Ở bài viết trước chúng ta đã biết định-hướng chung để giải quyết bài toán “Tính một logarit theo các logarit đã cho cùng cơ số” là “Biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích hoặc thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho”. Tuy nhiên, ngay cả khi chúng ta đã có một định-hướng để giải quyết thì vẫn còn nhiều khó khăn, khi gặp phải những bài toán:
- yêu cầu tính theo 2, 3 logarit cho trước hay nhiều hơn nữa
- cơ số của các logarit đều khác nhau
- việc biểu diễn đối số cần tính theo cơ số và các đối số đã cho không dễ dàng
Bài viết này chúng ta cùng nhau tìm cách giải quyết triệt để các khó khăn trên. Trước tiên, hãy xem ví dụ sau có khó khăn gì.
Ví dụ 1
Phân tích
* Đối số của logarit cần tính “quá bé nhỏ” so với đối số của hai logarit đã cho. Ta sẽ “phóng to” nó lên một chút 😀
* Bài toán trở thành: Tính 
– Ta có: 
– Suy ra: 
– Giờ làm thế nào tiếp đây? Nếu nhân cả tử và mẫu với 2 ta được
![\[\frac{7}{2^2}=\frac{7.2}{2^3}=\frac{(196)^\frac{1}{2}}{2^3}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a4a7e14048903b5a622a01d1d0c12165_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
thì thừa 
![\[\frac{7}{2^2}=\frac{7^2.2}{2^3.7}=7.\frac{(196)^\frac{1}{2}}{56}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b10f97a021ebab269b476c04dbe42243_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
và vẫn còn thừa 
* Đây là khó khăn chủ yếu khi chúng ta gặp những bài toán tính theo 2 hay nhiều logarit cho trước. Có cách nào giải quyết triệt để khó khăn này không? Chứ mỗi lần gặp phải bài như thế lại phải lần mò cách biểu diễn sao!
Ý tưởng
* Quay lại với câu hỏi mấu chốt: “Biểu diễn 175 thành tích các lũy thừa của 10, 196 và 56” và cố gắng phát biểu nó một cách tổng quát hơn xem sao? Đúng vậy, thực chất là chúng ta muốn tìm ba số 
– Ồ, phải rồi. Chúng ta có 1 phương trình ba ẩn
– Mà các cơ số của các lũy thừa trên đều có thể biểu diễn thành tích các thừa số nguyên tố. Nên ta nghĩ đến việc biểu diễn chúng thành tích các thừa số nguyên tố để được các lũy thừa có cùng cơ số. Ta có
– Vì 2, 5 và 7 là các số nguyên tố cùng nhau nên
![\[(*)\Leftrightarrow \begin{cases}m+2n+3p=0\\ m=2 \\ 2n+p=1\end{cases} \Leftrightarrow m=2,n=\frac{5}{4},p=-\frac{3}{2}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-351368d09960c765bebb717b913140e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Một cách tiếp cận hiệu quả, chúng ta tìm được 3 số
Lời giải
* Ta có
* Giả sử tồn tại ba số
* Vì 2, 5 và 7 là các số nguyên tố cùng nhau nên
* Do đó
![\[\log{175}=\log{(10^2.196^{5/4}.56^{-3/2})}=2+\frac{5}{4}\log{196}-\frac{3}{2}\log{56} = 2+\frac{5}{4}a-\frac{3}{2}b\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46a1decad47b234dbd9f54eec7adef15_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Vậy 
Bình luận
– Chúng ta có thể không cần phân tích 
Tuy nhiên, không nên làm vậy, vì nếu làm như thế sẽ tăng thêm khối lượng tính toán không cần thiết khi phải phân tích 
– Chúng ta có một cách tổng quát để biểu diễn một số theo tích lũy thừa của các số đã cho: Chỉ cần thiết lập phương trình lũy thừa (mũ) và phân tích các số thành thừa số nguyên tố. Từ đó ta có chiến lược tổng quát sau để giải các bài toán loại này.
Chiến lược tổng quát
Chiến lược tổng quát
B2: Thiết lập phương trình lũy thừa (mũ) của các đối số và cơ số
B3: Phân tích các số thành tích các thừa số nguyên tố, thu được hệ phương trình
B4: Giải hệ phương trình và tính logarit đã cho
Hãy kiểm chứng hiệu quả của chiến-lược trên cho ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2
Phân tích
* Vì 
* Chúng ta có 3 logarit với 3 cơ số khác nhau: logarit cần tính có cơ số 54, còn hai logarit đã cho có cơ số 7 và 12. Ta phải đổi 54 về một trong hai cơ số đã cho, nhưng theo 7 hay 12?
– Quy về 7 thì
![\[b-1=\log_{12}{2}=\frac{\log_{7}{2}}{\log_{7}{12}}=\frac{\log_{7}{2}}{a}\Rightarrow \log_{7}{2}=ab-a\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3321cfd7f9f12f3b0fb91c4188767ce4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Quy về 12 thì
– Rõ ràng, đổi sang 12 thì hơn
* Bài toán trở thành, tính 
* Để tính 
– Giả sử tồn tại các số 
![\[168=7^m.2^n.12^k \Leftrightarrow 2^3.3^1.7^1 = 7^m.2^n.(2^2.3)^k \Leftrightarrow 2^3.3^1.7^1 = 2^{n+2k}.3^k.7^m\ (1*)\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f26056985c11d6b3edae9e24c477792_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Vì 2, 3 và 7 là các nguyên tố cùng nhau nên
![\[(1*) \Leftrightarrow \begin{cases}n+2k=3\\k=1\\m=1\end{cases}\Leftrightarrow m=k=n=1\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2f66ef220ae84387e355fd793ee790f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Do đó
* Tương tự, để tính 
– Giả sử tồn tại các số
– Vì 2, 3 và 7 là các nguyên tố cùng nhau nên
![\[(2*) \Leftrightarrow \begin{cases}n+2k=1\\k=3\\m=0\end{cases}\Leftrightarrow m=0,n=-5,k=3\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fba52be6619c9b557e8263fdafe903bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Do đó
![\[\log_{12}{54}=\log_{12}{(2^{-5}.12^3)}=-5\log_{12}{2}+3=-5(b-1)+3=8-5b\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-313011b888aa821bf714da006fa8a5d0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Vậy
![\[\log_{54}{168}=\frac{\log_{12}{168}}{\log_{12}{54}}=\frac{ab+1}{8a-5ab}\]](https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e82fa80023c60b841a4b9ef4d1b69c7d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
* Về lời giải, bạn tự trình bày nhé. Nhưng trước khi trình bày thì nên đọc Bình luận dưới đây để có lời giải tốt hơn. 😀
Bình luận
– Ở bước biểu diễn 168 thành tích các lũy thừa của 12, 2 và 7. Ta không cần thiết lập phương trình mũ, vì có thể phân tích được ngay 
– Bây giờ thì còn chần chừ gì nữa, hãy lấy SGK, SBT ra làm vài bài nữa để nắm vững chiến-lược trên. Nếu có khó khăn thì đừng ngại đặt câu hỏi, hãy gõ nó vào hộp bình luận dưới đây.
| “ | Thà thức thâu đêm để tìm hiểu, còn hơn là thắc mắc mãi trăm năm. | ” |
|
— Friedrich Engels |
