Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa

Bạn đã từng băn khoăn rằng nên chọn cơ số nào khi giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá? Hoặc bạn đã từng thắc mắc tại sao người ta lại logarit hoá hai vế của phương trình với cơ số này mà không phải là cơ số kia? Bài viết này chúng ta cùng đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đó, qua một số ví dụ tiêu biểu.

Bài viết phù hợp với các bạn đã và đang là học sinh lớp 12 và muốn tìm hiểu tường tận, tỉ mỉ về câu hỏi trên. Nếu bạn thấy không cần thiết phải tìm hiểu tỉ mỉ đến mức cầu kì thì bạn không nên đọc tiếp. Chúc bạn vui vẻ, cảm ơn bạn đã đọc dòng này. 😀

  1. Ví dụ
  2. Cách chọn cơ số
  3. Bình luận

Để tập trung vào câu hỏi chính, bài viết không phân tích lí do tại sao có thể giải các ví dụ dưới đây bằng phương pháp logarit hóa, mà thừa nhận đó là việc bạn đã biết. Bài viết sẽ đi sâu phân tích để làm rõ “Chọn cơ số nào và tại sao?”, qua đó bài viết cũng chia sẻ với bạn một số kinh nghiệm về cách “Giải một bài toán như thế nào?” [1]. Do đó bài viết cũng có ích cho các bạn là sinh viên sư phạm và giáo viên dạy Toán phổ thông. Sau đây là phần 1 của bài viết.

1. Ví dụ

Giải phương trình:

    \[2^{3^x} = 3^{2^x}\]

Phân tích

* Vì vai trò của số 2 và số 3 ở hai vế của phương trình là như nhau [2] nên nếu lấy logarit hai vế với cơ số 2 hay 3 thì các bước giải của bài toán cũng sẽ tương tự như nhau.

* Nếu các bước giải là như nhau thì chọn cơ số nào sẽ phụ thuộc vào việc cơ số đó có giúp cho các biến đổi, tính toán được thuận lợi hơn hay phức tạp hơn. Nhưng để biết được việc biến đổi, tính toán là thuận lợi hay phức tạp thì không có cách nào khác là … “just do”. 😀 Cũng giống như để biết lý thuyết nào đó có phù hợp với thực tế thì không có cách nào khác là phải đem ra áp dụng.

BướcBiến đổiLG1: Logarit hóa theo cơ số 2LG2: Logarit hóa theo cơ số 3

    \[2^{3^x} = 3^{2^x}\]

    \[2^{3^x} = 3^{2^x}\]

1. Lấy logarit 2 vế1

    \[\Leftrightarrow \log_{2}{\left (2^{3^x}\right )}=\log_{2}{\left (3^{2^x}\right )}\]

    \[\Leftrightarrow \log_{3}{\left (2^{3^x}\right )}=\log_{3}{\left (3^{2^x}\right )}\]

2. Rút gọn2

    \[\Leftrightarrow 3^x.\log_{2}{2}=2^x.\log_{2}{3}\]

    \[\Leftrightarrow 3^x.\log_{3}{2}=2^x.\log_{3}{3}\]

3

    \[\Leftrightarrow \left (\frac{3}{2}\right )^x = \log_{2}{3}\]

    \[\Leftrightarrow \left (\frac{3}{2}\right )^x \log_{3}{2}=1\]

4

    \[\Leftrightarrow \left (\frac{3}{2}\right )^x = \frac{1}{\log_{3}{2}}\]

3. Kết quả

    \[\Leftrightarrow x = \log_{\frac{3}{2}}\left (\log_{2}{3}\right )\]

    \[\Leftrightarrow x = \log_{\frac{3}{2}}\left (\frac{1}{\log_{3}{2}}\right )\]

* Bỏ qua “hình thù” khác nhau của đáp số thì lời giải với cơ số 2 (LG1) cần 3 lần biến đổi, còn lời giải với cơ số 3 (LG2) cần 4 lần biến đổi. LG1 ngắn hơn và LG2 dài hơn.

* Điều gì khiến cho LG2 dài hơn? Nguyên do là sau khi thực hiện biến đổi thứ 3 thì vế trái của LG2 vẫn còn hệ số là \log_{3}{2}, trong khi đó ở LG1 thì hệ số của vế trái là bằng 1. Hệ số của vế trái ở LG1 bằng 1 là vì ta lấy logarit hai vế với cơ số 2 – là cơ số của vế trái. Như vậy, lời giải sẽ ngắn hơn nếu ta lấy logarit hai vế với cơ số là cơ số của vế trái.

2. Bài học về logarit hóa

Lấy logarit hai vế với cơ số nào? Tại sao?

Lấy logarit hai vế với cơ số nào? Tại sao?

* Trong trường hợp việc lấy logarit hai vế theo 1 trong 2 số là ngang nhau, tức các bước giải như nhau, thì việc chọn cơ số là cơ số của vế trái sẽ cho chúng ta lời giải ngắn gọn hơn, số lượng biến đổi ít hơn.

* Do đó, nếu người ta viết phương trình 2^{3^x}=3^{2^x} thành 3^{2^x}=2^{3^x} thì bạn biết nên lấy logarit hai vế với cơ số nào rồi chứ?

3. Bình luận

* LG1 và LG2 ở trên cho thấy việc lấy logarit hai vế theo các cơ số khác nhau có thể khiến đáp số có “hình thù” khác nhau, dù vậy thì “tuy 2 nhưng vẫn chỉ là 1” mà thôi. Cụ thể, ta có thể biến đổi kết quả ở LG2 thành kết quả ở LG1, vì \frac{1}{\log_{3}{2}}=\log_{2}{3}. Vì thế, nếu một người logarit hóa bằng cơ số này ra một đáp số, một người logarit hóa bằng cơ số kia lại ra một đáp số khác thì cũng đừng vội quy kết ai sai ai đúng 😀

* Nếu đáp số không phụ thuộc vào việc lấy logarit cơ số: 2 hay 3 thì liệu nó cũng sẽ không phụ thuộc vào việc lấy một cơ số là một số khác cả 2 và 3 hay không? Hay có thể giải bài toán trên bằng cách logarit hóa hai vế với một cơ số bất kì [3] không? Bạn có thể trả lời được câu hỏi này không? Hãy thử xem sao nhé! Còn dưới đây, mình thử với một cơ số khác, một cơ số rất quen thuộc. Cơ số tự nhiên: e.

* Lấy logarit hai vế với cơ số tự nhiên e thì ta cũng thu được kết quả. Cụ thể:

    \[2^{3^x}=3^{2^x}\]

    \[\Leftrightarrow \ln{2^{3^x}}=\ln{3^{2^x}}\]

    \[\Leftrightarrow 3^x\ln{2} = 2^x\ln{3}\]

    \[\Leftrightarrow \left (\frac{3}{2} \right )^x = \frac{\ln{3}}{\ln{2}}\]

    \[\Leftrightarrow x=\log_{\frac{3}{2}}{\left (\frac{\ln{3}}{\ln{2}}\right )}\]

Một lời giải cũng khá thú vị phải không? Và trên thực tế, người ta lại thường lấy logarit hai vế theo cơ số e hoặc 10. Bạn có biết tại sao không? Hãy chia sẻ hiểu biết của bạn vào hộp bình luận phía dưới nhé. 🙂

Hết phần 1, mời bạn đón đọc phần 2 của bài viết. Hãy đăng kí nhận tin hoặc like fanpage để nhận được thông báo khi có phần tiếp theo nhé.

Những điều lớn lao được tạo nên từ nhiều điều nhỏ nhặt.
— Vincent Van Gogh

Chú thích

  1. Tên một cuốn sách nổi tiếng G. Polya []
  2. Nếu đổi vị trí của 2 và 3 cho nhau thì phương trình không thay đổi. Có thể xem đây là phương trình đối xứng với cơ số 2 và 3 []
  3. Ở đây cơ số phải dương và khác 1 rồi nhé. []
Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Giỗ Tổ? Mình không có bánh trưng 2,5 tấn. Cũng chẳng hương, chẳng hoa, chẳng quả, chẳng xôi, chẳng thịt, chẳng rượu, chẳng trà. Chỉ có phần 2 chuẩn bị xuất bản thôi. :))

  2. Lê Đức says:

    lấy logarit cơ số 2 và 3 là như nhau thôi bạn ơi. từ bước 2-3 ở LG1 bạn viết (3/2 )^x=loga cơ số 2 của 3, thì ở LG2 bạn phải viết là (2/3)^x=loga cơ số 3 của 2 chứ! Sao dài hơn được 😀

    • Ở bước 3 thì LG1 đã có dạng cơ bản $$a^x = b$$ rồi, trong khi LG2 phải thực hiện 1 biến đổi nữa (bước 4) mới về được dạng cơ bản $$a^x = b$$ bạn ạ.

  3. Tuấn Duy says:

    em thấy lấy log2 hay log3 đều như nhau nếu lấy log2 thì bước 3 chia cả 2 vế cho 2^x còn lấy log3 thì chia cả 2 vế cho 3^x sẽ cho 2 cách có số bước bằng nhau

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *