Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p3)

Bạn đang xem phần 3 / 5 của series Sai lầm thường gặp.

Khi mới làm quen với phương pháp ứng dụng đạo hàm để xét chiều biến thiên của hàm số, học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng máy móc “quy tắc đan dấu” [1] để xét dấu đạo hàm. Dưới đây là một ví dụ.

  1. Đề bài
  2. Sai ở đâu?
  3. Tại sao sai?
  4. Sửa như thế nào
  5. Bình luận

1. Đề bài

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số y=x^4-6x^2+8x+1

Lời giải

* Tập xác định: D=\mathbb{R}

* Ta có: y'= 4x^3 - 12x + 8; y'=0 \Leftrightarrow x_1 = -2, x_2 = 1 (Giải phương trình này là việc của … máy tính 😀 )

* Bảng biến thiên

Ap-dung-may-moc-quy-tac-dan-dau-1

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;1) và đồng biến trên các khoảng (-\infty;-2)(1;+\infty)

2. Sai lầm ở đâu?

Sai ở dấu của đạo hàm y', trên khoảng (-2;1) thì y' phải mang dấu dương và trên khoảng (-\infty;-2) thì y' phải mang dấu âm. Không tin thì thử lại cho chắc 😀 , thay x=0 vào y' thì y'(0)=8>0 do đó y'>0 trên khoảng (-2;1).

3. Tại sao sai?

Đây là một bài toán đã có phương pháp giải và học sinh rất thành thục cách giải nên giải rất nhanh. Nhưng chính việc giải rất nhanh [2] này khiến học sinh không chú ý rằng phương trình y'=0 có nghiệm đặc biệt và cứ áp dụng “Quy tắc đan dấu” như các trường hợp thông thường nên điền sai dấu của y'.

Cụ thể, vì bậc của y' là 3 trong khi phương trình y'=0 lại chỉ có 2 nghiệm nên chứng tỏ 1 trong hai nghiệm là nghiệm bội chẵn. Do đó dấu của y' sẽ không tuân theo quy tắc đan dấu.

4. Sửa như thế nào?

Sau khi giải phương trình y'=0 có thể điền dấu cho y' theo một trong các cách sau:

Cách 1: Xét dấu từng khoảng một, bằng cách chọn một giá trị phù hợp trong khoảng đó rồi tính y' và kết luận dấu của y' trong khoảng đó. (Cách này mất công bấm máy một tí, nhưng lợi hại nhất đấy :mrgreen: )

Ví dụ với bài toán trên, trong khoảng (-\infty; -2) ta chọn x=-3, trong khoảng (-2;1) ta chọn x=0 và trong khoảng (1;+\infty) ta chọn x=2

Cách 2: Đưa y' về dạng tích từ đó đánh giá dấu của nó hoặc áp dụng chú ý về dấu cho nghiệm bội.

Ví dụ với bài toán trên, ta có thể đưa y' về dạng tích: y'=4(x-1)^2(x+2). Do 4(x-1)^2\ge 0,\forall x nên dấu của y' là dấu của x+2, từ đó có lời giải đúng như sau

* Tập xác định: D=\mathbb{R}

* Ta có: y'= 4x^3 - 12x + 8; y'=0 \Leftrightarrow x_1 = -2, x_2 = 1

* Bảng biến thiên

Ap-dung-can-than-quy-tac-dan-dau

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-\infty;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;+\infty)

5. Bình luận

* Học sinh cũng có thể điền sai dấu của y' như sau:

Ap-dung-may-moc-quy-tac-dan-dau-2

* Nếu gặp trường hợp y' là đa thức và số nghiệm của phương trình y'=0 thấp hơn số bậc của y' thì ta cần cẩn thận khi điền dấu của y'.

* Nếu y' không là đa thức mà lại có chứa x trong căn thức thì làm thế nào để xét dấu của y'? Chẳng hạn, xét chiều biến thiên của hàm số sau: y=\sqrt{x+\sqrt{x^2-x+1}}


Chú thích

  1. Nếu bạn chưa biết quy tắc này thì bạn có thể Google để tìm hiểu []
  2. Đặc biệt, sẽ càng nhanh hơn nếu học sinh sử dụng máy tính để giải phương trình y’=0, rồi nhanh chóng điền dấu của y’ theo quy tắc đan dấu và lập bảng biến thiên []
Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpMột số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p4) →← Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p2)

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Nghia Pham says:

    Em thấy bác nói nhầm nên đọc đến chỗ y' biết là sai. Đa số hs sẽ bị nhầm

  2. Ừ, với học sinh làm quen lần đầu hoặc mới học thì rất hay nhầm nên anh mới viết. 🙂 Thực tế, năm nào anh dạy cũng gặp một số cháu nhầm kiểu này, từ học sinh yếu đến khá.

  3. nên lưu ý học sinh ở chỗ nghiệm kép

  4. Nguyen Duy says:

    mình hay dạy học sinh với các hàm phức tạp thì nên thay số trong từng khoảng là tốt nhất (Kết hợp với kỹ năng bấm máy 1 lần 1 biểu thức là có thể tình được giá trị y' tại điểm bất kỳ, không tốn thời gian ), còn việc phân tích y' rất hay nhưng với nhiều học sinh không khá giỏi thì thường lúng túng và mất nhiều thời gian hơn

  5. Hì, không viết cách nào dùng cho đối tượng nào thì ông sẽ bình luận để bổ sung. Còn nếu tôi viết tỉ mỉ hết cả ý đó thì chắc chắn ông chỉ like thôi phải không phỏng? 😀

  6. nhi nguyen says:

    rất hay em cũng đã từng sai như vậy

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *