Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 101. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.

1. Cơ sở tính nhẩm
2. Các dạng thường gặp
   • Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích
   • Loại 2: a + b + c = 0, a – b + c = 0
   • Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
   • Loại 4: Các loại khác
3. Một số ví dụ vận dụng
4. Bình luận

1. Cơ sở tính nhẩm

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau:2

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

* Nếu phương trình trình có hai nghiệm thì

* Ngược lại, nếu hai số và có tổng và tích thì và là các nghiệm của phương trình

2. Các dạng tính nhẩm thường gặp

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích

* Nếu phương trình có dạng thì phương trình đó có hai nhiệm và .

* Nếu phương trình có dạng thì phương trình có hai nghiệm và

Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Tóm lại:

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số thành tích và thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số trước rồi kết hợp với để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng và tổng bằng .

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:

Tích của hai nghiệm bằng , mà tổng lại bằng

Ví dụ phương trình

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm

Loại 2: a + b + c = 0 và a – b + c = 0

* Nếu thay vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc , với .

* Nếu thay vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm , với .

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu và thì phương trình (1) có dạng

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau . Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

* có hai nghiệm

* có hai nghiệm

Loại 4: Những trường hợp còn lại

Với một phương trình có hệ số mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho , quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ 😀3

3. Một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1. Phương trình

* có hai nghiệm vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6

* có hai nghiệm vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4

* có hai nghiệm vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4

* có hai nghiệm vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)

* có hai nghiệm vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6

* có hai nghiệm vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)

Ví dụ 2. Phương trình

* 4 có hai nghiệm , vì nó có dạng

* có hai nghiệm , vì nó có dạng

* có hai nghiệm , vì nó có dạng

Ví dụ 3. Phương trình

* có hai nghiệm 5

* có hai nghiệm 6

* 7

4. Bình luận

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Bạn sẽ có thêm động lực tiến lên.

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

1. Theo Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009, trang 36 [↩]
2. “Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó” – Theo Wikipedia. [↩]
3. Lấy giấy nháp và máy tính ra chứ còn làm gì nữa [↩]
4. Bạn mà tính Delta để giải phương trình này thì sẽ có một sự mệt không hề nhẹ đấy! 😀 Vì phải xét dấu để khử dấu GTTĐ do Delta bằng |m – 4| [↩]
5. Khi học về phương trình lượng giác ở lớp 11, bạn sẽ hay gặp các phương trình bậc hai mà nghiệm của nó có chứa căn 2 hay căn 3 [↩]
6. Kí hiệu “log” đọc là logarit cơ số 10, bạn sẽ gặp nó khi học Giải tích lớp 12 [↩]
7. Bạn có thể giải phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Muốn ra đáp số cuối cùng, bạn phải học hết HK1 lớp 12 [↩]