Tính chất của ba số hạng liên tiếp trong một cấp số

Mình mới đọc một bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân và giải nó thì thấy hay hay, nên ghi lại để các bạn cùng SOI và MỔ (Mà MỔ rồi mới SOI cũng được, đừng liên tưởng tới ngành y nhé)

Nội dung nổi bật: Khai thác tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và cấp số nhân để giải toán. Bài viết phù hợp với các bạn học sinh lớp 11 trở lên. Nếu bạn chưa biết cấp số cộng, cấp số nhân là gì thì nên … Google rồi mới đọc tiếp 🙂

Tính chất của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số

Tính chất của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số

  1. Đề bài
  2. Phân tích
  3. Lời giải
  4. Đào sâu, nghĩ lâu 😀
  5. Cách khác

Bài toán của chúng ta như sau:

1. Bài toán

Cho 4 số nguyên dương, trong đó 3 số đầu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, 3 số sau lập thành một cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng 2 số hạng giữa là 36. Tìm 4 số đó?

2. Phân tích

* Chúng ta cần tìm 4 số, một cách tự nhiên, cần tìm gì thì gọi đấy (một bài học mà các “sư phụ” vẫn dạy chúng ta khi còn ở … “Võ đường THCS”) 😀 . Giả sử a, b, c, d theo thứ tự là 4 số cần tìm. Giờ từ giả thiết, chúng ta cần thiết lập các phương trình quan hệ giữa chúng.

* Theo giả thiết

– vì 3 số hạng đầu là một cấp số cộng nên a + c = 2b [1]

– vì 3 số hạng sau là một cấp số nhân nên b.d = c^2 [2]

– vì tổng số hạng đầu và cuối là 37 nên a + d = 37

– vì tổng 2 số hạng giữa là 36 nên b + c = 36

* Từ đó ta có hệ 4 phương trình, 4 ẩn:

\begin{cases}a+c=2b & (1) \\ b.d=c^2 & (2) \\ a + d = 37 & (3) \\ b + c = 36 & (4)\end{cases}

* Làm thế nào để giải hệ này? Thoạt nhìn, trông cũng hơi “lằng nhằng”. Hãy bình tĩnh 🙂 , bình tĩnh thì mới nhớ được nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn là phải tìm từng ẩn một. Muốn thế, phải chọn một ẩn và biểu diễn các ẩn còn lại về ẩn đã chọn. Vậy, chúng ta chọn ẩn nào? Ẩn a hay b hay c hay d?

* Chọn ẩn nào thì cũng đều ra kết quả cả, tuy nhiên sự khác biệt là ở độ phức tạp và khối lượng tính toán. (“Mọi con đường đều dẫn đến thành Rome”, tuy nhiên có những con đường thẳng và cũng có những con đường … cong. Nhưng chắc chắn sẽ không có con đường … “cong Trường Chinh”) 😀 .

– Nếu bạn chọn ẩn a, b hay d thì phải sẽ phải rút c theo chúng và khi thay vào phương trình (2) bạn sẽ phải thực hiện phép nhân ở vế trái và cả phép bình phương ở phải.

– Nhưng, nếu bạn chọn c và rút ba ẩn còn lại theo c thì khi thay vào phương trình (2), bạn chỉ cần thực hiện phép nhân ở vế trái mà thôi!! (giảm khối lượng công việc phải làm, tiết kiệm được không nhỏ: thời gian + sức lực + giấy + mực, thông minh nhờ) 😀

* Từ (4) suy ra b=36-c, thay vào (1) có a + c = 2(36 - c) \Rightarrow a = 72-3c, thay tiếp vào (3) có d=3c-35

* Thay b,d vào (2) ta được

(36-c)(3c-35)=c^2 \Leftrightarrow 4c^2-143c+1260=0 \Leftrightarrow c=20 \vee c=\frac{63}{4}

* Từ đó tìm được b,ad

* Kết luận: 4 số cần tìm là 12;16;20;25 hoặc \frac{99}{4},\frac{81}{4},\frac{63}{4},\frac{49}{4}

3. Lời giải

* Giả sử a, b, c, d theo thứ tự là 4 số cần tìm

* Theo giả thiết ta có

\begin{cases}a+c=2b & (1) \\ b.d=c^2 & (2) \\ a + d = 37 & (3) \\ b + c = 36 & (4)\end{cases}

* Từ (4) suy ra b=36-c, thay vào (1) có a + c = 2(36 - c) \Rightarrow a = 72-3c, thay tiếp vào (3) có d=3c-35

* Thay b,d vào (2) ta được

(36-c)(3c-35)=c^2 \Leftrightarrow 4c^2-143c+1260=0 \Leftrightarrow c=20 \vee c=\frac{63}{4}

* Với c=20 \Rightarrow b = 16, a=12, d=25

* Với c=\frac{63}{4} \Rightarrow b = \frac{81}{4}, a=\frac{99}{4}, d=\frac{49}{4}

* Vậy, 4 số cần tìm là: 12;16;20;25 hoặc \frac{99}{4},\frac{81}{4},\frac{63}{4},\frac{49}{4}

4. Đào sâu, nghĩ lâu 😀

* Vì 3 số hạng liên tiếp của một cấp số luôn được biểu diễn theo một phương trình, nên nếu biết 2 trong ba số thì sẽ xác định được số còn lại. Chẳng hạn

– nếu ab là số thứ nhất và số thứ hai của một cấp số cộng thì số thứ ba là 2b - a

– nếu xy là số thứ nhất và số thứ hai của một cấp số nhân thì số thứ ba là \frac{y^2}{x} (x\ne 0)

* Như vậy, với một cấp số có 3 số hạng thì “chỉ cần biết 2 số hạng là đủ” (Chỉ 2 là đủ – câu này quen quen … “Dù gái hai trai, chỉ 2 là đủ” 😀 ). Do đó, ta có thể trình bày cách giải bài toán trên theo một cách khác.

5. Cách khác

Thay vì gọi 4 ẩn cho 4 số cần tìm, ta chỉ cần gọi 2 ẩn cho 2 số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân thì 2 số hạng còn lại sẽ được biểu diễn theo chúng. Cụ thể

* Giả sử ab là số hạng thứ nhất và thứ hai cần tìm. [3]

* Do 3 số hạng đầu là cấp số cộng nên số hạng thứ ba là: 2b-a

* Mà 3 số hạng cuối là một cấp số nhân nên số hạng thứ tư là: \frac{(2b-a)^2}{b} (b\ne 0) (Chú ý: b\ne 0 vì nếu b=0 thì 3 số hạng của cấp nhân phải là 0;0;0. Vô lí, vì tổng hai số hạng giữa phải bằng 36)

* Vậy 4 số cần tìm có dạng: a;b;2b-a;\frac{(2b-a)^2}{b}

* Theo giả thiết ta có

\begin{cases}a+ \frac{(2b-a)^2}{b} = 37 \\ b + (2b-a) = 36\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4b^2-145b+1296=0 \\ a = 3b- 36\end{cases}

* Từ hệ này tìm được b,a và 2 số hạng còn lại!

Bình luận: Cách này “gọn gàng” đấy chứ, bạn có nghĩ như vậy không?

Nếu bạn có một cách giải khác nữa thì chia sẻ với minh nhé, hãy gõ nó vào hộp bình luận dưới đây. Cảm ơn bạn!


Chú thích

  1. Tính chất đặc trưng của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng: Số hạng đứng giữa bằng trung bình cộng của số đứng trước và số đứng sau. []
  2. Tính chất đặc trưng của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân: Giá trị tuyệt đối của số hạng đứng giữa bằng trung bình nhân của số đứng trước và đứng sau []
  3. Phần này được cập nhật lại ngày 23/04/2014. Bản đầu tiên mình giả sử c và d là hai số hạng thứ ba và thứ tư dẫn đến lời giải hơi rắc rối 🙂 []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. cam on ban rat nhieu

  2. Ngọc linh says:

    Hỏi thầy một chút kiến thưcs ko liên quan đến bài viết này mong thầy giải đáp giúp: tai sao bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 khi đặt x=tant thường lấy t€(-pi/2;pi/2),còn đặt x=sint thường lấy t€ đoạn -pi/2;pi/2.cám ơn thâd rất nhiều!

    • Thật không dễ để giải thích cho học sinh hiểu vấn đề này một cách hợp lý và dễ hiểu.

      Mình nghĩ bạn có thể giải thích cho học sinh của bạn như sau:

      1) Nguyên tắc chung

      Em đã biết, khi cho một hàm số y = f(x) (1) thì phải tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.

      Giống như vậy, khi em đặt x = f(t) (2) là thì đồng nghĩa với việc em đã xem “x có vai trò như y” và “t như x” trong (1) nên em cần tìm điều kiện của t để f(t) có nghĩa.

      Ngoài ra, nếu bài toán yêu cầu x phải thuộc một tập G cho trước thì em còn phải tìm thêm điều kiện của t để đảm bảo “f(t) thuộc G”.

      2) Vận dụng vào phép đổi biến dạng 1

      * Do hàm số tan(t) xác định trên các khoảng (-pi/2;pi/2), (pi/2; 3*pi/2), … nên khi đặt x = tan(t) thì ta lấy t thuộc 1 trong các khoảng đó.

      Chọn khoảng nào cũng được, tuy nhiên khoảng (-pi/2;pi/2) là lựa chọn hợp lý hơn cả. Vì khoảng này vừa thể hiện được tính “lẻ” của hàm tan(t) mà lại “dễ nhớ” (số đẹp 😀 ).

      Nếu bài toán có điều kiện của x thì phải tìm thêm điều kiện của t để tan(t) thỏa điều kiện của x. Khi đó, có thể điều kiện của t không phải là thuộc khoảng (-pi/2;pi/2) nữa.

      * Hàm số sin(t) xác định với mọi t thuộc R nên không cần tìm t để sin(t) có nghĩa mà chỉ cần lấy t sao cho sin(t) thuộc miền G của x là được.

      Thông thường trong các bài toán tích phân thì G là đoạn [-1;1] nên ta chọn t sao cho sin(t) thuộc [-1;1]. Có thể chọn t thuộc các đoạn [-pi/2; pi/2] hoặc [pi/2; 3*pi/2],… Nhưng giống như hàm tan(t), sin(t) cũng là hàm số lẻ nên ta chọn đoạn [-pi/2; pi/2].

      3) Kết luận

      Còn muốn giải thích ngắn hơn nữa thì có thể cô đọng là 3 lí do: Tính xác định, Hàm số lẻ và Số đẹp 😀

      * Đặt x = tan(t) thì lấy t thuộc (-pi/2; pi/2) là vì khoảng (-pi/2; pi/2) vừa làm tan(t) có nghĩa, vừa thể hiện tính lẻ của tan(t) mà lại “đẹp số” 😀

      * Đặt x = sin(t) thì lấy t thuộc [-pi/2; pi/2] là vì đoạn [-pi/2; pi/2] vừa làm sin(t) có nghĩa, vừa thể hiện tính lẻ của sin(t) mà lại “đẹp số”

      Chúc bạn vui vẻ!

  3. đỗ minh toàn says:

    dạ cho e hỏi tị ạ, ba số a,b,c lập thành cấp số cộng thì ta có điều gì vậy ?

  4. Quynh Anh says:

    Hay ạ.cám ơn add nhiều.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *