Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa (Kì 2)

Bạn đang đọc phần 2 của loạt bài viết “Cách chọn cơ số trong phương pháp logarit hóa”. Nếu bạn chưa đọc phần 1, mời bạn đọc phần 1 xong đã.

Ví dụ
Cách chọn cơ số
Ứng dụng
Bình luận
Hình thức và bản chất

Ở phần 1 chúng ta đã rút được kinh nghiệm rằng: Khi việc lấy logarit hai vế theo 1 trong 2 số là như nhau thì việc chọn cơ số là cơ số của vế trái sẽ cho chúng ta lời giải gọn hơn. Tuy nhiên, các cơ số trong phương trình mũ không phải lúc nào cũng có vai trò như nhau. Khi đó việc chọn cơ số sẽ căn cứ vào đâu?

Hãy xét ví dụ sau:

1. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình:

$5^{x}.3^{x^2}=15$

Phân tích

* Rõ ràng hai cơ số 5 và 3 là không như nhau, vì khi đổi chỗ chúng cho nhau thì phương trình cũng thay đổi. Sự không như nhau là do mũ của hai lũy thừa không như nhau, một cái là biểu thức bậc nhất của $x$ còn cái kia là biểu thức bậc hai của $x$ .

* Phát biểu bài toán một cách chính xác là chúng ta có một phương trình mũ mà các mũ lại là các biểu thức không đồng bậc của $x$ . Và vấn đề là với một phương trình mũ như thế thì ta nên lấy logarit hai vế theo cơ số nào? Theo cơ số của lũy thừa với mũ bậc thấp hay cơ số của lũy thừa với mũ bậc cao?

* Lũy thừa với mũ bậc thấp là $5^x$ với cơ số là 5, còn lũy thừa với mũ bậc cao là $3^{x^2}$ với cơ số là 3. Hãy xem xét từng khả năng một.

BĐ	Logarit hóa theo cơ số của lũy thừa với mũ bậc thấp LG1	Logarit hóa theo cơ số của lũy thừa với mũ bậc cao LG2
	$5^{x}.3^{x^2}=15$	$5^{x}.3^{x^2}=15$
1	$\Leftrightarrow \log_{5}{\left (5^{x}.3^{x^2}\right )}=\log_{5}{\left (15\right )}$	$\Leftrightarrow \log_{3}{\left (5^{x}.3^{x^2}\right )}=\log_{3}{\left (15\right )}$
2	$\Leftrightarrow \log_5{5^x}+\log_5{3^{x^2}}=\log_5{5}+\log_5{3}$	$\Leftrightarrow \log_3{5^x}+\log_3{3^{x^2}}=\log_3{5}+\log_3{3}$
3	$\Leftrightarrow x+x^2.\log_5{3}=1+\log_5{3}$	$\Leftrightarrow x.\log_3{5}+x^2=\log_3{5}+1$
4	$x^2.\log_5{3}+x-1-\log_5{3}=0$	$\Leftrightarrow x^2+x.\log_3{5}-1-\log_3{5}=0$
5	$\Leftrightarrow x = 1 \vee x=\frac{-1-\log_5{3}}{\log_5{3}}$	$\Leftrightarrow x = 1 \vee x = -1-\log_3{5}$

* Dễ thấy rằng hai hướng giải là khá tương đương, cả hai đều dẫn về một phương trình bậc hai và sự khác biệt chỉ bắt đầu ở biến đổi thứ 4. Trong khi phương trình ở LG1 có hệ số đi kèm với $x^2$ là $\log_{5}{3}$ còn ở LG2 lại là 1, điều này dẫn đến công thức nghiệm của LG1 có phân số “cồng kềnh” còn công thức nghiệm của LG2 thì lại gọn hơn. 🙂

* Nhưng hệ số đi kèm với $x^2$ bằng 1 lại là do ta lấy logarit hai vế theo cơ số là cơ số của lũy thừa với mũ bậc cao: $x^2$ . Từ đây, ta rút ra kinh nghiệm chọn cơ số khi logarit hóa hai vế của phương trình mũ với các mũ là biểu thức không đồng bậc của $x$ .

2. Bài học về logarit hóa

Logarit hóa hai vế của phương trình theo cơ số nào? Theo cơ số của lũy thừa với mũ bậc thấp hay cơ số của lũy thừa với mũ bậc cao?

Khi lấy logarit hai vế của phương trình với các mũ không đồng bậc thì ta nên chọn cơ số là cơ số của lũy thừa có mũ bậc cao hơn. Khi đó sẽ thu được kết quả với công thức nghiệm gọn hơn.

Hiểu như thế, bạn sẽ biết ngay cần logarit hóa hai vế của phương trình

$3^{x-1}.2^{x^2}=8.4^{x-2}$

theo cơ số nào: 3 hay 2 hay 4?1

Nhưng với phương trình sau đây thì sao?

3. Ứng dụng

Ví dụ 2. Giải phương trình:

$5^x.8^{\frac{x-1}{x}}=500$

Phân tích

* Bạn sẽ không trả lời ngay được là nên lấy logarit hai vế với cơ số nào: 5 hay 8 và tại sao phải không? Hiển nhiên rồi, vì phương trình bây giờ đã khác so với phương trình trước:

Trước	Bây giờ
$5^{x}.3^{x^2}=15$	$5^x.8^{\frac{x-1}{x}}=500$

– Nếu mũ của các lũy thừa trong phương trình trước là các đa thức của biến $x$ thì ở ví dụ này mũ của các lũy thừa lại có cả đa thức lẫn phân thức của $x$ .

– Trong phương trình trước, vì các mũ đều là các đa thức của $x$ nên ta có thể dễ dàng so sánh bậc của chúng với nhau từ đó lấy logarit hai vế với cơ số của lũy thừa có mũ bậc cao hơn. Nhưng bây giờ, một lũy thừa với mũ là đa thức bậc nhất của $x$ còn lũy thừa kia lại có mũ là phân thức $\frac{x-1}{x}$ của $x$ . Làm thế nào so sánh bậc của một đa thức với bậc của phân thức đây? Nếu không so sánh được thì không biết mũ nào có bậc cao hơn. Nếu không biết mũ nào có bậc cao hơn thì ta không biết được là nên lấy logarit hai vế theo cơ số của lũy thừa nào.

* Mấu chốt của bài toán bây giờ là trả lời câu hỏi: Trong 2 lũy thừa: $5^x$ và $8^{\frac{x-1}{x}}$ , lũy thừa nào có mũ bậc cao hơn?

– Bạn sẽ vẫn lúng túng phải không? $x$ là một đơn thức còn $\frac{x-1}{x}$ là một phân thức, làm sao có thể so bậc một đơn thức với một phân thức được?

– Hãy bình tĩnh, hãy nhớ lại xem, chúng ta đã từng có kinh nghiệm tương tự nào khi so sánh 2 đại lượng như vậy: Một phân thức và một đơn thức? “Không, mình chả nhớ được kinh nghiệm nào cả” 😀 Đúng vậy, cả hồi học phổ thông, mình chưa bao giờ thấy-nghe-đọc-gặp ai nói về vấn đề như thế này.

– Tuy nhiên, chúng ta có một kinh nghiệm “gần giống”, đó là so sánh 2 phân số không cùng mẫu số – một bài học khi chúng ta làm quen với phân số ở lớp 4. Bài học đó là “Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.”. Hãy thử áp dụng nó cho tình huống của chúng ta.

– Ta có: $x=\frac{x^2}{x}$ nên việc so $x$ với $\frac{x-1}{x}$ trở thành so $\frac{x^2}{x}$ với $\frac{x-1}{x}$ . Rõ ràng là chúng có mẫu như nhau, và khi mẫu như nhau thì tử của phân thức nào có bậc cao hơn thì “có thể xem” phân thức đó có bậc cao hơn, nên phân thức $\frac{x^2}{x}$ có bậc cao hơn phân thức $\frac{x-1}{x}$ .

* Quay lại với câu hỏi ban đầu: Lấy logarit hai vế với cơ số của lũy thừa $5^x$ hay $8^{\frac{x-1}{x}}$ ? Giờ thì bạn biết cần logarit hóa hai vế với cơ số nào rồi chứ?

* Trước khi lấy logarit hai vế, chúng ta có thể quy cơ số của các lũy thừa về các số nguyên tố

Lời giải

* Điều kiện: $x\ne 0$

$5^x.8^{\frac{x-1}{x}}=500$

$\Leftrightarrow 5^x.2^{3\frac{x-1}{x}}=5^3.2^2$

$\Leftrightarrow \log_5{\left (5^x.2^{3\frac{x-1}{x}}\right )} = \log_5{\left (5^3.2^2\right )}$

$\Leftrightarrow \log_5{5^x}+\log_5{\left (2^{3\frac{x-1}{x}}\right )} = \log_5{5^3}+\log_5{2^2}$

$\Leftrightarrow x+3\frac{x-1}{x}\log_5{2} = 3+2\log_5{2}$

$\Leftrightarrow x^2 +(3\log_5{2})x-3\log_5{2}-(3+2\log_5{2})x=0$

$\Leftrightarrow x^2-(3-\log_5{2})x+3(-\log_5{2})=0$

$\Leftrightarrow x=3\ (tm) \vee x =-\log_5{2}\ (tm)$

* Đáp số: $x=3 \vee x =-\log_5{2}$

4. Bình luận

* Qua 2 ví dụ, chúng ta có kinh nghiệm so sánh bậc của các đa thức với đa thức và đa thức với phân thức. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, thế còn muốn so sánh bậc của đa thức với căn thức thì làm thế nào? Câu trả lời là món quà dành cho những ai muốn khám phá. 🙂

* Và hơn thế nữa, chúng ta không chỉ có các phương trình mũ với mũ là đa thức, phân thức, căn thức mà còn có cả những biểu thức loại khác nữa, như lượng giác,… Rất nhiều câu hỏi cho bạn khám phá và tôi chỉ có thể “Chúc bạn may mắn!” mà thôi 😀

* Ở ví dụ 1, có thể chia cả hai vế cho 15 rồi lấy logarit hai vế

$5^{x}.3^{x^2}=15 \Leftrightarrow 5^{x-1}.3^{x^2-1}=1$

và ta cũng thu được kết quả.

* Ở ví dụ 2, ngoài cách dùng phương pháp logarit hóa, chúng ta có thể giải theo hướng dồn hết các lũy thừa về vế trái còn vế phải bằng 1. Bạn cũng có thể thử nghiệm logarit hóa với cơ số 2 xem sao hoặc thậm chí là một cơ số khác cả 5 và 2 – một số không phải là cơ số của các lũy thừa có trong phương trình. Số $e$ hoặc 10 chẳng hạn? Hãy thử nghiệm và chia sẻ trải nghiệm của bạn vào hộp bình luận phía dưới nhé!

5. Nguồn gốc. Hình thức và bản chất

* Ví dụ 2 ở trên là một câu hỏi của đề thi môn toán trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại học Kinh tế Quốc dân năm 1998.2

* Tong các tài liệu về phương trình mũ, nó được nhiều tác giả lấy làm ví dụ minh họa cho phương pháp logarit hóa. Tuy nhiên, hầu hết các tài liệu đó đều lấy logarit hai vế với cơ số 2 – cơ số của lũy thừa có mũ với vẻ ngoài “cồng kềnh”.

* Với các phương trình tương tự, chẳng hạn

$\ 3^x.8^{\frac{x}{x+1}}=36, 8^{\frac{x}{x+2}}=4.3^{4-x}$

thì hầu hết nhiều người cũng đều lấy logarit hai vế với cơ số của lũy thừa có mũ với vẻ ngoài “cồng kềnh” và thu được một kết quả cũng cồng kềnh.

“	Vẻ ngoài của sự việc có thể khiến ta không nhìn thấy bản chất của nó. Nhiều lúc sự thật không như ta thấy.	”
	— Thapsang.vn

Hết phần 2, mời bạn đón đọc phần 3 của bài viết. Hãy đăng kí nhận tin hoặc like fanpage để nhận được thông báo khi có phần tiếp theo nhé.

Th4 17, 2016Thapsang.vn

Viết bình luận

Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.