Cách kết luận cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Bạn đang xem phần 3 / 3 của series Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn là một bài toán quá quen thuộc, phương pháp giải nó được giới thiệu tường minh trong SGK. Những tưởng không có gì để bàn về cách giải của bài toán này, nhưng sự thật là không phải ai cũng nghĩ như nhau.

Cách kết luận cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Trong lần chấm thi tốt nghiệp THPT 2014, hè vừa rồi, mình (giám khảo 1) và một giám khảo khác (giám khảo 2) [1] đã có quan điểm khác nhau trước một lời giải của câu 2.2, chính xác thì là quan điểm khác nhau về cách kết luận của lời giải đó.

  1. Câu hỏi và lời giải
  2. Các cách kết luận
  3. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
  4. Bình luận

1. Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 2.2 như sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x)=\frac{1}{4}x^2 - x -\sqrt{4x-x^2}

Còn đây là hình ảnh minh họa bài làm của thí sinh. Những chỗ viết màu đỏ thể hiện quan điểm chấm của giám khảo 2.

Lời giải của thí sinh và ghi chú của giám khảo số 2

Lời giải của thí sinh và ghi chú của giám khảo số 2

Các bước giải từ dòng số 1 đến 5 đều đúng, ở đây ta chỉ quan tâm đến tính chính xác của kết luận ở dòng số 6.

Bạn chú ý dòng thứ 6, giám khảo 2 cho rằng kết luận hàm số đạt giá trị lớn nhất như vậy là thiếu trường hợp x=4. Vì giám khảo 2 cho rằng hàm số trên đạt giá trị lớn nhất tại hai điểm x=0x=4 nên kết luận cần ghi rõ cả 2 điểm đó. Theo bạn thì có cần thêm x=4 không? Tại sao?

Nhân đó, mình và giám khảo này cũng trao đổi và thống nhất thêm về nhiều cách kết luận khác.

2. Các cách kết luận

Vấn đề đặt ra là: Nếu học sinh trình bày lời giải như trên nhưng ở dòng thứ 6 thì lại ghi như 1 trong 3 cách sau thì cách nào chấp nhận được?

Cách 1: Ghi ra cả 2 điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất

\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x) = 0 khi x=0 hoặc x=4

Ờ, ghi như thế này thì còn gì để bàn nữa nhỉ! 😀

Cách 2: Chỉ ghi ra 1 điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất

\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x) = 0 khi x=4

Trường hợp này tương tự cách thí sinh trên đã làm. Nếu chấp nhận trường hợp trên thì cũng chấp nhận trường hợp này và ngược lại. Vậy có chấp nhận được không? (Cứ xem nốt cách thứ 3 rồi tổng hợp một thể nhé! :D)

Cách 3: Chả ghi ra điểm nào cả! :mrgreen:

\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x) = 0

Thực tế mình chấm cũng có học sinh trình bày như cách này, “nó” còn chả thèm ghi đạt giá trị lớn tại điểm nào!!! Vậy có chấp nhận được không? Nếu chấp nhận được thì dòng thứ 5 có thể viết là \smash{\displaystyle\min_{D}} f(x) = -3

Tranh luận phải có căn cứ, nên mấu chốt là dựa vào đâu, căn cứ vào đâu để khẳng định rằng các cách kết luận trên là đúng, là chấp nhận được hoặc là sai, là không chấp nhận được? Ở đây, ta cần căn cứ vào cách giải của thí sinh, thí sinh giải bài toán theo Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Vậy phải dựa vào quy tắc này để đánh giá.

3. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên một đoạn [a;b] [2]

Bước 1: Tìm các điểm x_1, x_2, ... , x_n trên khoảng (a;b) mà tại đó f'(x)=0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 2: Tính f(a),f(b),f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)

Bước 3: \smash{\displaystyle\max_{[a;b]}} f(x) = M; \smash{\displaystyle\min_{[a;b]}} f(x)=m, trong đó M,m là số lớn nhất và nhỏ nhất tính được ở bước 2

Quy tắc này kết luận như thế nào?

Như bạn thấy ở bước 3, quy tắc này chỉ kết luận giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) cần tìm bằng bao nhiêu mà KHÔNG YÊU CẦU phải ghi giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) đó đạt tại điểm nào hay khi x bằng mấy.

Thoạt nhìn thì tưởng việc không yêu cầu ghi ra điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là thiếu xót, vì theo định nghĩa thì bắt buộc phải chỉ ra MỘT điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). [3]

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D

M=\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\le M,\forall x\in D \\ \exists x_0 \in D : f(x_0)=M\end{cases}

Nhưng thực ra không hề thiếu xót, mà là đầy đủ và rất hợp lý. Không thiếu xót là vì giá trị M (m) đã được tính ở bước 2, đồng nghĩa đã chỉ ra có điểm x_0 nào đó để f(x_0)=M rồi. Đầy đủ và hợp lý là vì không trùng lặp. Không trùng lặp là vì, nếu ở bước 3 mà lại ghi rằng

\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x)=M khi x=x_0

thì việc viết “khi x=x_0” sẽ lặp lại cách viết f(x_0)=M ở bước 2.

Theo quy tắc này thì cách nào trong 3 cách kết luận trên là đúng?

Từ phân tích trên suy ra:

– Nếu thí sinh ĐÃ thực hiện bước 2 trong lời giải thì lúc kết luận chỉ cần ghi như sau là đủ

\smash{\displaystyle\max_{D}} f(x)=M;\smash{\displaystyle\min_{D}} f(x)=m

– Còn nếu chưa thực hiện bước 2 trong lời giải mà kết luận luôn thì kết luận đó không được chấp nhận, vì thiếu căn cứ.

Từ đó suy ra, 3 cách kết luận ở trên ĐỀU ĐÚNG và hoàn toàn chấp nhận được, vì thí sinh đã thực hiện bước 2 ở dòng thứ 4. Và đó cũng là cách giải thích cho việc, tại sao vừa rồi trong hướng dẫn chấm của Bộ, phần kết luận của bài toán này lại chỉ ghi vỏn vẹn có 1 câu:

Từ đó, giá trị lớn nhất của f(x) bằng 0 và giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng -3

4. Bình luận

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn xuất hiện rất nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT và cả tuyển sinh Đại học – Cao đẳng những năm gần đây. Xung quanh bài toán này có nhiều điều thú vị và cả “không thú vị” đáng quan tâm.

* Có một điều thú vị là cách trình bày kết luận cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các hướng dẫn chấm đề thi tốt nghiệp THPT của Bộ rất đa dạng. Chẳng hạn, năm nay (2014) thì ghi:

Từ đó, giá trị lớn nhất của f(x) bằng 0 và giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng -3

còn năm 2013 thì lại ghi là:

\smash{\displaystyle\min_{[1;2]}} y = y(2)= \sqrt{7}-2\ln 2, \smash{\displaystyle\max_{[1;2]}} y = y(1)= 2

và xa hơn, năm 2007 thì ghi là:

\smash{\displaystyle\min_{[-1;2]}} f(x) = f(-1)= f(2)=-2, \smash{\displaystyle\max_{[-1;2]}} f(x) = f(0)= -1

* Bài viết chỉ đề cập đến cách kết luận cho lời giải bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một đoạn, theo quy tắc (ứng dụng đạo hàm) đã được học. Còn nếu bạn tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số bằng phương pháp khác, chẳng hạn phương pháp đánh giá, thì bạn cần chú ý kiểm tra sự xảy ra của dấu “=”. Khi đó, nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại nhiều điểm thì bạn cũng chỉ cần ghi ra 1 điểm là đủ! Tại sao? Câu trả lời nằm trong định nghĩa về giá trị lớn nhất của hàm số đã trình bày phía trên.

* Cuối cùng, điều sau đây thì “không thú vị” lắm. Mặc dù quy tắc trên không yêu cầu kiểm tra tính liên tục, nhưng theo hướng dẫn chấm của một số năm thì lại thấy ghi. Chẳng hạn, trong hướng dẫn chấm đề thi Toán tuyển sinh Đại học khối D 2013 có ghi rõ:

Ta có f(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2]

Vậy, nếu bạn là giáo viên thì bạn có lưu ý học sinh là phải ghi rõ hàm số liên tục không? Nếu bạn là học sinh thì bạn có nhớ thầy/cô giáo của bạn có lưu ý bạn điều này không? Hay bạn có ý kiến khác muốn trao đổi với mình, hộp bình luận luôn chờ sẵn ở phía dưới! 🙂


