Các lời giải tiêu biểu của cuộc thi giải toán vectơ (P2)

Bạn đang xem phần 12 / 12 của series Cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách.

Thapsang.vn giới thiệu các lời giải tiêu biểu, chọn lọc từ các bài thi của cuộc thi giải toán vectơ bằng nhiều cách. Bao gồm các lời giải phổ biến cho tới các lời giải ít gặp.

Đề bài:

Chứng minh rằng: Với bốn điểm bất kỳ A, B, C và D ta luôn có

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

Căn cứ vào mô hình phân loại các lời giải và cách giải, 18 bạn dự thi đã đóng 20 cách giải tiêu biểu. Trang này là phần cuối, gồm 8 cách giải còn lại (từ 13 đến 20), 12 cách giải trước (từ 1 đến 12) đã được giới thiệu trong phần 1.

  1. Từ đẳng thức đúng, chuyển vế được đẳng thức cần chứng minh
  2. Từ đẳng thức đúng, dùng QTT chèn thêm điểm có sẵn
  3. Từ đẳng thức đúng, dùng QTC chèn thêm điểm có sẵn
  4. Biến đổi tương đương, dùng QTT chèn thêm điểm bất kỳ
  5. Xét hiệu, sử dụng QTT
  6. Xét hiệu, sử dụng QTC
  7. Sử dụng cặp điểm mới có tính chất tựa trung điểm
  8. Sử dụng tính chất: Với mỗi điểm A và vectơ \overrightarrow{v} cho trước, tồn tại duy nhất điểm M sao cho \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{v}

13. Từ đẳng thức đúng, chuyển vế được đẳng thức cần chứng minh

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Đặng Thị Kiều Linh, Phạm Bắc Phú và Đặng Ngọc Tuấn.

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

Bình luận: Một cách giải hết sức đơn giản!

14. Từ đẳng thức đúng, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm có sẵn

Có 3 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú, Nguyễn Mạnh Đạt và Trần Xuân Đắc.

\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

Bình luận: Cách giải này cũng không kém đơn giản so với cách 13. Hơn nữa, như bạn Phú nhận xét: Chúng ta có thể xuất phát từ nhiều đẳng thức khác, ví dụ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB} hay \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB},…

15. Từ đẳng thức đúng, dùng quy tắc cộng chèn thêm điểm có sẵn

Có 2 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú và Nguyễn Mạnh Đạt. Tuy nhiên có sự khác biệt trong cách thể hiện của hai bạn. Trong khi bạn Phú xuất phát từ 1 đẳng thức đúng rồi dùng Quy tắc ba điểm để phân tích mỗi vectơ ở mỗi vế thành các vectơ cần thiết thì bạn Đạt lại đem cộng 2 đẳng thức đúng có được từ Quy tắc ba điểm lại với nhau.

Cách của bạn Phú:

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

Cách của bạn Đạt:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}

\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}

\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

Bình luận: Thực chất các cách giải xuất phát từ đẳng thức đúng như cách 13, 14 và 15 là cách trình bày ngược với cách Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh thành 1 đẳng thức đúng!

16. Biến đổi tương đương, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm bất kỳ

Từ đẳng thức cần chứng minh, dùng quy tắc trừ chèn thêm điểm bất kì từ đó thu được 1 đẳng thức đúng.

Có 2 bạn trình bày theo cách này: Phạm Tuấn Nghĩa và Nguyễn Việt Hoàng.

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}

\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC},\ \forall O (Luôn đúng)

Bình luận: Cách này không khác với cách 12 là mấy!

Để chứng minh đẳng thức đã cho, chúng ta có thể xét hiệu hai vế và chứng minh hiệu này bằng vectơ-không. Dưới đây là hai cách giải như vậy, một cách sử dụng quy tắc trừ và một cách sử dụng quy tắc cộng để chứng minh. Cả hai cách đều do bạn Phạm Bắc Phú chia sẻ.

17. Xét hiệu, sử dụng quy tắc trừ

Ta có:

(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})

=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}

Suy ra: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} (đpcm)

18. Xét hiệu, sử dụng quy tắc cộng

Ta có:

(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD})

=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}

Suy ra: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} (đpcm)

19. Sử dụng cặp điểm mới có tính chất tựa trung điểm

Đây là cách giải của bạn Phạm Bắc Phú, bạn Phú khái quát từ một bài toán quen thuộc có trong SGK, sau bài học “Tích vectơ với một số”. Chúng ta còn gặp lại bài toán này, khi nghiên cứu về vectơ trong hình học không gian ở lớp 11. Bài toán đó như sau: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MN} (*).

Tuy nhiên, do giả thiết của bài toán trong cuộc thi đặt ra với bốn điểm A, B, C và D bất kỳ nên không phải lúc nào cũng tồn tại trung điểm của AC và BD, và bạn Phú đã giải quyết trường hợp đặc biệt (suy biến) này rất khéo léo để phương pháp giải bài toán (*) ở trên vẫn đúng cho trường hợp A, B, C và D là tùy ý. Cách giải đó như sau:

* Với hai điểm A, C cho trước, tồn tại điểm M sao cho \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}. Thật vậy, nếu A trùng với C thì chọn M là A; nếu A và C phân biệt thì ta chọn M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tương tự, tồn tại điểm N thỏa mãn \overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}

* Ta có

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB})+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND})

=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND})+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN} (1)

Lại có:

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND})+(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB})

=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND})+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN} (2)

Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh.

20. Sử dụng tính chất: Với mỗi điểm A và vectơ \overrightarrow{v} cho trước, tồn tại duy nhất điểm M sao cho \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{v}

Có 2 bạn trình bày theo cách này: Phạm Bắc Phú và Nguyễn Đức Duy. Tuy nhiên cũng có sự khác biệt giữa hai bạn, nếu bạn Phú sử dụng 2 điểm trung gian để có 2 đẳng thức vectơ (1a và 1b) và sau đó chứng minh 2 điểm trùng nhau thì bạn Duy chỉ dùng 1 điểm để có đẳng thức vectơ thứ nhất (2a) rồi từ đó suy ra đẳng thức vectơ thứ 2 (2b).

Cách của bạn Phú:

Gọi M và N là các điểm thỏa mãn \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CD} (1a), \overrightarrow{DN}=\overrightarrow{CB} (1b). Khi đó, ta có:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM} (2)

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN} (3)

Mặt khác, cộng chéo vế (1a) và (1b) ta có:

\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CN}

\Leftrightarrow M \equiv N \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AN} (4)

Từ (2)(3)(4) suy ra điều phải chứng minh.

Cách của bạn Duy:

Gọi D’ thỏa mãn \overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{CD} (2a), ta có:

\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{CD'}+\overrightarrow{D'D} \Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DD'} (2b)

Khi đó:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{AD'}

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AD'}

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận 1: Dù điểm xuất phát có khác nhau nhưng bản chất cách giải của hai bạn này là như nhau. Họ đều xây dựng 2 đẳng thức vectơ mới là 1a=2a và 1b=2b từ đó chứng minh tổng 2 vectơ ở mỗi vế đều bằng 1 vectơ thứ ba mà điểm cuối của vectơ thứ ba này đã được xác định. Thật thú vị, hai bạn ở hai nơi khác nhau, người ở Nam Định còn người ở Hà Nam nhưng với tình yêu toán học và niềm đam mê khám phá cho một bài toán, họ đã cùng có một ý tưởng và cùng một cách giải khá đặc biệt, giống nhau đến ngạc nhiên!

Bình luận 2: Hai bạn đều thể hiện trình độ kiến thức và tư duy rất sâu khi phát hiện ra sự tồn tại của một điểm trung gian ẩn chứa trong bài toán! Điểm M trong cách giải của bạn Phú cũng chính là điểm D’ trong cách giải của bạn Duy và bạn có nhận thấy điểm đó rất “đặc biệt” không? Điểm đó cho chúng ta một cái nhìn sâu sắc hơn về bài toán, bạn có thể phát biểu bài toán của chúng ta dưới một dạng khác không? Đó thật sự là một phát hiện thú vị. Chúng ta cảm ơn sự chia sẻ của hai bạn về cách giải này!


Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếp← Các lời giải tiêu biểu của cuộc thi giải toán vectơ

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Mr Tee says:

    Một cuộc thi vui vẻ và bổ ích. Mình cảm thấy BTC rất chu đáo, trọn vẹn với cuộc thi này. Đến đây chắc là cuộc thi lần 1 đã kết thúc. Mà dư âm sẽ còn mãi.

  2. ai giúp em học tốt vecto với

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *