Số tổ hợp và tính chất

Vận dụng thành thạo và linh hoạt các công thức về số tổ hợp là một kĩ năng cơ bản. Bài viết này mình chia sẻ với các bạn kinh nghiệm dạy và học về Số tổ hợp, và cách vận dụng linh hoạt các công thức Số tổ hợp thông qua một bài toán đơn giản.

Mặc dù có rất ít công thức về Số tổ hợp, nhưng các công thức của nó lại không dễ nhớ với học sinh và hay nhầm lẫn. Học sinh khó nhớ và hay nhầm lẫn ở 3 chỗ: Một là khó nhớ công thức, vì các công thức của số tổ hợp, cũng như chỉnh hợp được thường được giới thiệu trong sách giáo khoa ở dạng biểu diễn theo giai thừa với biểu thức “cồng kềnh”. Hai là, hay nhầm lẫn giữa công thức của số chỉnh hợp và tổ hợp. Ba là, hay quên điều kiện có nghĩa của các công thức.

1. Ghi nhớ công thức
2. Vận dụng công thức
3. Toán học và tư duy

1. Ghi nhớ công thức số tổ hợp

Để giúp cho học sinh dễ nhớ các công thức, cách mình thường làm là yêu cầu học sinh phát biểu công thức dưới dạng lời (ý nghĩa). Ví dụ, với 2 công thức

Mình khai thác tối đa tính trực quan của Tam giác Pascal

Tam giác Pascal: Tổng hai số tổ hợp liên tiếp cùng hàng bằng số tổ hợp hàng dưới cùng cột

Từ tam giác giác Pascal hướng dẫn học sinh phát biểu 2 công thức trên bằng lời:

• – Hai số tổ hợp cách đều hai đầu thì bằng nhau, rồi nói “gọn” lại là: Tính chất cách đều
• – Tổng hai số tổ hợp liên tiếp cùng hàng bằng số tổ hợp hàng dưới cùng cột.

Sau đó, cho học sinh áp dụng và ghi các công thức với một số trường hợp thường gặp. Ví dụ:

2. Vận dụng công thức

Ví dụ sau đây minh họa cách vận dụng 2 công thức trên vào một bài toán trong đề thi thử Đại học năm 2013 của trường THPT Chuyên Lý Tự trọng – Cần Thơ. Đề bài như sau:

Câu VII.a (1,0 điểm). Cho số tự nhiên thỏa mãn  ( là số tổ hợp chập của ). Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức .

Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải phương trình sau để tìm :

Lúc này, sẽ có nhiều lời giải khác nhau cho phương trình trên bởi các học sinh khác nhau. Sự khác nhau là do kiến thức và kĩ năng vận dụng. Chẳng hạn, với những học sinh nhớ được và biết vận dụng công thức số tổ hợp dưới dạng giai thừa thì sẽ trình bày lời giải như đáp án:

Giải:

* Xét phương trình . Điều kiện:

* Khi đó

Nhưng với học sinh khác thì có thể trình bày như sau:

Giải

* Xét phương trình . Điều kiện:

* Khi đó

Có gì khác nhau giữa hai lời giải

Bạn có thể nhận thấy ngay, sự khác nhau giữa hai lời giải là ở cách tính số . Ở lời giải thứ nhất, học sinh đã áp dụng công thức tính số tổ hợp theo giai thừa:

cho số , rồi áp dụng các tính chất của giai thừa để rút gọn. Còn ở lời giải thứ hai, học sinh đã quy  về số tổ hợp có chập bé hơn, nhờ công thức (Tính chất cách đều):

sau đó, vì chỉ số trên (chập) bằng 2 nên có thể áp dụng công thức (Tích hai số liên tiếp chia hai):

3. Toán học và tư duy

Nếu bạn là học sinh thì có thể bạn sẽ cho rằng, giải thế nào trả được, miễn là ra đáp số và hơn nữa hai lời giải trên cũng không khác biệt mấy. Không có lời giải nào vượt trội hơn lời giải kia. Nhưng nếu bạn là giáo viên và có ý thức rèn tư duy cho học sinh thì bạn sẽ thấy rằng, cần tận dụng cơ hội này để hướng học sinh của mình giải theo cách thứ hai. Tại sao? Vì việc vận dụng công thức

không chỉ đơn thuần là để giải bài toán mà nó còn chứa đựng một lối suy nghĩ: “quy vấn đề phức tạp về vấn đề đơn giản hơn“.

Trong thực tế cũng như khoa học, thói quen suy nghĩ “quy vấn đề phức tạp về vấn đề đơn giản hơn” để giải quyết là rất cần thiết và quan trọng. Thói quen suy nghĩ đó không chỉ giúp tiết kiệm “sức lực, tài lực, thời gian” trong công việc mà còn là “định hướng” cho việc tìm kiếm giải pháp cho vấn đề. Thói quen đó sẽ trở nên sắc bén nếu được rèn luyện thường xuyên với sự hướng dẫn có chủ ý của giáo viên.

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.