Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p4)

“Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại điểm ” là một bài toán thường gặp trong SGK Giải tích lớp 12 và nhiều tài liệu tham khảo. Nhưng không chỉ học sinh, sinh viên mà thậm chí các giáo viên cũng rất dễ mắc sai lầm khi giải bài toán này. Dưới đây là một ví dụ.

1. Ví dụ
2. Sai ở đâu?
3. Tại sao mắc sai lầm?
4. Sửa như thế nào?
5. Bình luận

1. Ví dụ

Trong SGK Giải tích 12, Nxb Giáo dục 2008, trang 44; có một bài toán như sau:

Cho hàm số ( là tham số) có đồ thị là

a) Xác định để hàm số có điểm cực đại là

b) Xác định để đồ thị cắt trục hoành tại điểm

Lời giải câu a

Một cuốn sách tham khảo1 đã trình bày lời giải câu a của bài toán này như sau:

Hàm số có điểm cực đại khi và chỉ khi

   

   

Lời giải này có chứa sai lầm, bạn có thấy không?

2. Sai ở đâu?

Sai ở chỗ, thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại khi và chỉ khi “ là đúng.

Nhưng thực ra mệnh đề này là SAI, ví dụ hàm số đạt cực đại tại nhưng

3. Tại sao mắc sai lầm?

Điều gì khiến người giải dễ mắc sai lầm trên? Nguyên do là vì có 2 hai định lí sau về cực trị của hàm số:

Một là: “Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại thì ”2

Hai là: “Nếu thì là điểm cực đại”3

Đọc qua thì tưởng hai định lí này là mệnh đề đảo của nhau, nhưng thật ra lại là không. Chính vì chỗ “ngỡ như là đảo của nhau” này khiến người học rất dễ ngộ nhận mệnh đề đảo của định lí thứ hai là đúng!

4. Sửa như thế nào?

Có 2 cách thường dùng để giải bài toán này. Cách 1: Lập bảng biến thiên; Cách 2: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện của định lý thứ 2 nói trên. Dưới đây, bài viết trình bày cách thứ 2, ý tưởng căn bản của cách này là tìm tham số thỏa mãn hai điều kiện của định lí thứ 2. Trước tiên, ta sử dụng định lí thứ nhất để tìm tham số thỏa mãn điều kiện , sau đó, với mỗi giá trị tham số tìm được, ta thử lại vào rồi kiểm tra dấu của tại và kết luận.

Lời giải đúng

* Ta có

* Giả sử hàm số đạt cực trị tại , suy ra (1)

* Thử lại, với (2)

* Từ (1)(2), suy ra là điểm cực đại và là giá trị cần tìm.

5. Bình luận

* Có thể thấy nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên không phải là mới, thậm chí rất cũ: “Mệnh đề đảo của một định lý không phải lúc nào cũng đúng”. Cụ thể, mệnh đề: “Hàm số đạt cực đại tại thì ” là SAI.

* Mọi mệnh đề chưa được chứng minh thì chớ có dùng. Hãy tư duy có căn cứ!

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

1. Cuốn sách trình bày lời giải các bài tập có trong SGK Giải tích 12 [↩]
2. SGK Giải tích 12, trang 14 [↩]
3. SGK Giải tích 12, trang 16 [↩]