Nhiều lời giải chứa đựng sai lầm không dễ dàng phát hiện ra ngay, dưới đây là một ví dụ như thế. Mời bạn cùng khám phá, sai lầm ở đâu?
[latexpage]
1. Đề bài
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2-4x-4y+2z-16=0$, đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-1}{1}$ và đường thẳng $d_2:\begin{cases}x=3+t\\y=2t\\z=-1+2t\end{cases}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với $d_1,d_2$ và khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng 3.
2. Lời giải
* $(S)$ có tâm $I(2;2-1)$, bán kính $R=5$
* $d_1$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_1}=(-1;4;1)$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_2}=(1;2;2)$
* Có $[\vec{u_1},\vec{u_2}]=\left(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\right) = 3(2;1;-2)$
* $(P)$ song song với $d_1,d_2$ nên nhận $\frac{1}{3}[\vec{u_1},\vec{u_2}] = (2;1;-2)$ làm vectơ pháp tuyến
* Do đó phương trình của $(P)$ có dạng: $2x + y – 2z + D=0$
* Theo giả thiết, ta có $d(I,(P))=3 \Leftrightarrow \frac{|2(2)+1(2)-2(-1)+D|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=3$
$\Leftrightarrow |D+8|=9 \Leftrightarrow D=1\vee D=-17$
* Với $D=1\Rightarrow (P_1):2x+y-2z+1=0$
* Với $D=-17\Rightarrow (P_2):2x+y-2z-17=0$
* Vậy có 2 phương trình mặt phẳng cần tìm:
$2x+y-2z+1=0, 2x+y-2z-17=0$
3. Sai lầm ở đâu?
Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm mà thôi. Mặt phẳng $(P_1)$ không song song với đường thẳng $d_1$, chính xác thì nó chứa $d_1$ nên bị loại, còn $(P_2)$ song song với cả 2 đường thẳng $d_1$ và $d_2$ nên là mặt phẳng cần tìm.
4. Tại sao sai?
* Sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không
* Tại sao phải thử lại? Tại vì nếu $(P)$ nhận vectơ $\frac{1}{3}[\vec{u_1},\vec{u_2}]$ làm vectơ pháp tuyến thì chưa đảm bảo nó song song với 2 đường thẳng.
– Chúng ta đã biết, nếu một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đã cho hoặc chứa một đường và song song với đường còn lại hoặc chứa cả 2 đường thẳng thì sẽ nhận vectơ $k[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0}$ làm vectơ pháp tuyến. Trong đó $\vec{u_1},\vec{u_2}$ lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đã cho.
– Do đó, nếu một phẳng nhận vectơ $k[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0}$ làm vectơ pháp tuyến thì nó sẽ hoặc 1) song song với hai đường thẳng đã cho hoặc 2) chứa một đường và song song với đường còn lại hoặc 3) chứa cả 2 đường thẳng ấy.
5. Thử lại như thế nào?
* Theo phân tích trên, $(P)$ hoặc song song hoặc chứa $d_1,d_2$ nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy một điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$. Nếu thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(P)$ thì $(P)$ chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song.
* Cụ thể, ta có $M_1 (1;-1;1)\in d_1$ và $M_2 (3;0;-1) \in d_2$
* Thử lại:
– $M_1 \in (P_1) \Rightarrow d_1 \subset (P_1)$ nên $(P_1)$ không thỏa mãn
– $M_1 \notin (P_2) \Rightarrow d_1 \| (P_2);\ M_2 \notin (P_2) \Rightarrow d_2 \| (P_2)$ nên $(P_2)$ thỏa mãn
6. Bình luận
* Thực tế, rất nhiều học sinh chỉ nhớ “Nếu $(P)$ song song với $d_1,d_2$ thì $(P)$ nhận $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\ne \vec{0}$ làm vectơ pháp tuyến” và quên rằng “ngược lại thì không đúng”. Do đó quên không thử lại và dẫn đến kết quả sai giống lời giải trên.
* Bài toán trên là một trường hợp riêng của bài toán: “Viết phương trình mặt phẳng song song với một đường thẳng cho trước và thỏa mãn điều kiện xyz”. Câu hỏi dành cho bạn: “Ở bài toán thứ 2 này thì có cần phải thử lại không? Tại sao?”
* Ghi nhớ, khi học luôn đặt câu hỏi:
“Điều ngược lại có đúng không? Tại sao?”
