frac{81}{4}, a=\frac{99}{4}, d=\frac{49}{4}

* Vậy, 4 số cần tìm là: 12;16;20;25 hoặc \frac{99}{4},\frac{81}{4},\frac{63}{4},\frac{49}{4}

4. Đào sâu, nghĩ lâu 😀

* Vì 3 số hạng liên tiếp của một cấp số luôn được biểu diễn theo một phương trình, nên nếu biết 2 trong ba số thì sẽ xác định được số còn lại. Chẳng hạn

– nếu a và b là số thứ nhất và số thứ hai của một cấp số cộng thì số thứ ba là 2b - a

– nếu x và y là số thứ nhất và số thứ hai của một cấp số nhân thì số thứ ba là \frac{y^2}{x} (x\ne 0)

* Như vậy, với một cấp số có 3 số hạng thì “chỉ cần biết 2 số hạng là đủ” (Chỉ 2 là đủ – câu này quen quen … “Dù gái hai trai, chỉ 2 là đủ” 😀 ). Do đó, ta có thể trình bày cách giải bài toán trên theo một cách khác.

5. Cách khác

Thay vì gọi 4 ẩn cho 4 số cần tìm, ta chỉ cần gọi 2 ẩn cho 2 số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân thì 2 số hạng còn lại sẽ được biểu diễn theo chúng. Cụ thể

* Giả sử a và b là số hạng thứ nhất và thứ hai cần tìm.3

* Do 3 số hạng đầu là cấp số cộng nên số hạng thứ ba là: 2b-a

* Mà 3 số hạng cuối là một cấp số nhân nên số hạng thứ tư là: \frac{(2b-a)^2}{b} (b\ne 0) (Chú ý: b\ne 0 vì nếu b=0 thì 3 số hạng của cấp nhân phải là 0;0;0. Vô lí, vì tổng hai số hạng giữa phải bằng 36)

* Vậy 4 số cần tìm có dạng: a;b;2b-a;\frac{(2b-a)^2}{b}

* Theo giả thiết ta có

\begin{cases}a+ \frac{(2b-a)^2}{b} = 37 \\ b + (2b-a) = 36\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4b^2-145b+1296=0 \\ a = 3b- 36\end{cases}

* Từ hệ này tìm được b,a và 2 số hạng còn lại!

Bình luận: Cách này “gọn gàng” đấy chứ, bạn có nghĩ như vậy không?

Nếu bạn có một cách giải khác nữa thì chia sẻ với minh nhé, hãy gõ nó vào hộp bình luận dưới đây. Cảm ơn bạn!



Th4 22, 2014Thapsang.vn
Bài hay?Viết bình luận

Xem tiếp bài có từ khóa

  • Lớp 11
  • Cấp số cộng
  • Cấp số nhân
  • Hệ phương trình

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Cách tính nhẩm số tổ hợp

Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa

Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa (Kì 2)

  1. Tính chất đặc trưng của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng: Số hạng đứng giữa bằng trung bình cộng của số đứng trước và số đứng sau. [↩]
  2. Tính chất đặc trưng của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân: Giá trị tuyệt đối của số hạng đứng giữa bằng trung bình nhân của số đứng trước và đứng sau [↩]
  3. Phần này được cập nhật lại ngày 23/04/2014. Bản đầu tiên mình giả sử c và d là hai số hạng thứ ba và thứ tư dẫn đến lời giải hơi rắc rối 🙂 [↩]
Trang 1 trên 11
Tìm nguyên hàm bằng cách phân tích nghịch đảo của một tích thành tổng các nghịch đảoSúng bắn tốc độ và khái niệm đạo hàm
Comments: 8
  1. Phan Nhật Long
    11 years ago

    cam on ban rat nhieu

    ReplyCancel
  2. Tuyet Tran
    10 years ago

    thanks

    ReplyCancel
  3. Ngọc linh
    10 years ago

    Hỏi thầy một chút kiến thưcs ko liên quan đến bài viết này mong thầy giải đáp giúp: tai sao bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 khi đặt x=tant thường lấy t€(-pi/2;pi/2),còn đặt x=sint thường lấy t€ đoạn -pi/2;pi/2.cám ơn thâd rất nhiều!

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      10 years ago

      Thật không dễ để giải thích cho học sinh hiểu vấn đề này một cách hợp lý và dễ hiểu.

      Mình nghĩ bạn có thể giải thích cho học sinh của bạn như sau:

      1) Nguyên tắc chung

      Em đã biết, khi cho một hàm số y = f(x) (1) thì phải tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.

      Giống như vậy, khi em đặt x = f(t) (2) là thì đồng nghĩa với việc em đã xem “x có vai trò như y” và “t như x” trong (1) nên em cần tìm điều kiện của t để f(t) có nghĩa.

      Ngoài ra, nếu bài toán yêu cầu x phải thuộc một tập G cho trước thì em còn phải tìm thêm điều kiện của t để đảm bảo “f(t) thuộc G”.

      2) Vận dụng vào phép đổi biến dạng 1

      * Do hàm số tan(t) xác định trên các khoảng (-pi/2;pi/2), (pi/2; 3*pi/2), … nên khi đặt x = tan(t) thì ta lấy t thuộc 1 trong các khoảng đó.

      Chọn khoảng nào cũng được, tuy nhiên khoảng (-pi/2;pi/2) là lựa chọn hợp lý hơn cả. Vì khoảng này vừa thể hiện được tính “lẻ” của hàm tan(t) mà lại “dễ nhớ” (số đẹp 😀 ).

      Nếu bài toán có điều kiện của x thì phải tìm thêm điều kiện của t để tan(t) thỏa điều kiện của x. Khi đó, có thể điều kiện của t không phải là thuộc khoảng (-pi/2;pi/2) nữa.

      * Hàm số sin(t) xác định với mọi t thuộc R nên không cần tìm t để sin(t) có nghĩa mà chỉ cần lấy t sao cho sin(t) thuộc miền G của x là được.

      Thông thường trong các bài toán tích phân thì G là đoạn [-1;1] nên ta chọn t sao cho sin(t) thuộc [-1;1]. Có thể chọn t thuộc các đoạn [-pi/2; pi/2] hoặc [pi/2; 3*pi/2],… Nhưng giống như hàm tan(t), sin(t) cũng là hàm số lẻ nên ta chọn đoạn [-pi/2; pi/2].

      3) Kết luận

      Còn muốn giải thích ngắn hơn nữa thì có thể cô đọng là 3 lí do: Tính xác định, Hàm số lẻ và Số đẹp 😀

      * Đặt x = tan(t) thì lấy t thuộc (-pi/2; pi/2) là vì khoảng (-pi/2; pi/2) vừa làm tan(t) có nghĩa, vừa thể hiện tính lẻ của tan(t) mà lại “đẹp số” 😀

      * Đặt x = sin(t) thì lấy t thuộc [-pi/2; pi/2] là vì đoạn [-pi/2; pi/2] vừa làm sin(t) có nghĩa, vừa thể hiện tính lẻ của sin(t) mà lại “đẹp số”

      Chúc bạn vui vẻ!

      ReplyCancel
  4. đỗ minh toàn
    10 years ago

    dạ cho e hỏi tị ạ, ba số a,b,c lập thành cấp số cộng thì ta có điều gì vậy ?

    ReplyCancel
    • Thapsang.vn
      10 years ago

      Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì ta sẽ có $$a+c = 2b$$, ngược lại cũng đúng em ạ.

      ReplyCancel
  5. Quynh Anh
    8 years ago

    Hay ạ.cám ơn add nhiều.

    ReplyCancel
  6. An
    3 months ago

    đề là lấy số nguyên dương nên chỉ lấy 12,16 ,20,25 đúng ko ạ

    ReplyCancel

Để lại một bình luận Hủy

Thapsang.vn

Chào bạn, Thapsang.vn – nơi chia sẻ các thông tin, kiến thức bổ ích về giáo dục và công nghệ, hoạt động từ 10/2012 đến nay. Hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

11 years ago 8 Comments Làm toánLớp 11, Cấp số cộng, Cấp số nhân, Hệ phương trình21,625
Series nổi bật
  • _Tool for Teaching Logbook
  • _Tool for Google Admin
  • _Tool for Google Forms 1905
  • Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Cách tính logarit
  • Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách
Bài viết gần đây
  • Bảo vệ: Các hành vi, biểu hiện cụ thể của phẩm chất Chăm chỉ 29/11/2023
  • Chương trình trải nghiệm vùng mù của lái xe ô tô hạng nhỏ 23/05/2023
  • 3 cách đính kèm file trong gmail 23/04/2023
Bình luận gần đây
  • Khách trong Cách tính nhẩm số tổ hợp
  • Vũ trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
  • An trong Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số
  • Khách trong Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Chuyên mục
  • Công nghệ (27)
  • Dạy và học toán (31)
  • Giáo dục (14)
  • Google Workspace (13)
  • Làm toán (13)
  • Lập trình (2)
  • Nghiệp vụ sư phạm (4)
  • Phần mềm toán học (5)
  • Sai lầm thường gặp (3)
  • Thi giải toán vectơ (12)
  • Thi THPT Quốc Gia 2019 (7)
  • Thi vào 10 (2)
  • Tin học văn phòng (13)
  • Tool for Google Admin (3)
  • Tool for Google Forms 1905 (3)
Tags
Lớp 12Google Apps ScriptMS WordThi THPT Quốc Gia 2019Khẩu quyếtMS Word 2010Cách phân tíchTình huống có vấn đềLớp 11LogaritSai lầm thường gặpChuyển đổi sốChromePhổ điểm thiSo sánh đề thi 2013 với 2012Môn ToánGmailKhối AGoogle classroomSMASGgAdmin1Lũy thừawindowsQuy tắc tính logaritLuyện thi Đại học - Cao đẳngPhương trình mũGTLNShutdown TimerGTNNThi THPT Quốc Gia 2018Tại saoCách gõ công thức toánKỹ thuật mở bàiCách vào bàiDẫn nhậpGợi động cơMục tiêu giáo dụcGVCNTop điểm 10Microsoft MathematicsCách vẽ hìnhMicrosoft ExcelOffice 365Cách tính nhẩmGoogle forms
Tra cứu
Quyên góp

Thapsang.vn cần sự ủng hộ của bạn để hoạt động. Cảm ơn bạn!

About

Thapsang.vn – trang web về giáo dục và công nghệ.

Tất cả nội dung trên Thapsang.vn đều thuộc sở hữu của tác giả. Mọi hoạt động đăng tải, tái bản, sao chép một phần hay toàn bộ bài viết, hình ảnh, video,… mà không có sự đồng ý của Thapsang bằng văn bản đều là bất hợp pháp.

Xem chi tiết.

Bài nhiều bình luận
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
208 Comments
Phát wifi từ Laptop Windows 7
89 Comments
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
46 Comments
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
45 Comments
Hỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
45 Comments
Bài nhiều người đọc
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
Từ trục tung, trục hoành đến tung và hoành
217,320 views
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
189,463 views
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác
185,933 views
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
142,672 views
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
Cách xác định hướng của tích vectơ (Tích có hướng)
119,579 views
Nhận tin qua email

Đăng ký nhận bản tin của chúng tôi để nhận tin tức và sự kiện mới nhất.

follow us
Lời hay ý đẹp

Real education will be to bring out what is hidden in you-what God has put in you as a treasure-to discover it, to reveal it, to make you luminous.

— Osho
2012 © Thapsang.vn