Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Bạn đang xem phần 1 / 3 của series Cách tính logarit.

“Tính một logarit theo các logarit đã cho” là bài toán thường gặp với giáo viên và các bạn học sinh lớp 12, khi dạy và học về Logarit. Thực tế cho thấy, với bài dễ thì học sinh giải không khó khăn gì, nhưng với một bài toán khó hơn chút xíu thì nhiều bạn lại khá lúng túng. Sở dĩ có tình trạng như vậy là vì các bạn chưa nhìn ra bản chất của bài toán từ đó có một đường-lối chung để giải quyết các bài cùng loại. Bài viết này mình chia sẻ một đường-lối chung để giải quyết các bài toán loại này.

  1. Ví dụ 1: Tính logarit theo 1 logarit đã cho
  2. Ví dụ 2: Vẫn tính logarit theo 1 logarit đã cho 😀
  3. Bài toán tổng quát
  4. Ví dụ 3: Tính logarit theo 2 logarit đã cho
  5. Lưu ý dạy và học

Để tìm hiểu đường-lối đó ra sao, chúng ta bắt đầu với một ví dụ sau có trong SGK Giải tích 12.

1. Tính một logarit theo 1 logarit đã cho

Ví dụ 1. Cho \alpha = \log_2{20}. Hãy tính \log_{20}{5} theo \alpha. [1]

Phân tích

* Vì hai logarit không cùng cơ số nên ta sẽ đổi cơ số của logarit cần tính về cơ số của logarit đã cho

\log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\log_2{5}}{\alpha}

* Do đó, bài toán trở thành

Tính \log_2{5} theo \alpha = \log_2{20}

* Nhận xét, vì hai logarit có cùng cơ số nên để tính logarit thứ nhất theo logarit thứ hai thì ta cần biểu diễn 5 theo 20. Thật đơn giản, ta có 5=\frac{20}{4}, do đó:

\log_2{5}=\log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}=\alpha - \log_2{(2^2)}=\alpha - 2

* Để tập trung vào nội dung chính là tìm đường-lối chung, mình không trình bày lời giải của ví dụ này và các ví dụ dưới đây. Bạn tự trình bày nhé.

Bình luận

Bạn có thấy cách phân tích như thế dễ hiểu và tự nhiên không? Chỉ cần biểu diễn 5 theo 20 là chúng ta đã giải được bài toán một cách thật dễ dàng. Hãy sử dụng kinh nghiệm đó để giải tiếp một toán tương tự sau đây, xem sao:

2. Vẫn tính một logarit theo 1 logarit đã cho 😀

Ví dụ 2. Cho a=\log_{15}{3}. Tính \log_{15}{25} theo a.

Phân tích

* Với kinh nghiệm giải ví dụ 1 trên, nhận xét rằng hai logarit này cùng có cơ số là 15 nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc biểu diễn 25 theo 3

* Ồ, bạn thấy ngay! Làm sao có thể biểu diễn 25 theo 3 được? Chúng là hai số nguyên-tố-cùng-nhau mà [2]. Vậy, nếu không biểu diễn được 25 theo 3 thì làm sao tính được \log_{15}{25} theo \log_{15}{3} đây?

* Nhưng rõ ràng, ở ví dụ 1 chỉ cần biểu diễn 5 theo 20 là ta có thể giải quyết bài toán thật “ngon lành” mà. Không nhẽ vì ta đã giải ví dụ 1 một cách dễ dàng quá nên chưa hiểu hết bản chất của cách giải chăng? Thử nghiên cứu lại cách giải ở ví dụ 1 xem sao? Ta đã làm gì:

– Vì cần biểu diễn 5 theo 20 nên ta viết 5=\frac{20}{4}

– Sau đó áp dụng phép toán logarit của một thương, ta có: \log_2{\frac{20}{4}}=\log_2{20}-\log_2{4}

– Tiếp theo, vì 4=2^2 nên áp dụng phép toán logarit của một lũy thừa có cùng cơ số, ta có:

\log_2{4}=\log_2{(2^2)}=2

* Ồ, phải rồi. Sở dĩ việc biểu diễn 5 theo 20 giúp tính được \log_2{5} theo \log_2{20} là vì ta tính được \log_2{4}. Việc tính được \log_2{4} là vì 4 là lũy thừa có cơ số bằng với cơ số của logarit (cơ số 2). Như vậy, bản chất của cách giải trên không chỉ có mỗi việc biểu diễn 5 theo 20 mà phải hiểu là đầy đủ là: “Biểu diễn 5 theo tích hoặc thương các lũy thừa của 20 và của 2 – cơ số của logarit.” [3]

* Hãy vận dụng hiểu biết mới này cho ví dụ trên. Để tính \log_{15}{25} theo \log_{15}{3}, ta cần biểu diễn 25 theo tích hoặc thương của các lũy thừa nào? Đó là lũy thừa của cơ số và đối của logarit đã cho: 153. Ta có:

25=5.5=\frac{15}{3}.\frac{15}{3}=\left (\frac{15}{3}\right )^2

* Do đó, bài toán được giải quyết:

\log_{15}{25}=\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )^2}=2\log_{15}{\left (\frac{15}{3}\right )}=2(\log_{15}{15}-\log_{15}{3})=2-2a

Kết luận

Muốn tính một logarit theo một logarit đã cho cùng cơ số ta biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích hoặc thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho. Đó chính là nội dung của bài toán tổng quát dưới đây.

3. Bài toán tổng quát

Bài toán: Cho \alpha = \log_a{x} với 0 < a,x,ya\ne 1. Tính \log_a{y} theo \alpha.

Giải

* Giả sử tồn tại hai số m,n\in \mathbb{R} sao cho y=a^m.x^n

* Khi đó ta có:

\log_a{y}=\log_a{(a^m.x^n)}=\log_a{a^m}+\log_a{x^n}=m+n.\log_a{x}=m+n.\alpha

Nhận xét:

– Nếu không tồn tại hai số m,n thỏa mãn y=a^m.x^n thì rõ ràng bài toán không có đáp số!

– Nếu tồn tại 2 số m,n\in \mathbb{R} sao cho y=\frac{a^m}{x^n} thì tính tương tự.

– Trong thực hành, mấu chốt là tìm được hai số m,n. Đòi hỏi bạn phải khéo léo biến đổi, thực hiện các phép toán số học và lũy thừa.

Cách tính một logarit theo một logarit cùng cơ số cho đã cho.

Cách tính một logarit theo một logarit cùng cơ số cho đã cho.

Vậy bạn nhớ nhé, cứ “Biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích/thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho” là bài toán được giải quyết. Giờ chúng ta sẽ vận định-hướng này cho ví dụ dưới đây.

4. Tính một logarit theo 2 logarit đã cho

Ví dụ 3. Cho \log_{14}{7}=a,\log_{14}{5}=b. Tính \log_{35}{28} theo a,b.

Phân tích

* Vì logarit cần tính không cùng cơ số với hai logarit đã cho nên trước tiên ta cần đổi về cùng cơ số 14:

\log_{35}{28}=\frac{\log_{14}{28}}{\log_{14}{35}}

* Dễ thấy rằng 35=7.5 nên \log_{14}{35}=\log_{14}{7}+\log_{14}{5}=a+b

* Giờ ta tiếp tính \log_{14}{28} theo các logarit \log_{14}{7}\log_{14}{5}. Muốn vậy, ta chỉ cần biểu diễn 28 thành tích/thương các lũy thừa của 14;75 là xong. Ta có:

28=14.2=14.\frac{14}{7}=\frac{14^2}{7}

Suy ra \log_{14}{28}=\log_{14}{\frac{14^2}{7}}=\log_{14}{14^2}-\log_{14}{7}=2-a

* Vậy \log_{35}{28}=\frac{2-a}{a+b}

5. Lưu ý dạy và học

* SGK đã trình bày lời giải ví dụ 1 ở trên, như sau:

Ta có

\alpha=\log_2{20} = \log_2{(2^2.5)}=2\log_2{2} + \log_2{5} = 2 + \log_2{5}

suy ra \log_2{5}=\alpha -2

Vậy \log_{20}{5}=\frac{\log_2{5}}{\log_2{20}}=\frac{\alpha - 2}{\alpha}

Bạn có thấy cách trình bày dễ hiểu và tự nhiên không? Mình nghĩ cách trình bày như vậy rất không tự nhiên, khó hiểu với những bạn mới bắt đầu học về logarit và do đó nó không giúp ích gì nhiều cho các bạn tự học.

* Hãy dùng bí-quyết trên để giải quyết các bài toán tương tự mà bạn gặp. Nếu bạn gặp một bài toán loại này mà bí-quyết trên không giúp bạn giải được nó thì hãy gõ nó hộp bình luận dưới đây và chúng ta cùng “xử-lý” nó. 😀

Xem tiếp phần 2: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)


Chú thích

  1. SGK Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008, trang 66, ví dụ 7 []
  2. Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có Ước chung lớn nhất là 3 []
  3. Bạn có thể thắc mắc, tại sao lại là tích hoặc thương? Là tổng hay hiệu thì sao? Nếu bạn tự đặt được câu hỏi đó thì chúc mừng bạn nhé, bạn có tư duy phê phán rất tốt. Và thách thức của bạn là “Sao bạn không tự tìm câu trả lời nhỉ?” Nếu bí quá thì cứ gõ đề nghị giải thích vào hộp bình luận ở phía dưới []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpCách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2) →

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!
  1. Hì hì, anh có một ý khá hay. Giải quyết một lớp vấn đề thú vị và không dễ. Nhưng em lại làm khác!

  2. Ồ, anh rất tò mò cách làm của em?

  3. Theo anh. logarit có liên quan gì đến hình học không ạ?

  4. Minhnd Ngocminh Logarit và Hình học? Anh ngạc nhiên đấy! Anh háo hức muốn nghe ý tưởng của em lắm rồi đấy!

  5. Em cũng thế. Em cũng tò mò ý tưởng của anh Minhnd Ngocminh 🙂

  6. Catus Smile: Em tìm hiểu trước đi đã nhé!

  7. Dạo này ko luyện thi nên lười anh ạ:(

  8. Mình có nên viết thêm bài kết giải quyết triệt để bài toán không? Hay tiếp tục chờ đợi sự phát hiện của các bạn? Đã hai ngày trôi qua, sau khi bài viết online.

  9. Luonghaihau Bui: Tôi đã cập nhật phần hai, mời thầy cùng trao đổi: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

  10. tiên học toán says:

    bạn giúp mình bài này với
    cho a= log5(18); b= log5(60). Hãy biểu diễn log3(2) theo a và b
    bài này mình đã thử dùng theo cách của bạn nhưng không ra, hic, giúp mình với
    mình cảm ơn nhiều nhé 🙂

  11. khanhnguyen says:

    log2(3)=a va log3(5)=b ,tinh log7(2) theo a va b

  12. Nhựt Khánh Lê says:

    làm sao để tải về

  13. Bạn đọc, hiểu, vận dụng là được rồi. Tải về làm chi?

  14. Như Uyên says:

    cách diễn giải rất tự nhên & dễ hiểu.. mong tác giả trang này sẽ có thêm nhiu bai viet hay hon nua….
    điều thú vị của việc học các môn tự nhiên k fải nằm ở việc biết cách làm.. mà là hiểu bản chất of vấn đề

  15. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân says:

    Lg10=a lg cơ số 20 của 50 bằng b tính lg cơ số 9 của 40 theo a,b

  16. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân says:

    Sorry lg15 =a, lg cơ số 20 của 50 bằng b tính …..

  17. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân says:

    Nếu ko tách dc về dạng tích và thương thì seo ad

  18. Câu trả lời ở phần hai, bạn đọc và tự trả lời nhé: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho-phan-2

  19. Nguyễn Huỳnh Thành Nhân Gợi ý: Bạn đổi các logarit cần tính và logarit đã cho về cơ số 10. Chú ý thêm rằng: log 2 = 1 – log 5.

  20. Xin chỉ cho cách tính hoặc tính giúp luôn:Cho: lnX = 78.0351, tính X?

  21. lnX = 78.0351 <=> X = e^{78.0351}

  22. thầy hướng dẫn giúp e với ạ a^ {căn bậc hai của loga cơ số a của b} – b^{loga cơ số b của a} = 0

  23. cám ơn về bài viết, nội dung rất hữu ích.

  24. cám ơn về bài viết, nội dung rất hữu ích.

  25. Hddh says:

    Giúp mk với ạ: cho log3(5)=a. Tính log√45(75) theo a

    • Bạn chỉ cần biểu diễn logarit cần tính theo logarit cơ số 3 là được.

      Đáp số:
      \[\log_{\sqrt{45}}{75}=2\frac{1+2a}{2+a}\]

  26. phạm thị cẩm nhung says:

    Cho log(2)5=a.tinh log(20)900 theo a

    • Với đề bài như thế, thì kết quả chỉ có thể như sau:

      \[\log_{20}{900}=\frac{2\log_{2}{3}+2+2a}{2+a}\]

      Em có chắc chắn đã gõ đúng đề bài?

  27. đạt says:

    giúp mình với : biết log2(5)=a, log2(3)=b. tính A=c^log căn c(a * căn b * căn bậc 3 của c).

  28. ln(N/N0)=-kt tính log(n/N0)

  29. long says:

    cho c =15^3 tính log25 cuar15 theo c

    • Câu hỏi của bạn thật sự không liên quan lắm đến chủ đề của bài viết. Bạn hoàn toàn có thể giải được, gợi ý là lấy logarit cơ số 25 hai vế của $$c=15^3$$ là bạn sẽ có đáp số.

      Chúc may mắn!

  30. trang says:

    log14 (28)=a. tính log14 (44) theo a tính thế nào, thưa thầy?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *