Cách tính một logarit theo các logarit đã cho (Phần 2)

Bạn đang xem phần 2 / 3 của series Cách tính logarit.

bài viết trước chúng ta đã biết định-hướng chung để giải quyết bài toán “Tính một logarit theo các logarit đã cho cùng cơ số” là “Biểu diễn đối số của logarit cần tính thành tích hoặc thương các lũy thừa của cơ số và đối số của logarit đã cho”. Tuy nhiên, ngay cả khi chúng ta đã có một định-hướng để giải quyết thì vẫn còn nhiều khó khăn, khi gặp phải những bài toán:

  • yêu cầu tính theo 2, 3 logarit cho trước hay nhiều hơn nữa
  • cơ số của các logarit đều khác nhau
  • việc biểu diễn đối số cần tính theo cơ số và các đối số đã cho không dễ dàng

Bài viết này chúng ta cùng nhau tìm cách giải quyết triệt để các khó khăn trên. Trước tiên, hãy xem ví dụ sau có khó khăn gì.

Ví dụ 1

Cho a=\log{196},b=\log{56}. Tính \log{0.175} theo a,b

Phân tích

* Đối số của logarit cần tính “quá bé nhỏ” so với đối số của hai logarit đã cho. Ta sẽ “phóng to” nó lên một chút 😀

\log{0.175}=\log{(175.10^{-3})}=\log{175}-3

* Bài toán trở thành: Tính \log{175} theo \log{196}\log{56}. Do đó, ta cần biểu diễn 175 thành tích các lũy thừa của 10, 196 và 56. (Vì sao lại biểu diễn theo cả lũy thừa của 10 ấy nhỉ? Nếu quên thì xem lại bài viết trước nhé!)

– Ta có: 175=5^2.7; 10=2.5; 196=2^2.7^2; 56=2^3.7

– Suy ra: 175 = 5^2.7 = \frac{5^2.2^2}{2^2}.7=10^2.\frac{7}{2^2}

– Giờ làm thế nào tiếp đây? Nếu nhân cả tử và mẫu với 2 ta được

    \[\frac{7}{2^2}=\frac{7.2}{2^3}=\frac{(196)^\frac{1}{2}}{2^3}\]

thì thừa 2^3 ở mẫu. Còn nếu nhân cả tử và mẫu với 2.7 thì

    \[\frac{7}{2^2}=\frac{7^2.2}{2^3.7}=7.\frac{(196)^\frac{1}{2}}{56}\]

và vẫn còn thừa 7.

“Thêm thêm bớt bớt” theo kiểu nào cũng còn thừa, không nhẽ bài toán vô nghiệm? Nếu vô nghiệm thì cũng phải chứng minh nó vô nghiệm thì bài toán mới được giải chứ! 🙁

* Đây là khó khăn chủ yếu khi chúng ta gặp những bài toán tính theo 2 hay nhiều logarit cho trước. Có cách nào giải quyết triệt để khó khăn này không? Chứ mỗi lần gặp phải bài như thế lại phải lần mò cách biểu diễn sao!

Ý tưởng

* Quay lại với câu hỏi mấu chốt: “Biểu diễn 175 thành tích các lũy thừa của 10, 196 và 56” và cố gắng phát biểu nó một cách tổng quát hơn xem sao? Đúng vậy, thực chất là chúng ta muốn tìm ba số m,n,p sao cho

175=10^m.196^n.56^p

– Ồ, phải rồi. Chúng ta có 1 phương trình ba ẩn m,n,p và chúng là số mũ của các lũy thừa.

– Mà các cơ số của các lũy thừa trên đều có thể biểu diễn thành tích các thừa số nguyên tố. Nên ta nghĩ đến việc biểu diễn chúng thành tích các thừa số nguyên tố để được các lũy thừa có cùng cơ số. Ta có

175=10^m.196^n.56^p

\Leftrightarrow 5^2.7^1=(2.5)^m.(2^2.7^2)^n.(2^3.7)^p

\Leftrightarrow 2^0.5^2.7^1=2^{m+2n+3p}.5^m.7^{2n+p}\ (*)

– Vì 2, 5 và 7 là các số nguyên tố cùng nhau nên

    \[(*)\Leftrightarrow \begin{cases}m+2n+3p=0\\ m=2 \\ 2n+p=1\end{cases} \Leftrightarrow m=2,n=\frac{5}{4},p=-\frac{3}{2}\]

– Một cách tiếp cận hiệu quả, chúng ta tìm được 3 số m,n,p một cách thật dễ dàng và nhẹ nhàng. (Bấm máy, máy bảo có 3 nghiệm trên mà lị -:D) Bài toán được giải quyết và chúng ta trình bày lời giải thôi.

Lời giải

* Ta có

\log{0.175}=\log{(175.10^{-3})}=\log{175}-3

* Giả sử tồn tại ba số m,n,p sao cho 175=10^m.196^n.56^p

\Leftrightarrow 5^2.7^1=(2.5)^m.(2^2.7^2)^n.(2^3.7)^p

\Leftrightarrow 2^0.5^2.7^1=2^{m+2n+3p}.5^m.7^{2n+p}\ (*)

* Vì 2, 5 và 7 là các số nguyên tố cùng nhau nên

    \[(*)\Leftrightarrow \begin{cases}m+2n+3p=0\\ m=2 \\ 2n+p=1\end{cases} \Leftrightarrow m=2,n=\frac{5}{4},p=-\frac{3}{2}\]

* Do đó

    \[\log{175}=\log{(10^2.196^{5/4}.56^{-3/2})}=2+\frac{5}{4}\log{196}-\frac{3}{2}\log{56} = 2+\frac{5}{4}a-\frac{3}{2}b\]

* Vậy \log{0.175}=\frac{5}{4}a-\frac{3}{2}b-1

Bình luận

– Chúng ta có thể không cần phân tích 0.175=175.10^{-3} và tìm luôn ba số m,n,p thỏa mãn

0.175=10^m.196^n.56^p

Tuy nhiên, không nên làm vậy, vì nếu làm như thế sẽ tăng thêm khối lượng tính toán không cần thiết khi phải phân tích 0.175=2^{-3}.5^{-1}.7^1

– Chúng ta có một cách tổng quát để biểu diễn một số theo tích lũy thừa của các số đã cho: Chỉ cần thiết lập phương trình lũy thừa (mũ) và phân tích các số thành thừa số nguyên tố. Từ đó ta có chiến lược tổng quát sau để giải các bài toán loại này.

Chiến lược tổng quát

Chiến lược tổng quát

Chiến lược tổng quát

B1: Quy các logarit đã cho về cùng một cơ số (nếu cần)

B2: Thiết lập phương trình lũy thừa (mũ) của các đối số và cơ số

B3: Phân tích các số thành tích các thừa số nguyên tố, thu được hệ phương trình

B4: Giải hệ phương trình và tính logarit đã cho

Hãy kiểm chứng hiệu quả của chiến-lược trên cho ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2

Cho a=\log_{7}{12},b=\log_{12}{24}. Tính \log_{54}{168} theo a,b

Phân tích

* Vì 24=12.2 nên \log_{12}{24}=\log_{12}{12.2}=1+\log_{12}2, từ đó có \log_{12}{2}=b-1

* Chúng ta có 3 logarit với 3 cơ số khác nhau: logarit cần tính có cơ số 54, còn hai logarit đã cho có cơ số 7 và 12. Ta phải đổi 54 về một trong hai cơ số đã cho, nhưng theo 7 hay 12?

– Quy về 7 thì

    \[b-1=\log_{12}{2}=\frac{\log_{7}{2}}{\log_{7}{12}}=\frac{\log_{7}{2}}{a}\Rightarrow \log_{7}{2}=ab-a\]

– Quy về 12 thì

a=\log_{7}{12}=\frac{1}{\log_{12}{7}}\Rightarrow \log_{12}{7}=\frac{1}{a}

– Rõ ràng, đổi sang 12 thì hơn

* Bài toán trở thành, tính \log_{54}{168} theo \log_{12}{2}=b-1\log_{12}{7}=\frac{1}{a}. Trước tiên, ta cần đổi cơ số

\log_{54}{168}=\frac{\log_{12}{168}}{\log_{12}{54}}

* Để tính \log_{12}{168} theo \log_{12}{2}\log_{12}{7}, ta biểu diễn 168 thành tích của các lũy thừa cơ số 12, 2 và 7.

– Giả sử tồn tại các số m,n,k sao cho

    \[168=7^m.2^n.12^k \Leftrightarrow 2^3.3^1.7^1 = 7^m.2^n.(2^2.3)^k \Leftrightarrow 2^3.3^1.7^1 = 2^{n+2k}.3^k.7^m\ (1*)\]

– Vì 2, 3 và 7 là các nguyên tố cùng nhau nên

    \[(1*) \Leftrightarrow \begin{cases}n+2k=3\\k=1\\m=1\end{cases}\Leftrightarrow m=k=n=1\]

– Do đó

\log_{12}{168}=\log_{12}{(7.2.12)}=\log_{12}{7}+\log_{12}{2}+1

=\frac{1}{a}+(b-1)+1=\frac{ab+1}{a}

* Tương tự, để tính \log_{12}{54} theo \log_{12}{2}\log_{12}{7}, ta biểu diễn 54 thành tích các lũy thừa của 12, 2 và 7.

– Giả sử tồn tại các số m,n,k sao cho

54=7^m.2^n.12^k \Leftrightarrow 2.3^3 = 2^{n+2k}.3^k.7^m\ (2*)

– Vì 2, 3 và 7 là các nguyên tố cùng nhau nên

    \[(2*) \Leftrightarrow \begin{cases}n+2k=1\\k=3\\m=0\end{cases}\Leftrightarrow m=0,n=-5,k=3\]

– Do đó

    \[\log_{12}{54}=\log_{12}{(2^{-5}.12^3)}=-5\log_{12}{2}+3=-5(b-1)+3=8-5b\]

* Vậy

    \[\log_{54}{168}=\frac{\log_{12}{168}}{\log_{12}{54}}=\frac{ab+1}{8a-5ab}\]

* Về lời giải, bạn tự trình bày nhé. Nhưng trước khi trình bày thì nên đọc Bình luận dưới đây để có lời giải tốt hơn. 😀

Bình luận

– Ở bước biểu diễn 168 thành tích các lũy thừa của 12, 2 và 7. Ta không cần thiết lập phương trình mũ, vì có thể phân tích được ngay 168=2^3.3.7=2.(2^2.3).7=2.12.7 và do đó \log_{12}{168}=\log_{12}{(2.12.7)}=\log_{12}{2}+1+\log_{12}{7}

– Bây giờ thì còn chần chừ gì nữa, hãy lấy SGK, SBT ra làm vài bài nữa để nắm vững chiến-lược trên. Nếu có khó khăn thì đừng ngại đặt câu hỏi, hãy gõ nó vào hộp bình luận dưới đây.

Thà thức thâu đêm để tìm hiểu, còn hơn là thắc mắc mãi trăm năm.
— Friedrich Engels

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếpHỏi đáp: Cách tính một logarit theo các logarit đã cho →← Cách tính một logarit theo các logarit đã cho

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Tuyệt vời ông mặt trời!

  2. Khó hiểu, % thi thấp 😀

  3. Que Nguyen says:

    hay Thầy nhỉ? cách mới lạ

  4. Que Nguyen says:

    Rất hay Thầy ạ. Cảm ơn Thầy .

  5. @ Anh Bình Lê: Thực tế em đã nêu càng chứng tỏ giá trị của bài viết như thế này.

  6. Ngựa Hoang says:

    quá hay. cảm ơn thầy..vì bài này mà e lo suốt 1 tuần nay

  7. Anh Bình Lê Nếu học để thi thì thi xong em còn gì?

  8. 🙂 Đấy chỉ là ý kiến của em thôi; [ lim(suy nghĩ)=20 ].
    Em không yêu toán mấy, nhưng em thích mấy con số, đặ biệt số .000 :))

  9. Lực Hoàng says:

    hay lắm thầy

  10. Chut Ga says:

    hoi dai ! … co nhieu cach giai nhanh hon nhieu 😀

  11. Đúng rồi, nhiều cách nhanh hơn nhiều. 🙂 nhưng đó cũng là hạn chế của nhiều cách khác bạn ạ. Hạn chế thể hiện ở chỗ, mỗi bài lại giải một kiểu thì mới nhanh, và không có một "định hướng chung" hay "chiến lược rõ ràng" để đi đến đích.

    Bài viết muốn giới thiệu một cách giải với từng bước đi rõ ràng để đi đến đích cho TẤT CẢ các bài cùng loại, chứ không mang tính mò mẫm, may mắn, được chăng hay chớ, giải mà không rõ từng bước như thế nào để đi đến đích.

    Bạn có thể thử sức với một bài toán mới được một độc giả đề nghị sau đây, để thấy rõ ý nghĩa của bài viết: https://thapsang.vn/cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho#comment-471

  12. Log 12 của 2 là a. Tính log 27 cua 12

  13. Chào bạn, câu hỏi của bạn đã được giải đáp tại đây: https://thapsang.vn/hoi-dap-cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho

    Nếu còn thắc về bài toán này hay bài toán khác thì đừng ngại hỏi nhé.

    Chúc bạn vui vẻ!

  14. kiều duyên says:

    chứng minh rằng log2 (5) + log5 (2) > 2

    • Câu hỏi của bạn không liên quan đến nội dung bài viết lắm, tuy nhiên mình vẫn trả lời bạn:

      Bất đẳng thức tương đương với

      \log_2{5} + \frac{1}{\log_2{5}}>2

      Do \log_2{5} > 0 nên bất đẳng thức trên tương đương với

      (\log_2{5})^2 - 2.\log_2{5} + 1>0 \Leftrightarrow (\log_2{5}-1)^2>0

      Bất đẳng thức trên luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng. (Đpcm)

  15. ßảo Trần says:

    Tính log cơ số 49 của 16 hbiet log cơ sô 14 cua 28 bang a

  16. Chào bạn, câu hỏi của bạn đã được giải đáp tại đây: https://thapsang.vn/hoi-dap-cach-tinh-mot-logarit-theo-cac-logarit-da-cho#q3

    Nếu còn thắc về bài toán này hay bài toán khác thì đừng ngại hỏi nhé.

    Chúc bạn vui vẻ!

  17. ßảo Trần says:

    Log cơ số a cua x = anpha log co so b cua x =beta log cơ sô abc cua gama. Tih log cơ sô c cua x

  18. ßảo Trần says:

    3 mu˜ 4log3(5) + 3 mu˜ 3log3(6) + 3mu˜ 2log3(7)

  19. Bài này không liên quan đến chủ đề của bài viết, tuy nhiên gợi ý bạn là áp dụng tính chất: a^{\log_a{x}} = x

    Tức là: a mũ logarit cơ số a của x thì bằng x. Nói cách khác: lũy thừa có số mũ là logarit cùng cơ số thì bằng đối số của logarit.

  20. Mình không hiểu đề bài, bạn có thể viết đề bài dễ hiểu hơn không? Hãy viết tay ra giấy, chụp ảnh upload lên tường của bạn rồi tag tôi.

  21. ßảo Trần says:

    Tu lm dc ui hi co môi bai khó la cm thui y=10 mũ(1/1-logx) z=10 mũ(1/1-logy). Cm x=10mũ (1/1-logz)

  22. Thạch Trần says:

    bài viết rất hay cảm ơn thầy

  23. Như Uyên says:

    cái hpt.. công thức tổng quát là s tar??

  24. Hình ảnh đó là minh họa chiến lược thông qua ví dụ cụ thể. Tổng quát thì nó hơi rườm rà: Muốn biểu diễn một logarit theo hai logarit cùng cơ số, ta biểu diễn đối số thứ nhất thành tích của 3 lũy thừa với cơ số lần lượt là đối thứ nhất, đối số thứ hai và cơ số của logarit.

  25. letran says:

    Bài này tính thế nào nhỉ,cho ln(2)=a, ln(5)=b. tính ln3 theo a,b????

  26. letran says:

    cảm ơn bài chia sẻ của thầy, nội dung rất hữu ích.

  27. cho a= log cơ số 2^3 ,b=log cơ số 3^5,c=log cơ số 7^2 . TÍnh a ,b ,c theo log cơ số 140^63 theo a , b ,c

  28. Ban co the go lai de bai mot cach chinh xac?

  29. Tính log cơ số 49 của 75, biết log cơ số 45 của 157 =a, log cơ số 21 của 75 =b

  30. Bee Ngoc says:

    Cho a=log cơ số 2 của 5,b=log cơ số 2 của 3. Tính log cơ số 3 của 675 theo a

  31. Thầy hướng dẫn, em cố gắng nhé. Nếu còn khó khăn thì cứ hỏi.

    Bước 1: Quy logarit cần tính về logarit cơ số 2. (Vì giả thiết cho a, b là hai logarit cơ số 2).

    Bước 2: Phân tích 675 thành tích của các lũy thừa có cơ số 2, 3 và 5.

    Bước 3: Kết luận

    Chúc em thành công!

  32. Sương says:

    Rất cảm ơn vì bài viết hữu ích này của thầy.

  33. linh says:

    cho log25(7)=a, log2(5)=b. tinh log5(48/9) theo a,b

  34. thuy says:

    thầy ơi e thử áp dụng cách thầy mà câu này mãi chưa ra ạ
    log6(15)=a, log12(24)=b. tính log125(48)

    • Có thể giải được em ạ, em cần đưa tất cả các logarit về cùng 1 cơ số. Theo thầy thì nên đưa về cơ số 3 để thuận lợi nhất.

      Chúc em thành công!

  35. Cuong says:

    Chào thầy, bài viết của thầy cực kì dễ hiểu.
    Thầy cho hỏi thầy có sử dụng phần mềm nào dùng để đảo đề trắc nghiệm toán mà lấy nguồn từ file latex không?
    Bởi mình có thấy 1 phần mềm Mcmic nhưng nhúng từ file word. Nếu thầy biết thì có thể chia sẻ cho mình được chứ? Và có hướng dẫn sử dụng nữa nhé 😀
    Cám ơn thầy.

    • Cảm ơn thầy ghé thăm blog của tôi. Rất tiếc tôi không có nhiều kinh nghiệm về phần mềm trắc nghiệm. Trước đây tôi thích dùng phần mềm trắc nghiệm của tác giả Phạm Trung vì nó nhỏ gọn, hiệu quả và sử dụng rất đơn giản. Nhưng đáng tiếc là tác giả đã không còn phát triển nó nữa để phù hợp với phiên bản của MS Word sau này. Hiện tại tôi cũng dùng McMix phiên bản miễn phí nhưng cũng khá tốt.

      Thân mến,

  36. Ngân says:

    Cho log15 = a ; log(20)50 = b
    Tính log(9)40

    • Bạn tham khảo:

      * \log_{9}{40}=\frac{\log{40}}{\log{9}}=\frac{1+2\log{2}}{2\log{3}}

      Bài toán trở thành: “Tính \log{2},\log{3} theo a,b.

      * Ta có: \log_{15}=\log{3}+\log{5}=\log{3}+1-\log{2}, vì \log{5}=\log{\frac{10}{2}}=\log{10}-\log{2}=1-\log{2}

      Suy ra a=\log{3}+1-\log{2}\ (1)

      \log_{20}{50}=\frac{\log{50}}{\log{20}}=\frac{1+\log{5}}{1+\log{2}}=\frac{2-\log{2}}{1+\log{2}}

      Suy ra b=\frac{2-\log{2}}{1+\log{2}}\ (2)

      Từ (1)(2) bạn sẽ tìm suy ra được kết quả.

      Chúc may mắn!

  37. sen says:

    thầy ơi cho em hỏi ở vd 1 phần phân tích chỗ dấu sao thứ hai : chỗ ta có và suy ra tại sao lại như vậy hả thầy

    • Vì muốn phân tích 175 thành tích các lũy thừa của 10, 196 và 56 thì cần phải biết các số đó có thể biểu diễn theo các thừa số nguyên tố như thế nào. Chẳng hạn, vì 10 = 2*5 nên muốn biểu diễn 175 theo 10 thì 175 phải phân tích được thành tích của 2 và 5.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *