Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác

Vận dụng định lý Côsin một cách thành thạo là yêu cầu bắt buộc với hầu hết các học sinh THPT. Dưới đây mình trình bày định lý này cùng hệ quả của nó và kinh nghiệm vận dụng chúng.

  1. Định lý Côsin
  2. Hệ quả
  3. Cách vận dụng
  4. Bình luận

1. Định lý Côsin

Trong tam giác ABC, với AB=c, BC=a, CA=b. Ta luôn có
283a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos A

b^2 = c^2 + a^2 - 2ca.\cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.\cos C

Định lý có một ý nghĩa rất quan trọng:

Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xen giữa

Bạn ghi nhớ nhận xét này nhé, nó rất có ích trong thực hành và rất hay dùng đấy.

Từ định lý trên, ta dễ dàng suy ra hệ quả sau

2. Hệ quả

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng:

Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh.

Như vậy, nếu định lý Côsin cho phép ta tính cạnh thì hệ quả của nó cho phép ta tính góc. Sau đây chúng ta sẽ thấy tầm quan trọng của 2 ý nghĩa trên, qua việc vận dụng chúng vào bài toán khá quen thuộc: “Xây dựng công thức đường trung tuyến trong tam giác.”

3. Vận dụng

Ví dụ. Cho tam giác ABC, có AB=c, BC=a, CA=bM là trung điểm của BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM theo a, bc.

Phân tích

* Bài toán yêu cầu chúng ta tính độ dài một đoạn thẳng AM, mà nguyên tắc hay dùng để tính đoạn thẳng là xem nó là một cạnh của một giác nào đó.

284

* Theo đề bài, chúng ta có 2 lựa chọn, hoặc xem AM là cạnh của tam giác ABM hoặc là cạnh của tam giác ACM. Nhận thấy, vai trò của hai tam giác này là ngang nhau nên ta chọn tam giác nào cũng được. Mình chọn tam giác ACM. Lý do là vì Google khuyên vậy, 😯 nó bảo có khoảng 38.200.000 kết quả cho từ khóa ACM trong khi chỉ có khoảng 17.800.000 kết quả cho từ khóa ABM :mrgreen:

* Xét tam giác ACM, theo nguyên tắc chung, để tính cạnh AM ta cần biết hai cạnh còn lại là AC, CM và góc xen giữa hai cạnh đó là C. Dễ thấy AC=b theo giả thiết, còn CM=\frac{a}{2} do M là trung điểm của BC, nhưng thật đáng tiếc là ta chưa biết góc C! Như vậy, nếu tính được góc C thì AM sẽ tính được nhờ định lý Côsin.

AM^2 = CA^2 + CM^2 - 2.CA.CM.\cos\widehat{ACM}=b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\cos\widehat{ACM}\ (1)

* Nhận xét rằng, muốn tính góc trong tam giác ta cần biết ba cạnh của tam giác đó. Do đó, không thể xét tam giác ACM để tính góc C được, vì tam giác này đang còn thiếu cạnh AM mà ta cần tính.

* Nhưng, dễ thấy rằng góc C của tam giác ACM cũng là góc C của tam giác ABC. Trong khi tam giác ABC đã có cả 3 cạnh, vậy áp dụng hệ quả của định lý Côsin ta sẽ tính được góc C.

\cos\widehat{ACM} = \cos\widehat{ACB} = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2.CA.CB}=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}\ (2)

* Thay (2) vào (1), rồi rút gọn ta có kết quả

AM^2 = b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}

* Về lời giải, giống như nhiều bài viết khác, câu của mình vẫn là “Bạn tự làm nhé!” 😀

4. Bình luận

* Ta đã xây dựng được công thức đường trung tuyến của tam giác theo ba cạnh, là nhờ dựa vào hai luận điểm cơ bản “Muốn tính một cạnh, thì cần biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa”, “Muốn tính một góc, thì cần biết cạnh”. Đó cũng chính là hai ý nghĩa quan trọng của định lý Côsin và hệ quả của nó.

* Hiển nhiên, một bài toán có thể giải bằng nhiều cách! Vậy bạn có cách giải nào khác mà không dùng đến định lý Côsin và hệ quả của nó thì mách mình nhé. Hộp bình luận luôn ở dưới cuối bài viết này, mời bạn!


Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Cach tinh cac goc khi da biet cac canh nhu tren kho hieu qua vi danh dau cong tru nhan chia ko ro rang

    • Mình thấy các phép cộng, trừ, nhân chia khá rõ đấy chứ. Bạn dùng trình duyệt gì khi xem bài viết này, trên di động hay máy tính bảng hay laptop hay máy tính để bàn?

  2. Hà Nguyễn says:

    giúp e bài toán này ạ

  3. Em quên chưa gõ đề bài?

  4. Hà Nguyễn says:

    cho tam giacs abc có (a+b+c)(a+b-c)=3ab. tính góc c

  5. Hà Nguyễn says:

    vâng em cảm ơn thầy ạ

  6. Jason Nguyễn says:

    nếu a/cosB +c/cosC= a/sinBsinC thì tam vuông tại A

  7. Jason Nguyễn says:

    giúp em giải bài toán này nha thầy em cám ơn…

  8. Vế phải là a/(sinBsinC) phải không em?

  9. vinh says:

    Hay lam ban ah

  10. vinh says:

    Vay con cach van dung dinh ly sin thi sao nhi.lau wa quen het oih.co the chi giup dc hog

  11. Tấn Tiền says:

    tks vì bài viết của thầy

  12. Đề bài đúng phải là b/cosB + c/cosC = a/(sinB.sinC).

    – Khi đó bạn biến đối vế trái (b.cosC + c.cosB)/(cosB.cosC)
    – Chứng minh: b.cosC + c.cosB = a (Gợi ý, vẽ hình là chứng minh được ngay)
    – Từ đó có cosB.cosC = sinB.sinC và suy ra đpcm

    Bình luận: Cách giải trên sử dụng gì đến định lý Cosin và có vẻ như không áp dụng được định lý này để giải.

  13. hay! nhờ z mà em giải quyết đc bài toán của mình 1 cách suôn sẻ. cảm ơn thầy

  14. Bai viet rat co gia tri!

  15. giúp em bài này vs
    Cho tam giác ABC biết AC=13 AB=14 BC=15.giải tam giác ABC

  16. Bài toán rất cơ bản, em cố gắng tự giải lấy nhé.
    Gợi ý:
    – Đề bài cho độ dài 3 cạnh của tam giác và cần tìm số đo 3 góc của tam giác.
    – Sử dụng hệ quả định lý cosin để tính các góc của tam giác.

  17. giúp em pài này vs ?????????????????
    >>>>> . Cầm giải gấp"".''<<<<<<<<<<<<<<<<<
    cho tam giác ABC có A= 80*. Các tia phân giác của góc b và
    góc c cắt nhau tại I. tính BIC

  18. khoa says:

    Minh thay ben vat ly ap dung a2 + b2 + 2ab*cos(ACB) vay khi nao + va khi nao –

  19. Bạn nào cho mh xin mấy đề bài để làm mới ạ

  20. Có đề bài mới không AD ơi

  21. Mask Bic says:

    BIC = 50° . Bạn

  22. Cho e hỏi [cfrac?] là j vậy ạ ? Bấm vào máy tính như thế nào vậy thầy

  23. Đó là cú pháp gõ phân số. Không hiểu sao nó không hoạt động, cảm ơn em đã phản hồi.

  24. Tran van vu says:

    1 Tam giác cho 2 cạnh thi tinh góc nhu the nao ban

    • – Nếu là tam giác vuông thì bạn có thể áp dụng các tỉ số lượng giác để tính góc.

      – Nếu là tam giác bất kì thì cần thêm 1 đại lượng thứ 3 nữa mới có thể xác định các góc.

      Chúc bạn thành công!

  25. Liên says:

    Cách giải bài toán khi biết dố đo hai cạnh và số đo một góc .Tính cạnh còn lại và diện tích tam giác đó.Ta áp dụng công thức nào ?

    • Bạn áp dụng Định lí Cosin để tính cạnh còn lại và áp dụng công thức diện tích $$S=\frac{1}{2}a.b.\sin{C}$$ để tính diện tích tam giác.

      Chúc bạn thành công!

  26. Quốc Trần Anh says:

    Anh ơi em vẫn chưa hiểu chỗ ta tính ra được AM thì làm sao để tính tiếp các góc thế ?

  27. Quốc Trần Anh says:

    Sao ko tìm ra cá góc luôn đi thầy

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *