Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức (Phần 2)

Trước khi tiếp tục với Ví dụ 2, chúng ta nhắc lại một số ý cơ bản đã biết ở phần 1:

  • Hàm số đơn điệu trên một tập là nửa khoảng hay đoạn thì đạt GTLN (GTNN) tại các đầu mút của tập đó.
  • Khi chứng minh hàm số đồng biến trên tập là nửa khoảng hay đoạn thì cần kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó.
  • Chiến lược 3 bước để chứng minh bài toán tổng quát.

Lời nhắn: Nếu bạn chưa đọc phần 1 của bài viết này thì hãy đọc nó đã nhé, sau đó mới đọc phần này.

Bây giờ hãy sử dụng tất cả “hành trang” đó cho ví dụ 2. Mà bạn đã giải quyết bài toán mở rộng từ ví dụ 1 mà tôi gợi ý chưa nhỉ? Nếu chưa thì cẩn thận nhé, trái đất tròn đấy! :mrgreen:

  1. Phân tích
  2. Nhìn lại những bước chính
  3. Lời giải
  4. Bình luận
  5. Phương pháp chứng minh
  6. Bài tập tự luyện
  7. Lời nhắn: Dành cho các bạn học sinh
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

1- \frac{1}{2}x^2 < \cos x , \forall x \ne 0

1. Phân tích

* Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng tổng quát, nên muốn đưa nó về dạng tổng quát thì chúng ta có 2 việc cần làm: Dồn hết biến về một vế và hai là quy bài toán cần chứng minh với \forall x \ne 0 về chứng minh trên các nửa khoảng hoặc đoạn.

* Chuyển “mọi thứ” ở vế trái sang vế phải, ta có bất đẳng thức tương đương:

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 > 0, \forall x \ne 0

Bạn có thể thắc mắc, chuyển vế phải sang vế trái cũng được chứ! Tất nhiên rồi, nhưng bạn sẽ nhận được gì nào: 1- \frac{1}{2}x^2 - \cos x < 0, \forall x \ne 0. Ái chà, nhận được tới 2 số hạng có dấu trừ đằng trước và lại còn được “khuyễn mãi” thêm dấu “<” nữa chứ :lol:. Tôi thì không thích dấu trừ tẹo nào, bị trừ càng ít thì càng tốt, 😛 vả lại tôi vốn thích dấu “>” nên tôi chuyển vế trái sang vế phải.

* Tiếp theo chúng ta sẽ quy bài toán: Chứng minh \forall x \ne 0 về chứng minh trên các nửa khoảng hoặc đoạn.

– Nhận thấy rằng \forall x \ne 0 \Leftrightarrow \forall x \in (-\infty;0) \cup (0;+\infty) nên bài toán đã cho có thể chia thành hai bài toán nhỏ. Chứng minh rằng:

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 > 0, \forall x \in (-\infty;0)\ (1)

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 > 0, \forall x \in (0;+\infty)\ (2)

Chà, từ một bài toán ban đầu, giờ phải giải 2 bài toán cơ à, có vẻ nhiều đấy, mệt rồi đây. 😯 Không sao, cứ từ từ rồi … sẽ đến đích thôi. 😀

– Lại “để ý” rằng:

\cos (0) + \frac{1}{2}(0)^2 - 1 = 0

nên các bất đẳng thức (1) và (2) có thể viết lại thành:

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 \ge 0, \forall x \in (-\infty;0]\ (1a)

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 \ge 0, \forall x \in [0;+\infty)\ (2a)

– Như vậy, ta đã quy bài toán: Chứng minh \forall x \ne 0 về chứng minh trên các nửa khoảng. Giờ thì bạn biết cần làm gì rồi đấy! ❓

* Đặt f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1,\forall x \in \mathbb{R} thì f(0)=0 và viết lại bất đẳng thức (1a), (2a) dưới dạng:

f(x) \ge 0, \forall x \in (-\infty;0]\ (1b)

f(x) \ge 0, \forall x \in [0;+\infty)\ (2b)

* Lúc này, do chiều của bất đẳng thức của cả (1b) và (2b) đều là \ge nên để chứng minh ta cần chỉ ra GTNN của hàm số f(x) trên các nửa khoảng (-\infty;0][0;+\infty) đều lớn hơn hoặc bằng 0 là xong!

* Do phạm vi của bài toán (Chỉ dùng “súng cao su” thôi :D), nên chúng ta chỉ tìm được GTNN của f(x) với f(x) đơn điệu trên các nửa khoảng đó và khi đó f(x) phải đạt GTNN tại đầu mút x=0 của các nửa khoảng.

* Câu hỏi tiếp theo là: Nếu f(x) đơn điệu thì f(x) đơn điệu đồng biến hay đơn điệu nghịch biến trên các tập kia? Từ đó suy ra cần chứng minh f'(x)\ge0 hay f'(x)\le0 trên mỗi tập tương ứng.

– Để trả lời câu hỏi này, ta viết (1b) và (2b) dưới dạng:

\forall x \le 0 \Rightarrow f(x) \ge f(0)\ (1c)

\forall x \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge f(0)\ (2c)

– Từ (1c) suy ra rằng f(x) nghịch biến trên (-\infty;0] (3), còn từ (2c) suy ra rằng f(x) đồng biến trên [0;+\infty) (4). Bạn có thể dùng phương pháp phản chứng để suy ra (3) và (4) không? Hoặc một cách khác nữa?

– Lúc này, theo “định lý điều cần” về mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm ta có:

(3) \Rightarrow f'(x)= x - \sin x \le 0, \forall x \le 0\ (3a)

(4) \Rightarrow f'(x)= x - \sin x \ge 0, \forall x \ge 0\ (4a)

* Nhưng ngược lại, nếu chúng ta chứng minh được (3a) và (4a) thì suy ra f(x) nghịch biến trên (-\infty;0] và đồng biến trên [0;+\infty), vì có f(x) liên tục trên các nửa khoảng (-\infty;0][0;+\infty). Từ đó, suy ngược lại điều cần chứng minh.

* Do đó, giờ ta sẽ đi chứng minh (3a) và (4a). Ơ hơ …, trông bất đẳng thức (4a) “quen quen” nhỉ? Chúng ta đã gặp nó ở đâu rồi thì phải? Nó chính là bài toán mở rộng từ ví dụ 1 của phần trước mà tôi đã gợi ý bạn giải quyết. Bạn đã giải quyết nó chưa? Chưa phải không? Tôi nói rồi mà “trái đất tròn đấy!” :mrgreen: Giờ bạn phải giải nó thôi, hay bạn muốn biết “trái đất tròn lần nữa” 😀

* Theo kết quả của Ví dụ 1 phần trước, để chứng minh (4a), ta lại áp dụng Chiến lược 3 bước của bài toán tổng quát để giải. Mục tiêu là, chỉ ra rằng GTNN của hàm số f'(x) trên [0;+\infty) lớn hơn hoặc bằng 0, bằng cách chứng minh f'(x) đồng biến trên [0;+\infty).

– Thật vậy, ta có f''(x)=1-\cos x \ge 0,\ \forall x \ge 0.

– Dễ thấy f'(x) liên tục trên [0;+\infty)

– Do đó hàm số f'(x) đồng biến trên [0;+\infty). Từ đó suy ra

f'(x) > f'(0)=0, \forall x > 0\ (4a) (đpcm)

* Hoàn toàn tương tự, bạn chứng minh được f'(x) cũng đồng biến trên (-\infty;0], từ đó chứng minh được (3a).

* Như vậy, ta đã chứng minh được (3a) và (4a) từ đó suy ra được (3) và (4). Từ (3) và (4) ta lại suy ra được (1c) và (2c) và suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Quá trình phân tích thật gian nan. Chúng ta cùng nhìn lại những điểm chính trước khi trình bày lời giải.

2. Nhìn lại những bước chính

* Đầu tiên chúng ta xét hàm số f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1, liên tục trên \mathbb{R}

* Ta chứng minh được f'(x) đồng biến trên cả [0;+\infty)(-\infty;0].

* Từ đó suy ra được f(x) đồng biến trên [0;+\infty) và nghịch biến trên (-\infty;0].

* Do đó f(x)>0,\forall x >0f(x)>0,\forall x <0 (đpcm)

Chú ý rằng, để chứng minh f'(x) đồng biến trên cả [0;+\infty)(-\infty;0] thì ta lại phải chứng minh f''(x)\ge 0

3. Lời giải

* Bất đẳng thức đã cho tương đương với

\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 > 0, \forall x \ne 0

* Xét hàm số f(x)=\cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1, f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có f'(x)=x-\sin x

* Lại có f''(x)=1-\cos x \ge 0,\ \forall x \in \mathbb{R} nên suy ra f'(x) đồng biến trên \mathbb{R}.

* Do f'(x) đồng biến trên \mathbb{R}, nên

\forall x>0 \Rightarrow f'(x)>f'(0)=0. Suy ra f(x) đồng biến trên [0;+\infty)

\Rightarrow f(x)>f(0)=0,\forall x>0\ (1)

\forall x<0 \Rightarrow f'(x)<f'(0)=0. Suy ra f(x) nghịch biến trên (-\infty;0]

\Rightarrow f(x)>f(0)=0,\forall x<0\ (2)

* Từ (1) và (2), suy ra f(x)>0,\ \forall x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x + \frac{1}{2}x^2 - 1 > 0, \forall x \ne 0 (đpcm)

4. Bình luận

* Một bài toán khá phức tạp, từ việc đầu tiên là quy bài toán chứng minh \forall x \ne 0 về bài toán chứng minh trên các nửa khoảng.

* Cách giải trên của bài toán cũng có một “nét” rất đặc biệt, đó là sự lặp đi lặp lại giữa 2 bài toán: “Bài toán 1: Xét tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức” và “Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức để xét tính đơn điệu của hàm số”. Cụ thể là:
– Lần 1: “Để chứng minh bất đẳng thức f(x)>0, ta xét tính đơn điệu của hàm số f(x)
– Lần 2: “Để xét tính đơn điệu của hàm số f(x), ta cần chứng minh bất đẳng thức f'(x)\ge/\le 0
– Lần 3: “Để chứng minh bất đẳng thức f'(x)\ge/\le 0, ta xét tính đơn điệu của một hàm số f'(x)
– Lần 4: “Để xét tính đơn điệu của hàm số f'(x), ta cần chứng minh bất đẳng thức f''(x)>0

Đây chính là điểm khác biệt trong cách giải của ví dụ 2 so với ví dụ 1. Nếu như ở ví dụ 1, chúng ta chỉ cần thực hiện đến lần 2 là suy ra được dấu của f'(x) từ đó suy ra điều phải chứng minh thì ở ví dụ 2 này để xét được dấu của f'(x) chúng ta lại lặp lại việc xét dấu của f''(x). Cũng chính điểm khác biệt này gợi cho ta một phương pháp chứng minh tổng quát, cho phép giải không chỉ những bài toán như ví dụ 1 mà còn cả “kiểu như” ví dụ 2 hoặc thậm chí phức tạp hơn nữa. Bạn có thể nêu được phương pháp đó không?

5. Phương pháp chứng minh

Qua các ví dụ 1, ví dụ 2 và các nhận xét trên, ta rút ra một phương pháp sau là cụ thể hóa của Chiến lược 3 bước mà ta đã biết ở phần trước.

Khi ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ta có thể thực hiện các bước sau:

* Quy bất đẳng thức về dạng f(x)\ge 0,\forall x \in K, với K là nửa khoảng hay đoạn
* Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên tập K.
* Xét dấu f'(x), suy ra hàm số f(x) đồng biến hay nghịch biến trên K. Từ chiều của bất đẳng thức và đầu mút đạt GTNN (GTLN) là đầu mút trên hay dưới mà dự đoán tính đơn điệu. Từ đó dự đoán dấu của f'(x) để có hướng biến đổi hợp lí.
* Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và kết luận
Chú ý: Trường hợp ta chưa/khó xét được dấu của f'(x) thì ta quay lại tiếp tục xét dấu f''(x),… cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.

Cuối cùng, trước khi khép lại bài viết, mời bạn vận dụng tất cả những gì thu được để giải một số bài tập tương tự sau:

6. Bài tập tự luyện

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \tan x + \sin x > 2x, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})

b) \sin x > \frac{2x}{\pi}, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})

b) x\sin x + \cos x > 1, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})

7. Lời nhắn: Dành cho các bạn học sinh

Qua 2 phần của bài viết, bạn có từng tự hỏi:

* Tại sao chúng ta chỉ giải quyết bài toán tổng quát với tập K là “nửa khoảng” hay “đoạn” và f(x) phải đơn điệu trên tập đó? Thế nếu tập K mà là “khoảng” thì sao? Nếu f(x) không đơn điệu trên K thì sao?

* Vì sao lại dùng phương pháp này để chứng minh bất đẳng thức, các phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển (bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-cop-xki,…) không tốt hơn chăng?

* Bài viết chỉ đề cập áp dụng phương pháp này cho những bất đẳng thức 1 biến, thế còn với những bất đẳng thức 2 hoặc 3 biến,… thì sao? Có thể áp dụng được phương pháp này được không?

Ps: Hãy suy nghĩ về các câu hỏi trên nhé, rất có thể bạn sẽ gặp lại chúng trong tương lai. Nhớ nhé, “trái đất tròn đấy!” :mrgreen:

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *