Giai thừa lớn chứa giai thừa bé và ứng dụng

Giai thừa – một khái niệm mới mẻ, được “đề cập” lần đầu khi chúng ta làm quen với khái niệm Hoán vị trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Khái niệm này có vai trò rất quan trọng, các công thức về số Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp đều được xây dựng trên nó. Vì thế, hầu hết các bài toán liên quan đến Đại số Tổ hợp đều quy về bài toán biến đổi, rút gọn, tính các biểu thức liên quan đến Giai thừa.

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Tuy nhiên, trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11, khái niệm Giai thừa chỉ xuất hiện ở dạng “đề cập” mà không được giới thiệu một cách đầy đủ và hầu như không có bài tập củng cố khái niệm này. Bài viết này mình chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm dạy và học, đặc biệt là “khẩu quyết” khi vận dụng nó trong quá trình giải toán. Hy vọng bài viết có ích cho bạn.

Trước tiên, chúng ta cần hiểu “Giai thừa” là gì?

1. Định nghĩa

Cho n là số tự nhiên dương. Tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n được gọi là n – giai thừa. Kí hiệu là n!

Như vậy, kí hiệu n!một số nguyên dương được tính bởi công thức

    \[\begin{matrix}n!=\underbrace{1\cdot 2 \cdots (n-1)\cdot n } \\ n \end{matrix}\]

hoặc

    \[\begin{matrix}n!=\underbrace{n\cdot (n-1) \cdots 2\cdot 1 } \\ n \end{matrix}\]

Ví dụ

  • 1!=1Tích của 1 số từ 1 đến 1
  • 2!=1.2=2Tích của 2 số liên tiếp, từ 1 đến 2
  • 3!=1.2.3=6Tích của 3 số liên tiếp, từ 1 đến 3
  • 4!=1.2.3.4=24Tích của 4 số liên tiếp, từ 1 đến 4
  • 5!=1.2.3.4.5=120Tích của 5 số liên tiếp, từ 1 đến 5
Theo định nghĩa trên, khái niệm n! chỉ được định nghĩa với n là một số tự nhiên lớn hơn không. Về sau để tiện sử dụng và phù hợp với một số công thức tính toán, người ta “mở rộng” khái niệm Giai thừa cho trường hợp n bằng 0 và định nghĩa – hay qui ước: 0! = 1. Bạn có thể Google hoặc xem trên Wikipedia để tìm hiểu thêm về quy ước này!

Quy ước: 0!=1

Điều kiện xác định

Với quy ước trên, từ giờ trở đi chúng ta cần nhớ

Kí hiệu n! chỉ có nghĩa khi n\in \mathbb{N} hay 0\le n, n\in \mathbb{Z}

Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu xem Giai thừa có tính chất gì đặc biệt.

2. Tính chất giai thừa

Hãy quay lại ví dụ ở trên, quan sát các giai thừa khi viết chúng ở dạng tích các số tự nhiên liên tiếp và cố gắng tìm ra một mối liên hệ nào đó giữa các giai thừa lớn so với các giai thừa bé hơn. Chẳng hạn, giữa 5!4! hay giữa 4!3!?

  • 3!=1.2.3
  • 4!=1.2.3.4
  • 5!=1.2.3.4.5

Bạn có thấy mối quan hệ gì không?

Giai thừa lớn chứa giai thừa bé

Đó là, có thể viết 5!=(4!).5, 4!=(3!).45!=(3!).4.5, tương tự bạn có thể suy ra 2013! = (2012!).2013=(2011!).2012.2013,… và tổng quát ta có:

n!=(n-1)!n hay (n-1)!n=n! với 1\le n \in \mathbb{N}

Đây chính là tính chất đặc trưng của Giai thừa: Một giai thừa lớn luôn có thể biểu diễn qua một giai thừa bé hơn. Chúng ta có thể phát biểu tính chất này dưới dạng “khẩu quyết” cho dễ nhớ là: “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Bây giờ hãy xem khẩu quyết này lợi hại thế nào 😀

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức sau:

    \[A=\frac{7!4!}{10!}\cdot\left (\frac{8!}{3!5!}-\frac{9!}{2!7!}\right )\]

Phân tích

* Nhận xét, biểu thức đã cho gồm các tỉ số mà tử và mẫu đều là các giai thừa, do đó ta có thể áp dụng định nghĩa để viết từng giai thừa thành tích các thừa số rồi rút gọn. Nhưng rõ ràng, làm như thế sẽ khiến biểu thức của ta rất cồng kềnh vì có rất nhiều thừa số.

* Để ý rằng, ở mỗi tỉ số đều chứa những giai thừa lớn và giai thừa nhỏ. Như vậy, ta có thể biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa nhỏ hơn rồi rút gọn. Chẳng hạn 10!=7!8.9.10, do đó

    \[\frac{7!4!}{10!}=\frac{7!4!}{7!8.9.10}=\frac{4!}{8.9.10}\]

* Tương tự như vậy, cho các giai thừa còn lại: 8!=5!6.7.89!=7!8.9. Từ đó, ta sẽ rút gọn được biểu thức một cách dễ dàng hơn.

Lời giải

Ta có

    \[\frac{7!4!}{10!}=\frac{7!4!}{7!8.9.10}=\frac{4!}{8.9.10}=\frac{4.3.2.1}{8.9.10}=\frac{1}{3.10}=\frac{1}{30}\]

    \[\frac{8!}{3!5!}=\frac{5!6.7.8}{3!5!}=\frac{6.7.8}{3!}=\frac{6.7.8}{3.2.1}=56\]

    \[\frac{7!8.9}{2!7!}=\frac{8.9}{2!}=\frac{8.9}{2.1}=36\]

Do đó:

    \[A=\frac{1}{30}\cdot (56 - 36)=\frac{2}{3}\]

Bình luận: Qua ví dụ này ta rút được kinh nghiệm sau, khi rút gọn một tỉ sổ mà tử và mẫu đều chứa các giai thừa thì ta có thể làm như sau:

– Cách thứ nhất là: Áp dụng định nghĩa Giai thừa, viết các giai thừa dưới dạng tích số từ 1 đến n rồi rút gọn các thừa số chung.

– Cách thứ hai là: Quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi giữ nguyên giai thừa bé và biểu diễn giai thừa lớn theo giai thừa bé để rút gọn.

Theo bạn thì chúng ta nên dùng cách nào? Trong ví dụ trên ta sử dụng kết hợp cả 2 cách, đầu tiên chúng ta dùng cách thứ hai để triệt tiêu các “giai thừa chung”, sau đó dùng cách thứ nhất để rút gọn các thừa số chung. Qua đó, ta thấy rằng, sử dụng cách thứ hai để triệt tiêu các “giai thừa chung” là rất nhanh chóng và hiệu quả! Vậy nhớ nhé, hãy luôn quan sát xem giai thừa nào lớn hơn, rồi biểu diễn nó theo giai thừa bé hơn. Đó chính là “khẩu quyết” mà chúng ta đang tìm hiểu.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức sau:

    \[B=\frac{6!(n+1)}{(n-2)!}\cdot \frac{(n-1)!}{4!(n-1)(n^2+n)},\ n\in \mathbb{N},n\ge 2\]

Phân tích

* Nhận xét, không giống như ví dụ trước, ở ví dụ này xuất hiện giai thừa có chứa biến n. Tuy nhiên, điều đó không quan trọng! Điều quan trọng là phải nhìn ra giai thừa nào là giai thừa lớn và giai thừa nào là giai thừa bé hơn.

* Dễ thấy, n-1 lớn hơn n-2 một đơn vị, do đó (n-1)!=(n-2)!(n-1)6!=4!5.6

Lời giải

    \[B=\frac{6!(n+1)}{(n-2)!}\cdot \frac{(n-1)!}{4!(n-1)(n^2+n)}\]

    \[=\frac{6!(n-1)!}{4!(n-2)!}\cdot \frac{(n+1)}{(n-1)(n^2+n)}\]

    \[=\frac{4!5.6(n-2)!(n-1)}{4!(n-2)!}\cdot \frac{(n+1)}{(n-1)n(n+1)}\]

    \[=\frac{5.6(n-1)}{1}\cdot \frac{1}{(n-1)n}=\frac{30}{n}\]

Bình luận:

– Nếu dùng Cách thứ nhất, tức là áp dụng định nghĩa giai thừa để viết các giai thừa chứa biến kia thành tích các thừa số từ 1 đến n-2, n-1 thì lời giải của bạn sẽ như thế nào? Cứ thử đi, thử rồi bạn sẽ càng thấy “khẩu quyết” của chúng ta thật lợi hại 😀

– Nhớ nhé, điều quan trọng là phải nhìn ra “Giai thừa nào lớn hơn giai thừa nào” sau đó thì cứ khẩu quyết “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé” mà áp dụng, dù cho giai thừa có chứa biến gì đi chăng nữa.

Ví dụ 3: Giải phương trình chứa ẩn trong giai thừa

Giải phương trình

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{1}{6},\ x\in \mathbb{N}\]

Phân tích

* Chà, một phương trình lạ mắt, một phương trình ẩn xx lại nằm trong giai thừa! Lạ quá, từ xưa đến giờ chúng ta chỉ giải các phương trình mà ẩn nằm trong đa thức, căn thức và gần đây nhất là trong đối số của hàm lượng giác thôi. Giờ ẩn lại nằm trong giai thừa! Vậy làm thế nào để tìm x đây? [1]

* Bình tĩnh một chút, hãy nhớ lại xem các “sư phụ” 😀 thường bảo chúng ta làm gì khi gặp những “phương trình mới mẻ”, những phương trình mà chúng ta chưa biết giải? À, “khẩu quyết” [2] hay dùng khi đó là “đưa nó về phương trình đã biết giải” hay “quy lạ về quen”. Vậy hãy thực hiện vài phép rút gọn vế trái xem phương trình có thể trở thành như thế nào?

* Dễ thấy rằng x-1 là bé nhất nên ta sẽ biểu diễn các giai thừa còn lại theo (x-1)!, khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{(x-1)!x-(x-1)!}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{(x-1)!(x-1)}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)}\]

Tốt rồi, giai thừa đã bị “biến mất”, vế trái trở thành 1 biểu thức quen thuộc với tử là bậc nhất còn mẫu là bậc hai với ẩn x, trong khi vế phải là hằng số. Do đó, nhân chéo, chuyển vế và rút gọn thì phương trình đã cho trở thành một phương trình bậc hai quen thuộc.

* Trước khi thực hiện lời giải, chú ý rằng chúng ta đang giải phương trình có chứa ẩn trong giai thừa nên phải có điều kiện cho ẩn. Dễ thấy, điều kiện ở đây là 1\le x, x\in \mathbb{N}.

Lời giải

* Điều kiện: 1\le x, x\in \mathbb{N}

* Ta có:

    \[\frac{x!-(x-1)!}{(x+1)!}=\frac{(x-1)!x-(x-1)!}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{(x-1)!(x-1)}{(x-1)!x.(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)}\]

* Do đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình

    \[\frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{6}\]

\Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0

\Leftrightarrow x=2 ™, x=3

* Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x=2, x=3

Bình luận:

– Ở ví dụ này, một lần nữa chúng ta được chứng kiến sự “lợi hại” của khẩu quyết “Giai thừa lớn chứa giai thừa bé”. Nó giúp chúng ta giải quyết bài toán thật “ngon lành” 😀

– Chúng ta cũng được dịp ôn lại một khẩu quyết rất hay dùng khi giải các bài toán về phương trình: “Đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết giải” hay tư tưởng “Quy lạ về quen”

– Cuối cùng, hãy ghi nhớ khẩu quyết này nhé và hãy dùng nó để “chiến đấu” với bất cứ “đối thủ” nào có chứa giai thừa mà bạn gặp. Nếu bạn muốn có thêm “đối thủ” để luyện tập hay gặp phải đối thủ mà “khẩu quyết” trên không thể “hạ gục được nó” thì hãy gõ yêu cầu của bạn vào hộp bình luận phía dưới đây. Chúc bạn luôn chiến thắng! 🙂


Chú thích

  1. GV: Theo lý luận phương pháp dạy học giải quyết vấn đề thì đây là một tình huống có vấn đề []
  2. Xem thêm bài Khẩu quyết trong toán học []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Nam says:

    Chính xác! SGK không hề nói gì về Giai thừa.

    • Kinh nghiệm của tôi khi dạy bài Bài 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp, chia làm 3 tiết:

      • Tiết 1: Giai thừa và Hoán vị (Mạnh dạn đưa Giai thừa vào, vì tầm quạn trọng của nó như đã nói trong bài viết)
      • Tiết 2: Chỉnh hợp và Phân biệt Chỉnh hợp với Hoán vị
      • Tiết 3: Tổ hợp và Phân biệt Tổ hợp với Chỉnh hợp
      • Hồng Vân says:

        Quan trọng nhất khi dạy phần này phải cho hs phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp. Ta phải chỉ ra cho hs thấy bài toán nào yêu cầu sx có thứ tự, bài nào không yêu cầu.

  2. quá hay! 🙂 Cảm ơn anh nhiều ạ

  3. Thaiyuong says:

    Quá hay! Em cảm ơn anh nhiều ạ 🙂

  4. Silver Diamond says:

    Cám ơn anh nhiều! ; A ;

    Cái này không có nhắc đến trong SGK, em lại không đi học thêm nhà cô, vậy nên trong thời gian chẳng biết phải làm sao với dạng này ; A ;

  5. Có chi đâu,

    Em hãy chia sẻ kiến thức này cho bạn bè của mình nữa nhé. Chúng ta cùng tiến.

    Win-Win

  6. hiếugunny says:

    hay

  7. Quyền Anh says:

    tks

  8. Duc Nguyen says:

    hay và dễ hiểu

  9. M=2!/3! + 2!/4! + 2!/5!+…..+2!/2012! ai giai ho cai

  10. Nguyễn Quân says:

    bài này đề yêu cầu tính tổng theo n mà mình sài “khẩu quyết” không ra
    1.1!+ 2.2!+…….+ n.n!

  11. hay ưa.lai con de hieu nua

  12. Duong Bui says:

    Ai có thể giải giùm. cám ơn nhiều!!!!!!
    có 3 người (A,B,C) cùng gấp hạt. Người A gấp xong thì người B còn 13 con hạt, người C còn 23 con hạt. Tiếp tục người B gấp xong thì người C còn 9 con hạt.
    Hỏi. Với cùng thời gian cho bằng nhau thì mỗi người gấp dc bao nhiêu con?? ( Mổi người có năng xuất gấp hạt là khác nhau).

  13. nếu là như thế này thì làm thế nào ạ : (n+1)!/(2n+2)!

  14. Kết quả: 1/(n+2)(n+3)…(2n+2)

  15. hường says:

    hiểu đấy . thanks very much

  16. thùy dung says:

    thêm đoạn video thì hay biết mấy , cũng cụ thể hơn .Nhưng cũng cảm ơn bạn đã đang lên

  17. Hue Nguyen says:

    chứng minh 1!+2!+….+2015! là hợp số

  18. Hồng Vân says:

    Cảm ơn bạn. Quả thực trang này rất bổ ích.Tuy tôi đã nghỉ không còn dạy toán nữa, tuổi cũng cao nên khi cháu nội hỏi những bài toán giải pt tổ hợp tôi rất ngại suy nghĩ. Tôi sẽ hướng dẫn cháu tôi theo dõi trang này của bạn để tìm tòi thêm kiến thức toán học cho chúa.

  19. pt này có chỉnh hợp và hoán vị ạ: nA3 + 3*nA2 = 1/2 P(n+1)

  20. * Đk: 3 <= n, n thuộc tập số tự nhiên
    * PT <=> n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) = 1/2 (n+1)n(n-1)(n-2)!
    <=> (n-2) + 3 = 1/2 (n+1)(n-2)!
    <=> n + 1 = 1/2 (n+1)(n-2)!
    <=> 2 = (n-2)!
    * Nhận xét n = 3 không thỏa mãn và n = 4 là một nghiệm mà (n-2)! > 2 với mọi n > 4 nên phương trình có nghiệm duy nhất n = 4.

  21. Nguyễn Thế Phúc cam on ban nhieu nha

  22. mr3 says:

    giúp em với: tính đúng kết quả của 20!(dc sử dụng máy tính)

  23. Dũng Vũ Việt says:

    dạ có thể giải thích giùm em tại sao (x-1)!x – (x-1)! lại ra (x-1)!(x-1) được không ag!

    • Vì $$(x-1)!$$ là nhân tử chung nên đặt nó ra ngoài thì ta thu được kết quả như vậy. Bạn có thể làm như sau sẽ rõ ràng hơn: Đặt $$t=(x-1)!$$ thì biểu thức $$(x-1)!x – (x-1)!$$ sẽ thành $$tx-t=t(x-1)=(x-1)!(x-1)$$. Chúc bạn vui vẻ!

  24. phuong says:

    tại sao x!-(x-1)! lại ra (x-1)!x-(x-1)!

  25. Tuan says:

    Thường những bài viết như vầy khó hiểu vì không có lời giảng trực tiếp, nhưng bài này lại rất dễ hiểu. Cảm ơn thầy ạ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *