Quy tắc xét dấu logarit và ứng dụng

Cho cơ số và đối số, làm thế nào để biết ngay là logarit đó âm hay dương? Cho logarit âm hoặc dương, làm thế nào biết ngay là đối số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1? Câu trả lời cần tìm có trong quy tắc và khẩu quyết về dấu logarit mà bài viết này muốn giới thiệu.

  1. Định lí về dấu của logarit
  2. Quy tắc về dấu của logarit
  3. Ví dụ
  4. Lưu ý giảng dạy

Quy tắc xét dấu logarit được rút ra từ định lí sau đây [1]

1. Định lí về dấu của logarit

Cho số a dương khác 1 và các số dương b, c

1) Khi a>1 thì \log_a b > 0 \Leftrightarrow b > 1

2) Khi 0<a<1 thì \log_a b > 0 \Leftrightarrow b < 1

3) \log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c

Bạn có thể chứng minh định lí trên bằng cách so sánh hai logarit cùng cơ số: \log_a b\log_a 1. Từ định lí trên, ta có bảng sau về dấu của logarit

dau-logarit

Quan sát bảng trên, ta thấy rằng \log_a b > 0 khi và chỉ khi ab cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1 và \log_a b < 0 khi và chỉ khi ab không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1. Từ đó ta có quy tắc sau về dấu của logarit.

2. Quy tắc xét dấu logarit

* Logarit dương khi và chỉ khi cơ số và đối số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1.

* Logarit âm khi và chỉ khi cơ số và đối số không cùng lớn hơn hoặc không cùng nhỏ hơn 1.

Có thể phát biểu quy tắc này dưới dạng khẩu-quyết ngắn gọn, cho dễ nhớ là

Cơ số và đối số cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn 1 thì logarit dương và ngược lại

Chú ý: Bạn có thể mở rộng quy tắc trên cho trường hợp logarit không âm và logarit không dương.

Sau đây chúng ta cùng xem khẩu quyết trên được vận dụng như thế nào trong các bài toán.

3. Ví dụ

Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau đây [2]

\log_\frac{3}{5} \frac{2}{3}\log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}

Phân tích

* Do hai logarit không cùng cơ số nên ta không áp dụng ngay được quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số.

* Nhưng để ý rằng, cơ số và đối số của logarit thứ nhất cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ nhất dương, trong khi đối số và cơ số của logarit thứ hai không cùng lớn hơn và không cùng nhỏ hơn 1 nên logarit thứ hai âm. Từ đó suy ra kết quả so sánh.

Lời giải

* Vì \frac{3}{5}<1\frac{2}{3}<1 nên \log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > 0
* Vì \frac{3}{2}>1\frac{3}{5}<1 nên \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}<0
* Do đó \log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}

Bình luận

Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số, bằng cách như sau: [3]

    \[\log_\frac{3}{5} \frac{2}{3} > \log_\frac{3}{5} 1 = 0 = \log_\frac{3}{2} 1 > \log_\frac{3}{2} \frac{3}{5}\]

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số

y=\sqrt{\log_{0.2}(x-1)}

Phân tích

* Điều kiện xác định của hàm số là \log_{0.2} (x-1) \ge 0

* Muốn logarit không âm thì cơ số và đối số phải cùng lớn hơn hoặc cùng nhỏ hơn bằng 1, mà cơ số 0.2<1 nên đối số x-1\le 1

* Kết hợp với điều kiện đối số của logarit phải dương: x-1> 0, ta có hệ bất phương trình. Giải hệ bất phương trình ta thu được tập xác định.

Lời giải

    \[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x-1>0 \\ x-1 \le 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x > 1 \\ x \le 2\end{cases} \Leftrightarrow 1< x \le 2\]

Bình luận

Bạn cũng có thể áp dụng quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số để giải bất phương trình trên như sau:

    \[\log_{0.2}(x-1) \ge 0 \Leftrightarrow \log_{0.2}(x-1) \ge \log_{0.2}1\]

4. Lưu ý giảng dạy

– Khi dạy “Bài 3. Logarit” giáo viên phải giới thiệu định lí trên cho học sinh, đặc biệt là với các học sinh học theo SGK Giải tích 12 (Chương trình Chuẩn). Vì đây là một nội dung bắt buộc được ghi trong Chuẩn kiến thức kĩ năng nhưng SGK Giải tích 12 lại không giới thiệu.

– Nếu không được học định lí về dấu logarit thì học sinh sẽ không hiểu tại sao đạo hàm của hàm số y=a^xy=\log_a x lại âm khi 0 < a <1, như trong SGK đã dẫn tại trang 73 và 75. Thậm chí, sẽ thiệt thòi cho các em nếu nội dung này xuất hiện trong các đề thi. Chẳng hạn, trong đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2012-2013 vừa qua, có câu hỏi: [4]

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=\sqrt{x^2+3}-x.\ln x trên đoạn [1;2]

Để giải được câu này, thí sinh phải biết xét dấu logarit vì đạo hàm của hàm số có chứa logarit:

    \[y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}-\ln x - 1\]

P/s: Nếu bạn biết một khẩu-quyết hay hơn để nói về dấu của logarit thì chia sẻ cho mình nhé. Xin hãy gõ nó vào hộp bình luận ở phía dưới đây.


Chú thích

  1. Định lí này được giới thiệu ở mục Hệ quả trong SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 []
  2. Trích Ví dụ 3. SGK Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008; trang 85 []
  3. Đây là cách được trình bày trong SGK đã dẫn ở trên []
  4. Mình có bình luận về sự kiện này trên facebook []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!
  1. cung hay nhung may cai nay o thi dai hoc ko ?

  2. Đề thi Đại học không hỏi giống như mấy ví dụ đó. Nếu các câu hỏi trong đề thi Đại học là tòa nhà thì các ví dụ trên là các viên gạch xây lên tòa nhà đó.

  3. Nguyễn Thế Phúc Rất chuẩn

  4. Mình thì thường bảo HS là: loga(b) dương khi a và b cùng phía với 1; âm khi khác phía 😀

  5. Cảm ơn bạn, từ "phía" ngắn gọn hơn và vẫn đúng ý. Vậy có thể phát biểu thành một câu hoàn chỉnh là:

    Cơ số và đối số cùng phía với 1 thì logarit dương và ngược lại. 🙂

  6. thầy ơi, thầy đang nói về môn nào thía ạ?! 🙁

  7. Thi Thánh Thiện says:

    e không hiểu log cho lắm mà giờ đang là cuối hk1 e phải làm sao đây các thầy, cô, bạn! chỉ e giúp với. :((

  8. Hãy hỏi ngay bạn bè mình, khó hiểu chỗ nào hỏi bạn chỗ đó, khó làm bài nào hỏi bạn bài đó. Khẩn trường lên! Chúc em sớm hiểu về logarit và học tốt!

  9. Thi Thánh Thiện says:

    Nguyễn Thế Phúc dạ, em hiểu rồi thầy ạ. Em sẽ cố gắng trau dồi.

  10. Thanh Thảo says:

    Cho mình hỏi a phần b lớn hơn 1 khi nào ?

  11. Cho minh hoi ab >1 khi nao ?

  12. Thật sự không hiểu câu hỏi của bạn?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *