Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p2)

Bạn đang xem phần 2 / 5 của series Sai lầm thường gặp.

Nhiều lời giải chứa đựng sai lầm không dễ dàng phát hiện ra ngay, dưới đây là một ví dụ như thế. Mời bạn cùng khám phá, sai lầm ở đâu?

  1. Đề bài
  2. Lời giải
  3. Sai ở đâu?
  4. Tại sao sai?
  5. Thử lại như thế nào?
  6. Bình luận

1. Đề bài

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x^2+y^2+z^2-4x-4y+2z-16=0, đường thẳng d_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-1}{1} và đường thẳng d_2:\begin{cases}x=3+t\\y=2t\\z=-1+2t\end{cases}. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d_1,d_2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3.

2. Lời giải

* (S) có tâm I(2;2-1), bán kính R=5

* d_1 có vectơ chỉ phương là \vec{u_1}=(-1;4;1)d_2 có vectơ chỉ phương là \vec{u_2}=(1;2;2)

* Có [\vec{u_1},\vec{u_2}]=\left(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\right) = 3(2;1;-2)

* (P) song song với d_1,d_2 nên nhận \frac{1}{3}[\vec{u_1},\vec{u_2}] = (2;1;-2) làm vectơ pháp tuyến

* Do đó phương trình của (P) có dạng: 2x + y - 2z + D=0

* Theo giả thiết, ta có d(I,(P))=3 \Leftrightarrow \frac{|2(2)+1(2)-2(-1)+D|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=3

\Leftrightarrow |D+8|=9 \Leftrightarrow  D=1\vee D=-17

* Với D=1\Rightarrow (P_1):2x+y-2z+1=0

* Với D=-17\Rightarrow (P_2):2x+y-2z-17=0

* Vậy có 2 phương trình mặt phẳng cần tìm:

2x+y-2z+1=0, 2x+y-2z-17=0

3. Sai lầm ở đâu?

Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm mà thôi. Mặt phẳng (P_1) không song song với đường thẳng d_1, chính xác thì nó chứa d_1 nên bị loại, còn (P_2) song song với cả 2 đường thẳng d_1d_2 nên là mặt phẳng cần tìm.

4. Tại sao sai?

* Sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không

* Tại sao phải thử lại? Tại vì nếu (P) nhận vectơ \frac{1}{3}[\vec{u_1},\vec{u_2}] làm vectơ pháp tuyến thì chưa đảm bảo nó song song với 2 đường thẳng.

vecto-phap-tuyen-cua-mat-phang

– Chúng ta đã biết, nếu một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đã cho hoặc chứa một đường và song song với đường còn lại hoặc chứa cả 2 đường thẳng thì sẽ nhận vectơ k[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0} làm vectơ pháp tuyến. Trong đó \vec{u_1},\vec{u_2} lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đã cho.

– Do đó, nếu một phẳng nhận vectơ k[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0} làm vectơ pháp tuyến thì nó sẽ hoặc 1) song song với hai đường thẳng đã cho hoặc 2) chứa một đường và song song với đường còn lại hoặc 3) chứa cả 2 đường thẳng ấy.

5. Thử lại như thế nào?

* Theo phân tích trên, (P) hoặc song song hoặc chứa d_1,d_2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy một điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng (P). Nếu thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) thì (P) chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song.

* Cụ thể, ta có M_1 (1;-1;1)\in d_1M_2 (3;0;-1) \in d_2

* Thử lại:

M_1 \in (P_1) \Rightarrow d_1 \subset (P_1) nên (P_1) không thỏa mãn

M_1 \notin (P_2) \Rightarrow d_1 \| (P_2);\ M_2 \notin (P_2) \Rightarrow d_2 \| (P_2) nên (P_2) thỏa mãn

6. Bình luận

* Thực tế, rất nhiều học sinh chỉ nhớ “Nếu (P) song song với d_1,d_2 thì (P) nhận [\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0} làm vectơ pháp tuyến” và quên rằng “ngược lại thì không đúng”. Do đó quên không thử lại và dẫn đến kết quả sai giống lời giải trên.

* Bài toán trên là một trường hợp riêng của bài toán: “Viết phương trình mặt phẳng song song với một đường thẳng cho trước và thỏa mãn điều kiện xyz”. Câu hỏi dành cho bạn: “Ở bài toán thứ 2 này thì có cần phải thử lại không? Tại sao?”

* Ghi nhớ, khi học luôn đặt câu hỏi:

“Điều ngược lại có đúng không? Tại sao?”


Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpMột số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p3) →← Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Tâm Lê says:

    A có biết đề năm nào bộ ra bài phải kiểm tra lại nghiệm. Với e nếu e giải bài này e chỉ xét như sai lầm trên a đã gửi :3 .

    Trong GT e nhớ có TH hàm số liên tục thì có đạo hàm nhưng ngược lại thì không đúng. Ví dụ hàm y = |x| .

  2. Xin lỗi, giờ anh mới để ý bình luận của em. Các câu có kiểm tra lại nghiệm, trong các đề thi của Bộ thường là phương trình lượng giác (Khối A: 2011, 2010, 2009. Khối D: 2011), phương trình logarit (Khối A: 2009, 2008, 2007,… Khối B: 2010, 2008, 2006,… Khối D: 2011, 2008)

  3. Thêm một bài toán cùng loại:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng có phương trình lần lượt là d_1:(x-1)/2=(y-2)/(-2)=(z+1)/1,d_2:(x-3)/2=(y+1)/(-2)=z/1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, song song với trục Ox, cắt d_1,d_2 lần lượt tại A và B sao cho AB=1.

    (Nguồn: Đề thi thử KA, lần 2, Trường Nguyễn Trường Tộ, Quảng Trị)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *