Trang này dành giải đáp thắc mắc của các bạn về cách tính một logarit theo logarit đã cho. Ở các bài viết:
[latexpage]
- Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)
- Cách tính một logarit theo các logarit đã cho
Các câu hỏi:
- Q1: Bởi bạn tiên-học-toán
- Q2: Bởi bạn Long Phạm
- Q3: Bởi bạn Bảo trần
- Q4: Bởi bạn Khanhnguyen
- Q5: Bởi bạn Hddh
Q1: Bởi bạn tiên học toán
Câu hỏi: Cho $a=\log_{5}{18}; b=\log_{5}{60}$. Hãy biểu diễn $\log_{3}{2}$ theo $a$ và $b$.
Nguồn: Bình luận trên Thapsang.vn tại đây
Đáp:
* $\log_{5}{60}=\log_{5}{(5.12)}=1+\log_{5}{12}\Rightarrow \log_{5}{12}=b-1$
* $\log_{3}{2}=\frac{\log_5 2}{\log_5 3}$
* Tính $\log_5 2$ theo $\log_{5}{18},\log_{5}{12}$
– Giả sử tồn tại ba số $m,n,p$ sao cho $2=5^m.18^n.12^p\Leftrightarrow 2=2^{n+2p}.3^{2n+p}.5^m$
– Vì 2, 3 và 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên
$\begin{cases}n+2p=1 \\ 2n+p=0 \\ m =0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=0\\n=-\frac{1}{3}\\ p=\frac{2}{3}\end{cases}$
– Do đó $\log_{5}{2}=\log_5{(18^\frac{-1}{3}.12^\frac{2}{3})}=-\frac{1}{3}\log_{5}{18}+\frac{2}{3}\log_{5}{12}=-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}$
* Tương tự, tính $\log_5 3$ theo $\log_{5}{18},\log_{5}{12}$. Bạn $\log_5{3}=\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}$
* Kết quả: $\log_3 2 = \frac{-a+2b-2}{2a-b+2}$
Q2: Bởi bạn Long Phạm
Câu hỏi: Cho $a=\log_{12}{2}$. Tính $\log_{27}{12}$ theo $a$
Nguồn: Bình luận trên Thapsang.vn tại đây
Đáp:
* Ta có $\log_{27}{12}=\frac{1}{\log_{12}{27}}=\frac{1}{3\log_{12}{3}}$
* Bài toán trở thành: Tính $\log_{12}{3}$ theo $\log_{12}{2}$
– Giả sử tồn tại hai số $m,n$ sao cho $3=12^m.2^n \Leftrightarrow 3=3^m.2^{n+2m}$
– Vì 2 và 3 là các số nguyên tố cùng nhau nên
$\begin{cases}m=1 \\ n+2m = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=1 \\ n = -2\end{cases}$
– Do đó $\log_{12}{3}=\log_{12}{(12^1.2^{-2})}=1-2\log_{12}{2}=1-2a$
* Vậy $\log_{27}{12}=\frac{1}{3(1-2a)}$
Bình luận: Bạn có thể tính $\log_{12}{3}$ theo $\log_{12}{2}$ nhanh hơn, như sau
$\log_{12}{3}=\log_{12}{\frac{12}{4}}=\log_{12}{12}-\log_{12}{4}=1-2\log_{12}{2}=1-2a$
Q3: Bởi bạn Bảo Trần
Câu hỏi: Tính $\log_{49}{16}$ theo $a=\log_{14}{28}$.
Nguồn: Bình luận trên Thapsang.vn tại đây
Đáp:
* Trước tiên ta sẽ đơn giản các logarit và cố gắng đưa chúng về cùng một cơ số, ta có
$\log_{49}{16} = 2\log_{7}{2}, \log_{14}{28}=\log_{14}{2}+1$
* Nhận thấy hai logarit $\log_{7}{2}$ và $\log_{14}{2}$ đều có thể đưa về cơ số 2, thật vậy
$\log_{7}{2} = \frac{1}{\log_{2}{7}}$ và $\log_{14}{2}=\frac{1}{\log_{2}{14}} = \frac{1}{1+\log_{2}{7}}$
* Từ đó suy ra
$\log_{49}{16}=\frac{2}{\log_{2}{7}}$ và $a = 1+ \frac{1}{1+\log_{2}{7}}\Leftrightarrow \log_2{7}=\frac{2-a}{a-1}$
Do đó, $\log_{49}{16}= \frac{2(a-1)}{2-a}$