Chú thích

  1. Mỗi bài thi được chấm độc lập bởi 2 giám khảo, giám khảo chấm lần 1 được gọi là giám khảo 1, giám khảo chấm lần 2 được gọi là giám khảo 2. Mà gọi tắt là “giám 1” hay “giám 2” cũng được, miễn đừng gọi là “thái giám” 😀 Sau khi giám khảo 2 chấm xong, cả 2 giám khảo sẽ khớp điểm, chỗ nào “lệch điểm” là phải xem lại, đại ý là như vậy []
  2. Tham khảo Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 12, NXB Giáo dục 2009, trang 26 []
  3. Tham khảo Chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 12, NXB Giáo dục 2009, trang 26 []
Xem tiếp bài có từ khóa

Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpage Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.
Xem tiếp← Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Có thể bạn muốn xem

Bài viết của

Chào bạn, tôi lập ra trang web này để thỏa mãn sở thích ghi chép, đồng thời chia sẻ những thông tin, kiến thức bổ ích mà tôi biết về dạy và học Toán THPT, văn hóa, giáo dục và công nghệ. Tôi hi vọng bài viết này có ích cho bạn và mong nhận được nhiều phản hồi của bạn. Cảm ơn bạn đã đọc bài viết!
  1. Tâm Lê says:

    Cách ghi xảy ra tại x=0 hoặc x=4 theo e đc rồi. Còn nếu ghi xảy ra tại x=0 thì thiếu, cần phải sửa ví dụ: max=4 chẳng hạn tại x=0 (nhưng cái này thông thường khi dấu = xảy ra tại nhiều giá trị)

  2. Học sinh đã chỉ ra f(0)=0, f(4)=0 ở bước trước đó nên kết luận chỉ cần ghi max f(x) = 0 là đủ em ạ, không cần phải ghi xảy ra tại điểm nào nữa.

  3. Bạn đã bao giờ thắc mắc, tại sao ở bước 1 của Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] lại yêu cầu tìm

    x_1, x_2, …, x_n thuộc KHOẢNG (a;b)

    mà KHÔNG PHẢI là ĐOẠN [a;b]?

  4. Bài toán đi tìm GTLN, GTNN của một hàm số f(x) (trên tập xác định D mà hàm số f(x) liên tục) bằng công cụ đạo hàm, rất khó dạy trong học sinh. Theo tôi thì tôi chia ra 3 trường hợp:
    * D=[a;b]: Tôi so sánh f(a), f(b) và các f(xi) với xi thuộc khoảng (a;b) mà tại đó y'=0 hoặc y' không xác định rồi kết luận theo như đáp án TNPT 2007.
    * D=[a;b): Tôi tính f(a), tìm giới hạn bên trái của f(x) khi x -> b và tính các f(xi) với xi thuộc khoảng (a;b) mà tại đó y'=0 hoặc y' không xác định. Sau đó tôi lập bảng biến thiên rồi kết luận theo như đáp án TNPT 2007.
    ( Tương tự cho D=(a;b])
    * D=(a;b): Tôi tìm giới hạn bên phải của f(x) khi x -> a và tìm giới hạn bên trái của f(x) khi x -> b và tính các f(xi) với xi thuộc khoảng (a;b) mà tại đó y'=0 hoặc y' không xác định. Sau đó tôi lập bảng biến thiên rồi kết luận theo như đáp án TNPT 2007.
    (Nếu là khoảng, hoặc nửa khoảng có vô cực thì tôi tìm thêm giới hạn tại vô cực).
    Với cách làm này học sinh không bị mất điểm.
    Quan điểm của tôi thà làm bài thật đầy đủ các bước, còn hơn quá ngắn gọn để bị rớt điểm "dọc đường".
    __________________________________________________
    Phạm Văn Luật-GV THPT Đốc Binh Kiều, Cai Lậy, Tiền Giang.

  5. Hôm nay có một bạn nhỏ lớp 12 thắc mắc: "Tại sao không cần ghi rõ tại điểm nào thì hàm số đạt GTLN, GTNN". Mình: Hãy xem lại quy tắc trong SGK hoặc trên blog của thầy. 🙂

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *