Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 10 [1]. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.

  1. Cơ sở tính nhẩm
  2. Các dạng thường gặp
  3. Một số ví dụ vận dụng
  4. Bình luận

1. Cơ sở tính nhẩm

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau: [2]

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

* Nếu phương trình trình ax^2 + bx + c = 0\ (a\ne 0) có hai nghiệm x_1, x_2 thì

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; x_1 x_2 = \frac{c}{a}

* Ngược lại, nếu hai số uv có tổng u+v=S và tích uv=P thì uv là các nghiệm của phương trình

x^2 - Sx + P = 0

2. Các dạng tính nhẩm thường gặp

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích

* Nếu phương trình có dạng x^2 - (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm uv.

* Nếu phương trình có dạng x^2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u-v

Nếu a bằng 1, b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Tóm lại:

x^2 - (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = u, x_2 = v\ (1)

x^2 + (u+v)x + uv = 0\Rightarrow x_1 = -u, x_2 = -v

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:

Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b

Ví dụ phương trình

* x^2 - 5x + 6 = 0

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x=2,x=3

* x^2 - 7x + 10 = 0

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x=2,x=5

Loại 2: a + b + c = 0 và a – b + c = 0

* Nếu thay v=1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a=1, b=-(u+1), c=u.

* Nếu thay v=-1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a - b + c = 0, với a=1, b=-(u-1), c=-u.

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u\ne 0v=\frac{1}{u} thì phương trình (1) có dạng

x^2 - (u+\frac{1}{u})x + u.\frac{1}{u} = 0\Leftrightarrow u.x^2 - (u^2 + 1)x + u = 0

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x=u,x=\frac{1}{u}. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

* 2x^2 - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x=2,x=\frac{1}{2}

* 3x^2 - 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x=3,x=\frac{1}{3}

Loại 4: Những trường hợp còn lại

Với một phương trình có hệ số a\ne 1 mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho a, quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ 😀 [3]

3. Một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1. Phương trình

* x^2 - 8x + 12 = 0 có hai nghiệm x=2,x=6 vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6

* x^2 - 7x + 12 = 0 có hai nghiệm x=3,x=4 vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4

* x^2 - x - 12 = 0 có hai nghiệm x=-3,x=4 vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4

* x^2 + x - 12 = 0 có hai nghiệm x=3,x=-4 vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)

* x^2 - 4x - 12 = 0 có hai nghiệm x=-2,x=6 vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6

* x^2 + 4x - 12 = 0 có hai nghiệm x=2,x=-6 vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)

Ví dụ 2. Phương trình

* x^2 -(m+4)x+ 3m+3 = 0 [4] có hai nghiệm x=3,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[(m+1)+3]x+ 3(m+1) = 0

* x^2 -(2m+1)x+m^2 + m = 0 có hai nghiệm x=m,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[m+(m+1)]x+ m(m+1) = 0

* x^2 -2mx+m^2-1 = 0 có hai nghiệm x=m-1,x=m+1, vì nó có dạng

x^2 -[(m-1)+(m+1)]x+ (m-1)(m+1) = 0

Ví dụ 3. Phương trình

* \sqrt{2}x^2 - (2\sqrt{2}+1)x + 2 = 0 có hai nghiệm x=2,x=\frac{1}{\sqrt{2}} [5]

* x^2 - (\log{6})x + \log{2}.\log{3} = 0 có hai nghiệm x=\log{2},x=\log{3} [6]

* x^2-(3-2^x )x+2(1-2^x )=0\Leftrightarrow x=2,x=1-2^x [7]

4. Bình luận

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Bạn sẽ có thêm động lực tiến lên.

Đừng cảm thấy tiếc vì bụi hoa hồng có gai mà hãy vui vì trong bụi gai có hoa hồng.

Chú thích

  1. Theo Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009, trang 36 []
  2. “Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó” – Theo Wikipedia. []
  3. Lấy giấy nháp và máy tính ra chứ còn làm gì nữa []
  4. Bạn mà tính Delta để giải phương trình này thì sẽ có một sự mệt không hề nhẹ đấy! 😀 Vì phải xét dấu để khử dấu GTTĐ do Delta bằng |m – 4| []
  5. Khi học về phương trình lượng giác ở lớp 11, bạn sẽ hay gặp các phương trình bậc hai mà nghiệm của nó có chứa căn 2 hay căn 3 []
  6. Kí hiệu “log” đọc là logarit cơ số 10, bạn sẽ gặp nó khi học Giải tích lớp 12 []
  7. Bạn có thể giải phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Muốn ra đáp số cuối cùng, bạn phải học hết HK1 lớp 12 []

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!

  1. Trần Ngọc Minh đã đọc bài này.

  2. Nguyễn Thế Phúc đã đọc bài này :v

  3. Có một chi tiết khó hiểu về phần đảo của định lý Vi-ét được ghi trong Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng ở trang 37. Sau khi trình bày nội dung phần đảo, tài liệu này có bổ sung thêm: "(điều kiện: S^2 – 4P >= 0)"

    Điều kiện này là thừa, vì nếu đã tồn tại u và v sao cho u + v = S và u.v = P thì S^2 – 4P = (u + v)^2 – 4uv = (u – v)^2 >=0 rồi. Sao phải cần điều kiện gì nữa?

  4. Trần Ngọc Minh Like this idea 😀

  5. Hôm nay tận mắt thấy 3 cháu học sinh lớp 12 giải phương trình bậc hai $x^2-6x+9=0$ ra đáp số 2 nghiệm là $x=1,x=3$.

    Những điều trông thấy mà đau đớn lòng!! 🙁

  6. Chắc tại anh cấm trẻ sử dụng MTCT rồi?

  7. Minhnd Ngocminh Lớp 12 anh không cấm, thậm chí hướng dẫn chọn mua máy nào cho phù hợp.

  8. Tâm Lê says:

    Thông thường e hay xài loại 2 để nhẩm một nghiệm 1 hoặc -1 và nghiệm còn lại.

  9. Loại 1 và 3 cũng rất hay gặp. Em thử thống kê mà xem, tần số gặp sẽ cao đấy.

  10. Một số phương trình bậc hai chứa 2 ẩn có thể đưa về tích dễ dàng mà không cần tính delta. Ví dụ, bạn sẽ đưa phương trình sau thành tích như thế nào?

    $(x+y)(2x-y)+4=-6x-3y$

  11. Tâm Lê says:

    Cách nhóm đưa về tích phải không ạ.

  12. Tâm Lê Không, em suy nghĩ thêm nhé. Không dễ nhìn ra nhân tử chung để nhóm, nên nếu cứ thử biến đổi mà chưa định hướng được nhân tử chung thì thành ra là mò mẫm. 🙂

  13. Hôm trước mình có nói rằng có thể đưa phương trình bậc 2 hai ẩn: $(x+y)(2x-y)+4=-6x-3y$ thành tích. Bây giờ, nếu bạn thay 2 ẩn $x,y$ trong phương trình lần lượt bằng các hàm bậc nhất của cùng 1 đối số chẳng hạn $sin x, cos x$ thì bạn sẽ thu được một phương trình lượng giác có thể đưa về tích:

    $(sin x + cos x)(2sin x – cos x) + 4 = -6sin x – 3sin x$

    Bạn đã biết thêm một "sáng tạo" các phương trình lượng giác 😀

  14. cho em hỏi ngu xíu: phươg trìh $ x^2 – (log6)x + log2.log3 = 0 $ có nghiệm log2 và log3. từ đâu ra hai nghiệm đó vậy? :3

  15. Vì log 2 + log 3 = log 6 nên phương trình có thể viết dưới dạng:

    $x^2 – (log 2 + log 3)x + log2.log3 = 0$ do đó pt có hai nghiệm log2 và log3.

    PS: Đừng ngại hỏi, hãy luôn đặt câu hỏi.

  16. bài viết quá hay về giải phương trình

  17. cho em hỏi phương trình này làm thế nào vậy ạ: 2x^2=2x-8=0

  18. Phương trình của em thừa 1 dấu bằng?

  19. Dũng Lê says:

    Toàn mấy quảng cáo chẳng ra gì!!! Làm ơn bớt giùm!!! Ngừng đi

  20. Xin lỗi vì các quảng cáo đã làm bạn khó chịu.

    Cảm ơn bạn đã click vào các quảng cáo, mỗi click đó của bạn đều rất ý nghĩa với chúng tôi. Số tiền chúng tôi nhận được từ mỗi click của bạn có thể rất rất nhỏ (0,01-0,02$), nhưng chúng giúp chúng tôi tiếp tục duy trì website này hoạt động và giữ được các bài viết đến được với nhiều người hơn.

    Một lần nữa, cảm ơn bạn!

  21. Lưu Thị Thu Hà có cái này thì thứ tư ok

  22. Lưu Thị Thu Hà đọc thì nhớ rep

  23. that tiet khi sai mot cai o dang 3

  24. con nữa không thầy ít quá thầy ạ

  25. mà thầy ơi tải về ở trỗ lào vậy thầy

  26. Hiện tại blog của thầy chưa hỗ trợ tính năng tải về em ạ.

    PS: Dù là bình luận vui, nhưng vẫn phải viết đúng chính tả nhé. "Chỗ nào", not "trỗ lào" 🙂

  27. Thầy ơi ghi rõ loại 2 a+b+c=0 đi thầy.. lâu rồi nên quên cách tính

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *