Lời giải độc đáo

Trong đề thi Tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2013, có một câu hỏi về phương trình mũ. Câu hỏi như sau.

Giải phương trình:

Đây là một câu hỏi quá quen thuộc với hầu hết các học sinh học lớp 12 cũng như giáo viên. Nên đa số mọi người sẽ đều giải bài toán này theo các cách cũng hết sức thông thường.

• Cách 1
• Cách 2
• Cách 3
• Tại sao độc đáo

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Đặt , ta có

Với

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm

Đây là cách được mọi người hay dùng nhất và cũng là cách được giới thiệu trong Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra, mọi người cũng còn hay dùng cách sau.

Cách 2: Đưa về phương trình tích

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

, vì

Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm 

Và đây, cách thứ 3, một cách giải khá độc đáo. Tôi rất bất ngờ với cách giải này của một bạn học sinh, tôi bất ngờ là vì 2 lí do, một là tôi đã chấm gần được 100 bài và cả gần 100 bài đó thì mọi học sinh đều trình bày lời giải theo 1 trong hai cách ở trên, còn lí do thứ hai là vì tôi cũng không nghĩ đến việc có thể giải theo một cách khác nữa. Bạn có thể bắt đầu tò mò: “Cách gì vậy?”

Cách 3: Đạo hàm

Xét hàm số , trên .

Có

Do đó hàm số nghịch biến trên . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm trên .

Dễ thấy là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Một cách giải rất thú vị và bất ngờ phải không?

Tại sao độc đáo?

* Phương trình đã cho thuộc dạng phương trình mẫu mực, hết sức quen thuộc với bất kì thí sinh và giáo viên nào và đã có phương pháp giải đơn giản và rõ ràng cho dạng này. Vì thế việc mọi người không nghĩ đến cách giải khác là điều rất tự nhiên và dễ hiểu, nếu ai đó trình bày bằng một cách giải khác thì đã là một sự khác biệt.1

* Nhưng bạn học sinh trên không chỉ là khác biệt, bạn này đã dùng phương pháp đạo hàm – một phương pháp rất đặc thù – chỉ dùng để giải những phương trình thuộc dạng “không mẫu mực”. Nên nếu ai đó dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình không mẫu mực thì đó là điều tự nhiên, quen thuộc và không lấy gì là mới mẻ hay bất ngờ. Nhưng nếu dùng phương pháp đạo hàm để giải một phương trình mẫu mực thì quả là ít người nghĩ tới.

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

1. Mục này được bổ sung lúc 21h50 ngày 23/11/2016 [↩]